Convertisseur de Base Numérique : Binaire, Hexadécimal, Décimal & Octal

Convertisseur de bases numériques

Un convertisseur de bases numériques modifie la manière dont un nombre est écrit, en le faisant passer d’un système de numération positionnelle à un autre, sans changer sa valeur. Il peut convertir le binaire en décimal, le décimal en hexadécimal ou effectuer une conversion entre deux bases quelconques de 2 à 36.

Qu’est-ce qu’une base numérique ?

Une base numérique, également appelée radix, correspond au nombre de chiffres différents qu’un système utilise avant de recommencer à les employer dans une nouvelle position. Le système décimal, utilisé pour compter au quotidien, est la base 10. Il utilise dix chiffres, de 0 à 9. Le binaire est la base 2 et n’utilise que 0 et 1. Lorsqu’une base est supérieure à 10, des lettres remplacent les chiffres manquants : A représente 10, B représente 11, et ainsi de suite jusqu’à Z, qui représente 35. Un système peut ainsi atteindre la base 36, la base la plus élevée prise en charge par la plupart des convertisseurs, en utilisant uniquement les 26 lettres de l’alphabet et les 10 chiffres.

Chaque chiffre d’un nombre possède une valeur de position fondée sur les puissances de la base. En décimal, le nombre écrit « 205 » signifie 2 centaines, 0 dizaine et 5 unités, car 100 et 10 sont des puissances de 10. Le même principe s’applique à toute base : le chiffre le plus à droite est multiplié par base⁰, le suivant par base¹, le suivant par base², et ainsi de suite.

Convertir un nombre dans une autre base

Convertir un nombre en décimal

Pour convertir en décimal un nombre écrit dans une base quelconque, il faut multiplier chaque chiffre par la base élevée à la puissance correspondant à sa position, en comptant à partir de 0 à droite, puis additionner les résultats.

Formule : value = dₙ × baseⁿ + ... + d₁ × base¹ + d₀ × base⁰

Exemple : convertir le nombre 101 en base 5 en décimal.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Ainsi, 101 en base 5 est égal à 26 en décimal.

Convertir un nombre décimal dans une autre base

Pour convertir un nombre décimal dans une autre base, il faut le diviser plusieurs fois par la base cible et conserver chaque reste. Il faut s’arrêter lorsque le nombre atteint 0, puis lire les restes du dernier obtenu au premier.

Exemple : convertir 26 en décimal dans la base 5.

• 26 ÷ 5 = 5, reste 1
• 5 ÷ 5 = 1, reste 0
• 1 ÷ 5 = 0, reste 1
• Lecture des restes de bas en haut : 101

Cela confirme l’exemple précédent : 26 en décimal correspond à 101 en base 5.

Exemples de conversion

Du binaire au décimal : le nombre binaire 1101 se convertit en décimal ainsi : (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Du décimal à l’hexadécimal : le nombre décimal 202 se convertit en hexadécimal ainsi : 202 ÷ 16 = 12, reste 10, puis 12 ÷ 16 = 0, reste 12. En hexadécimal, 10 s’écrit A et 12 s’écrit C. La lecture des restes de bas en haut donne CA. Ainsi, 202 en décimal correspond à CA en hexadécimal.

De l’octal au binaire : le nombre octal 17 est d’abord converti en décimal : (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Le nombre décimal 15 est ensuite converti en binaire, ce qui donne 1111. Ainsi, 17 en octal est égal à 1111 en binaire.

Bases numériques courantes

Nombres très grands

Certaines conversions portent sur des nombres trop grands pour être traités exactement par les calculs classiques en double précision, comme une valeur hexadécimale sur 64 bits telle que FFFFFFFFFFFFFFFF. Ce convertisseur utilise une arithmétique entière à précision arbitraire pour traiter les nombres entiers de toute taille. Il n’arrondit donc pas les longues valeurs et n’en perd aucun chiffre.

Valeurs acceptées par le convertisseur

L’outil lit des nombres entiers supérieurs ou égaux à zéro, écrits avec les chiffres de la base source. Les lettres peuvent être saisies en majuscules ou en minuscules : ff et FF représentent tous deux 255 en base 16. Les espaces placés avant ou après le nombre sont ignorés. Tout autre caractère, comme un signe moins ou un séparateur décimal, est rejeté avec le message « L’entrée contient des caractères non valides pour la base 16 », en indiquant la base source sélectionnée.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre le binaire et l’hexadécimal ?

Le binaire n’utilise que deux chiffres, 0 et 1. L’hexadécimal en utilise seize : les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F. Comme 16 est égal à 2⁴, chaque chiffre hexadécimal représente exactement quatre chiffres binaires. C’est pourquoi l’hexadécimal sert souvent à écrire les valeurs binaires sous une forme plus courte.

Comment convertir manuellement un nombre décimal en binaire ?

Il faut diviser plusieurs fois le nombre décimal par 2 et noter chaque reste. Les restes doivent être lus dans l’ordre inverse, de la dernière division à la première. Par exemple, 13 ÷ 2 = 6, reste 1, 6 ÷ 2 = 3, reste 0, 3 ÷ 2 = 1, reste 1, 1 ÷ 2 = 0, reste 1. La lecture de bas en haut donne 1101, qui correspond à 13 en binaire.

Quelle est la base maximale prise en charge par cet outil ?

L’outil prend en charge les bases de 2 à 36. La base 36 est la base la plus élevée qui puisse être obtenue avec seulement les dix chiffres de 0 à 9 et les vingt-six lettres de A à Z, car cela donne exactement 36 symboles distincts.

Cet outil peut-il convertir des nombres négatifs ?

Non. Il accepte uniquement les nombres entiers nuls ou positifs. Pour convertir un nombre négatif, il faut convertir sa valeur absolue, puis ajouter manuellement un signe moins au résultat.

Pourquoi l’hexadécimal et l’octal existent-ils si les ordinateurs utilisent le binaire en interne ?

Les longues suites de 1 et de 0 sont difficiles à lire pour les personnes et faciles à compter incorrectement. Comme 16 et 8 sont toutes deux des puissances de 2, les chiffres hexadécimaux et octaux correspondent directement à des groupes fixes de chiffres binaires : quatre bits pour l’hexadécimal et trois bits pour l’octal. Les longues valeurs binaires sont ainsi plus courtes et plus faciles à vérifier visuellement.

Existe-t-il une limite à la taille du nombre que cet outil peut convertir ?

Il n’existe pas de limite pratique. L’outil utilise une arithmétique à précision arbitraire plutôt que des nombres à virgule flottante classiques. Il peut donc convertir de très longues valeurs, y compris des valeurs supérieures à celles qu’une calculatrice classique peut représenter exactement, sans erreurs d’arrondi.