Convertisseur de Base Numérique : Binaire, Hexadécimal, Décimal & Octal

Convertisseur de base numérique

Un convertisseur de base numérique change la façon dont un nombre s’écrit, d’un système de numération positionnelle à un autre, sans modifier sa valeur. Il peut transformer du binaire en décimal, du décimal en hexadécimal, ou convertir entre deux bases quelconques de 2 à 36.

Qu’est-ce qu’une base numérique ?

Une base numérique, également appelée radix, est le nombre de chiffres différents qu’un système utilise avant de les répéter dans une nouvelle position. Le système décimal, utilisé pour compter au quotidien, est de base 10. Il emploie dix chiffres, de 0 à 9. Le binaire est de base 2 et n’utilise que 0 et 1. Au-delà de la base 10, des lettres remplacent les chiffres manquants : A représente 10, B représente 11, et ainsi de suite jusqu’à Z, qui représente 35. Un système peut ainsi atteindre la base 36, la plus haute base prise en charge par la plupart des convertisseurs, en n’utilisant que les 26 lettres de l’alphabet et les 10 chiffres.

Chaque chiffre d’un nombre a une valeur de position fondée sur les puissances de la base. En décimal, le nombre écrit « 205 » signifie 2 centaines, 0 dizaine et 5 unités, car 100 et 10 sont des puissances de 10. La même idée s’applique dans toute base : le chiffre le plus à droite est multiplié par base⁰, le suivant par base¹, le suivant par base², et ainsi de suite.

Comment convertir un nombre dans une autre base

Conversion d’un nombre en décimal

Pour transformer un nombre exprimé dans une base quelconque en décimal, multipliez chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position, en comptant à partir de 0 à droite, puis additionnez les résultats.

Formule : valeur = dₙ × baseⁿ + ... + d₁ × base¹ + d₀ × base⁰

Exemple : convertir en décimal le nombre 101 en base 5.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Donc 101 en base 5 est égal à 26 en décimal.

Conversion du décimal vers une autre base

Pour transformer un nombre décimal en une autre base, divisez-le plusieurs fois par la base cible et conservez chaque reste. Arrêtez-vous lorsque le nombre atteint 0, puis lisez les restes du dernier obtenu jusqu’au premier.

Exemple : convertir le nombre décimal 26 en base 5.

• 26 ÷ 5 = 5, reste 1
• 5 ÷ 5 = 1, reste 0
• 1 ÷ 5 = 0, reste 1
• Lecture des restes de bas en haut : 101

Cela confirme l’exemple précédent : 26 en décimal s’écrit 101 en base 5.

Exemples détaillés

Binaire vers décimal : le nombre binaire 1101 se convertit en décimal ainsi : (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Décimal vers hexadécimal : le nombre décimal 202 se convertit en hexadécimal ainsi : 202 ÷ 16 = 12 reste 10, puis 12 ÷ 16 = 0 reste 12. En hexadécimal, 10 s’écrit A et 12 s’écrit C. La lecture des restes de bas en haut donne CA. Donc 202 en décimal s’écrit CA en hexadécimal.

Octal vers binaire : le nombre octal 17 se convertit d’abord en décimal : (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Le nombre décimal 15 se convertit ensuite en binaire : 1111. Donc 17 en octal est égal à 1111 en binaire.

Bases numériques courantes

Très grands nombres

Certaines conversions portent sur des nombres trop grands pour être traités exactement par le calcul standard en double précision, c’est-à-dire des nombres entiers supérieurs à 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991), comme une valeur hexadécimale de 64 bits telle que FFFFFFFFFFFFFFFF. Ce convertisseur traite des nombres entiers de n’importe quelle taille grâce à une arithmétique entière de précision arbitraire ; il n’arrondit donc pas et ne perd aucun chiffre sur les longues valeurs.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre le binaire et l’hexadécimal ?

Le binaire n’utilise que deux chiffres, 0 et 1. L’hexadécimal en utilise seize, de 0 à 9 puis de A à F. Comme 16 est égal à 2⁴, chaque chiffre hexadécimal représente exactement quatre chiffres binaires, c’est pourquoi l’hexadécimal sert souvent à écrire de façon abrégée des valeurs binaires.

Comment convertir un nombre décimal en binaire à la main ?

Divisez le nombre décimal par 2 plusieurs fois et notez chaque reste. Lisez les restes en ordre inverse, de la dernière division à la première. Par exemple, 13 ÷ 2 = 6 reste 1, 6 ÷ 2 = 3 reste 0, 3 ÷ 2 = 1 reste 1, 1 ÷ 2 = 0 reste 1. La lecture de bas en haut donne 1101, soit 13 en binaire.

Quelle est la plus grande base prise en charge par cet outil ?

L’outil prend en charge les bases de 2 à 36. La base 36 est la plus haute que l’on puisse atteindre avec les seuls dix chiffres 0-9 et les vingt-six lettres A à Z, puisque cela donne exactement 36 symboles distincts.

Cet outil peut-il convertir des nombres négatifs ?

Non. Il ne fonctionne qu’avec des nombres entiers positifs. Pour convertir un nombre négatif, convertissez sa valeur absolue, puis ajoutez le signe moins au résultat à la main.

Pourquoi l’hexadécimal et l’octal existent-ils si les ordinateurs utilisent le binaire en interne ?

De longues suites de 1 et de 0 sont difficiles à lire pour les humains et faciles à mal compter. Comme 16 et 8 sont tous deux des puissances de 2, les chiffres hexadécimaux et octaux correspondent directement à des groupes fixes de chiffres binaires : quatre bits pour l’hexadécimal et trois bits pour l’octal. Les longues valeurs binaires deviennent ainsi plus courtes et plus faciles à vérifier à l’œil.

Existe-t-il une limite à la taille d’un nombre que cet outil peut convertir ?

Aucune limite pratique. L’outil utilise une arithmétique de précision arbitraire plutôt que des nombres à virgule flottante standard ; il convertit donc de très longues valeurs, y compris des valeurs plus grandes que ce qu’une calculatrice ordinaire peut représenter exactement, sans erreur d’arrondi.

Références

1. Ecma International. ECMAScript Language Specification (ECMA-262), Number.MAX_SAFE_INTEGER. TC39 ECMA-262 — les entiers supérieurs à 2⁵³ − 1 ne sont pas garantis d’être représentables exactement comme valeurs Number en double précision.
2. The Open Group. chmod: change the file modes (POSIX). Open Group Base Specifications — l’opérande de mode de chmod peut être "a non-negative octal integer".
3. World Wide Web Consortium. CSS Color Module Level 4. W3C CSS Color 4 — la notation de couleur hexadécimale sRGB "represents the RGB and alpha components in hexadecimal notation".