Calculateur de Volume de Cône - Calculer le Volume de Cône et de Tronc de Cône

Qu’est-ce qu’un calculateur de volume de cône ?

Un calculateur de volume de cône détermine le volume d’un cône ou d’un cône tronqué (un tronc de cône) à partir de son rayon et de sa hauteur. Un cône est un solide qui possède une base circulaire plane et se rétrécit progressivement jusqu’à un point unique appelé sommet. Un tronc de cône est la partie restante d’un cône après que sa pointe a été coupée par une section parallèle à la base, laissant deux faces circulaires au lieu d’une seule.

Formule du volume d’un cône

Le volume d’un cône complet dépend du rayon de sa base et de sa hauteur.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V est le volume du cône.
• r est le rayon de la base circulaire.
• h est la hauteur, mesurée en ligne droite de la base au sommet.
• π (pi) vaut approximativement 3,14159.

Exemple détaillé

Un cône dont le rayon de base est de 3 unités et la hauteur de 4 unités a le volume suivant :

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 unités cubes

Comment calculer le volume d’un cône avec le calculateur

Le calculateur accepte trois valeurs :

1. Rayon — le rayon de la base.
2. Hauteur — la hauteur du cône, de la base au sommet.
3. Hauteur de coupe à partir de la base (facultatif) — la distance entre la base et le niveau où le cône est coupé, si sa pointe est supprimée.

Laisser la hauteur de coupe vide ou saisir 0 donne le volume du cône complet, non coupé. Saisir une hauteur de coupe inférieure à la hauteur totale donne le volume du tronc de cône situé sous la coupe. Le schéma situé sous les champs indique les mêmes trois mesures sur la forme.

Le calculateur rejette un rayon ou une hauteur nul, négatif, vide ou trop grand pour être traité comme un nombre ordinaire. Dans ces cas, il affiche un avis au lieu d’un volume et ne présente donc jamais une valeur inventée.

Formule du volume d’un cône tronqué (tronc de cône)

Le volume d’un tronc de cône dépend des rayons de ses deux faces circulaires et de sa propre hauteur.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R est le rayon de la grande face inférieure.
• r est le rayon de la petite face supérieure.
• h est la hauteur du tronc de cône, mesurée entre les deux faces.

Le calculateur ne demande pas directement le rayon supérieur. Il utilise plutôt le rayon de base, la hauteur que le cône aurait s’il n’était pas coupé et la hauteur de coupe. Il calcule ensuite le rayon supérieur à l’aide de triangles semblables :

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

où c est la hauteur de coupe au-dessus de la base et f la hauteur totale du cône non coupé.

Exemple détaillé

Supposons que le rayon de base soit de 3 unités, que la hauteur totale du cône non coupé soit de 12 unités et que la hauteur de coupe soit de 4 unités.

Rayon supérieur = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 unités

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 unités cubes

Si la hauteur de coupe est égale ou supérieure à la hauteur totale, la coupe se situe au niveau du sommet ou au-dessus de celui-ci, de sorte que rien n’est retiré. Le calculateur renvoie alors le volume du cône complet et le schéma représente le cône entier.

Histoire de la formule du volume d’un cône

Les mathématiciens de la Grèce antique ont été les premiers à établir un lien entre le volume d’un cône et celui d’un cylindre. Démocrite, actif à la fin du 5e siècle av. J.-C., est crédité de l’affirmation selon laquelle le volume d’un cône équivaut au tiers de celui d’un cylindre ayant la même base et la même hauteur. Il ne l’a pas démontrée. Eudoxe de Cnide, qui travaillait au siècle suivant, a fourni la première démonstration rigoureuse à l’aide d’une technique appelée méthode d’exhaustion, ancêtre du calcul intégral. La formule V = (1/3)πr²h est restée inchangée depuis.

Applications des calculs de volume des cônes

Les volumes des cônes et des troncs de cône interviennent chaque fois qu’une forme se rétrécit d’une base large vers une pointe ou une partie supérieure plus petite. Les ingénieurs utilisent ces formules pour dimensionner les réservoirs coniques, les trémies et les entonnoirs. Les architectes s’en servent pour estimer les matériaux nécessaires aux toits coniques. Les géologues les utilisent pour estimer le volume des cônes volcaniques et des reliefs similaires.

Foire aux questions

Comment calculer le volume d’un cône ?

Multipliez π par le carré du rayon, multipliez le résultat par la hauteur, puis divisez par 3 : V = (1/3)πr²h. Un cône de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm a un volume d’environ 261,80 centimètres cubes.

Quelle est la formule d’un cône tronqué (tronc de cône) ?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), où R et r sont les rayons des deux faces circulaires et h la hauteur propre du tronc de cône, mesurée entre ces faces.

Comment le calculateur trouve-t-il le rayon supérieur d’un tronc de cône ?

Il utilise des triangles semblables. Le rayon supérieur est égal au rayon de base multiplié par (1 − hauteur de coupe ÷ hauteur totale du cône). Cela suppose que le tronc provient d’un cône à génératrices rectilignes.

Que se passe-t-il si la hauteur de coupe est supérieure ou égale à la hauteur ?

Le calculateur considère la forme comme un cône complet et non coupé, puis renvoie V = (1/3)πr²h en utilisant le rayon et la hauteur saisis.

Que se passe-t-il si le rayon ou la hauteur est nul ou négatif ?

Le calculateur exige que le rayon et la hauteur soient tous deux supérieurs à zéro. Si l’un ou l’autre est nul, négatif, vide ou trop grand pour être traité comme un nombre ordinaire, il affiche un avis au lieu d’un volume.

Comment trouver le volume d’un cône à partir du diamètre plutôt que du rayon ?

Divisez le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis appliquez V = (1/3)πr²h comme d’habitude.

Références

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Une ressource Web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Une ressource Web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html