Convertisseur Binaire en Décimal | Outil en Ligne Gratuit

Convertisseur binaire en décimal

Un convertisseur binaire-décimal convertit un nombre de base 2 (binaire) en base 10 (décimale), et inversement. Le binaire est le système de numération utilisé en interne par les ordinateurs, écrit uniquement avec des 0 et des 1. Le système décimal est celui que les personnes utilisent au quotidien, avec les chiffres de 0 à 9. Cet outil convertit immédiatement dans l’autre système une valeur saisie dans l’un ou l’autre champ et affiche le calcul à l’origine du résultat.

Fonctionnement du système décimal

Les nombres décimaux utilisent dix chiffres, de 0 à 9. Chaque position d’un nombre décimal représente une puissance de 10. De droite à gauche, les positions valent 1, 10, 100, 1 000, et ainsi de suite.

Prenons le nombre 427 :

• 4 × 100 = 400
• 2 × 10 = 20
• 7 × 1 = 7

L’addition de ces valeurs donne 400 + 20 + 7 = 427.

Fonctionnement du système binaire

Les nombres binaires utilisent seulement deux chiffres, 0 et 1. Chaque position représente une puissance de 2 au lieu d’une puissance de 10. De droite à gauche, les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, et ainsi de suite, en doublant à chaque fois.

Prenons le nombre binaire 1010 :

• 1 × 8 = 8
• 0 × 4 = 0
• 1 × 2 = 2
• 0 × 1 = 0

L’addition de ces valeurs donne 8 + 0 + 2 + 0 = 10.

Formule de conversion du binaire en décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, multipliez chaque chiffre par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis additionnez les résultats :

Décimal = la somme de bᵢ × 2ⁱ pour chaque chiffre, où bᵢ est le chiffre (0 ou 1) à la position i, comptée à partir de 0 à droite.

Exemple : conversion de 1101 en décimal

1. 1 × 2³ = 8
2. 1 × 2² = 4
3. 0 × 2¹ = 0
4. 1 × 2⁰ = 1
5. Somme : 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Le binaire 1101 est égal au décimal 13. Seules les positions contenant un 1 contribuent au total ; il est donc pratique d’ignorer les 0 lors d’une addition manuelle.

Formule de conversion du décimal en binaire (méthode des divisions)

Pour convertir un nombre décimal en binaire, divisez-le plusieurs fois par 2 et notez chaque reste.

1. Divisez le nombre par 2.
2. Notez le reste, qui est toujours 0 ou 1.
3. Divisez de nouveau le quotient par 2.
4. Répétez l’opération jusqu’à ce que le quotient atteigne 0.
5. Lisez les restes de bas en haut.

Exemple : conversion de 25 en binaire

1. 25 ÷ 2 = 12, reste 1
2. 12 ÷ 2 = 6, reste 0
3. 6 ÷ 2 = 3, reste 0
4. 3 ÷ 2 = 1, reste 1
5. 1 ÷ 2 = 0, reste 1

La lecture des restes de la dernière ligne vers la première donne 11001. Le décimal 25 est égal au binaire 11001.

Utilisation de ce convertisseur

Saisissez un nombre dans le champ Binaire ou dans le champ Décimal. L’autre champ est mis à jour immédiatement. Une saisie incorrecte, comme un 2 dans le champ binaire ou une lettre dans le champ décimal, affiche un message d’erreur au lieu d’un résultat.

Le panneau sous les deux champs montre le calcul qui sous-tend la conversion en cours : la décomposition en puissances de 2 pour la conversion du binaire au décimal, et les divisions successives par 2 pour la conversion du décimal au binaire.

Le convertisseur accepte des nombres binaires et décimaux de n’importe quelle taille. Il calcule avec une arithmétique exacte à précision arbitraire plutôt qu’avec l’arithmétique à virgule flottante habituelle ; les grandes valeurs ne sont donc pas arrondies. Il n’accepte ni les nombres négatifs ni les fractions.

Utilisations de la conversion du binaire en décimal

• Adresses IP. Une adresse IPv4 comme 192.168.1.1 est composée de quatre octets binaires (32 bits) écrits en décimal. 192 s’écrit 11000000, 168 s’écrit 10101000 et 1 s’écrit 00000001.
• Permissions de fichiers. Un code de permission Unix comme 755 est un nombre octal dont les bits définissent les permissions du fichier, notation abrégée du motif binaire 111 101 101 : accès complet pour le propriétaire, lecture et exécution pour tous les autres.
• Indicateurs de bits. Définir un octet à 255 active les 8 bits, soit 11111111. Les logiciels utilisent souvent ainsi un seul nombre pour signaler simultanément plusieurs paramètres comme étant activés.
• Matériel numérique. Les registres des circuits stockent les paramètres sous forme de bits ; configurer un appareil peut donc consister à convertir une valeur décimale en un motif binaire exact dont il a besoin.

Systèmes de numération associés

L’hexadécimal (base 16) et l’octal (base 8) sont des façons abrégées d’écrire le binaire. Chaque chiffre hexadécimal représente exactement 4 bits binaires, et chaque chiffre octal représente exactement 3 bits binaires.

• Le binaire 10101101 est l’hexadécimal AD, égal au décimal 173.
• Le binaire 101011 est l’octal 53.

Foire aux questions

Qu’est-ce qu’un nombre binaire ?

Un nombre binaire s’écrit avec seulement deux chiffres, 0 et 1. Chaque chiffre est appelé un bit. Tout nombre entier peut être écrit en binaire en combinant suffisamment de bits, de la même façon que tout mot peut être écrit avec un alphabet limité de lettres.

Pourquoi les ordinateurs utilisent-ils le binaire plutôt que le décimal ?

Les circuits électroniques peuvent stocker et commuter deux états distincts, comme une tension élevée et une tension faible, de manière moins coûteuse et plus fiable que dix niveaux de tension différents. La logique à deux états correspond également à l’algèbre de Boole, la branche des mathématiques utilisée par les circuits numériques pour effectuer des calculs.

Comment convertir un nombre binaire en décimal manuellement ?

Multipliez chaque chiffre binaire par la puissance de 2 correspondant à sa position, comptée à partir de 0 à droite, puis additionnez les résultats. Pour le binaire 1101 : 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

Comment convertir un nombre décimal en binaire manuellement ?

Divisez plusieurs fois le nombre décimal par 2 en notant chaque reste, jusqu’à ce que le quotient atteigne 0. Lisez ensuite les restes du dernier au premier. Le décimal 13 devient ainsi le binaire 1101.

Ce convertisseur prend-il en charge les nombres négatifs ou les fractions ?

Non. Il accepte uniquement les nombres entiers non négatifs. Les nombres binaires négatifs utilisent un système distinct appelé complément à deux, et les fractions binaires constituent un sujet différent de la conversion des nombres entiers.

Quel est le plus grand nombre que ce convertisseur peut traiter ?

Il n’y a pas de limite de taille fixe. Le convertisseur utilise une arithmétique à précision arbitraire ; il convertit donc exactement de très longs nombres binaires ou décimaux, y compris des valeurs bien au-delà de ce que l’arithmétique à virgule flottante ordinaire peut représenter sans erreurs d’arrondi.

Quelle est la différence entre le binaire, l’octal et l’hexadécimal ?

Les trois sont des systèmes de numération positionnels, comme le décimal, mais avec des bases différentes : le binaire utilise la base 2, l’octal la base 8 et l’hexadécimal la base 16. Un chiffre hexadécimal équivaut toujours exactement à 4 bits binaires, et un chiffre octal équivaut toujours exactement à 3 bits binaires, raison pour laquelle ces systèmes servent de notation abrégée pour les longs nombres binaires.

Références

1. Internet Engineering Task Force. RFC 791: Internet Protocol. RFC 791 — les adresses IPv4 sont fixées à quatre octets (32 bits).
2. The Open Group. The Open Group Base Specifications (POSIX): chmod. POSIX chmod utility — un mode octal définit un bit de permission de fichier pour chaque bit du nombre octal.