Calculateur de Sections Coniques - Cercle, Ellipse, Parabole

Qu'est-ce qu'un calculateur de coniques ?

Un calculateur de coniques détermine l'excentricité et l'équation réduite d'un cercle, d'une ellipse, d'une parabole ou d'une hyperbole à partir de quelques mesures. Ces quatre courbes apparaissent lorsqu'un plan coupe un cône selon différents angles.

Les quatre coniques

Une coupe droite à travers un cône donne un cercle. En inclinant le plan, on obtient une ellipse. Une coupe parallèle à la génératrice du cône donne une parabole. Une coupe qui traverse les deux nappes d'un cône double donne une hyperbole.

Chaque courbe possède une excentricité, un nombre qui indique en quoi elle diffère d'un cercle parfait. L'excentricité seule permet d'identifier le type de conique :

• Cercle : $e = 0$
• Ellipse : $0 < e < 1$
• Parabole : $e = 1$
• Hyperbole : $e > 1$

Comment utiliser ce calculateur

1. Choisissez un type de conique : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole.
2. Saisissez les mesures requises.
   • Cercle : rayon ($r$)
   • Ellipse : demi-grand axe ($a$) et demi-petit axe ($b$)
   • Parabole : distance focale ($f$)
   • Hyperbole : demi-axe transverse ($a$) et demi-axe conjugué ($b$)
3. L'excentricité et l'équation réduite s'affichent automatiquement dès que des valeurs positives valides sont saisies pour le type de conique choisi ; il n'y a aucun bouton « Calculer » sur lequel cliquer.

Toutes les valeurs saisies doivent être des nombres positifs. Pour une ellipse, le demi-grand axe doit être au moins aussi long que le demi-petit axe, puisque le demi-grand axe est par définition le plus long des deux. Aucune règle de ce genre ne s'applique à l'hyperbole : son demi-axe transverse et son demi-axe conjugué peuvent avoir n'importe quelle longueur positive, y compris des longueurs égales.

Formule du cercle

Pour un cercle de rayon $r$ centré à l'origine :

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricité : $e = 0$.

Un cercle est un cas particulier d'ellipse dont les deux axes ont la même longueur et dont les deux foyers sont situés au centre.

Formule de l'ellipse

Pour une ellipse centrée à l'origine, de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$, avec $a \geq b > 0$ :

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Cela découle de $e = c/a$, où $c$ est la distance entre le centre et un foyer, et où $c^2 = a^2 - b^2$ pour une ellipse.

Exemple : $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Équation : $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Lorsque $a = b$, l'ellipse devient un cercle et $e = 0$.

Formule de la parabole

Pour une parabole ouverte vers la droite, de distance focale $f$ (la distance entre le sommet et le foyer) :

$$y^2 = 4fx$$

Excentricité : $e = 1$, toujours.

Exemple : $f = 2$. Équation : $y^2 = 8x$.

Formule de l'hyperbole

Pour une hyperbole centrée à l'origine, de demi-axe transverse $a$ et de demi-axe conjugué $b$, où $a$ et $b$ sont des nombres positifs quelconques :

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Pour une hyperbole, on a de nouveau $e = c/a$, mais avec $c^2 = a^2 + b^2$, de sorte que $e$ est toujours supérieur à 1.

Contrairement à l'ellipse, l'hyperbole n'exige pas que $a$ soit plus grand que $b$. Les deux demi-axes sont des longueurs indépendantes, si bien que $b$ peut être plus petit que $a$, égal à $a$ ou plus grand. Lorsque $a = b$, la courbe s'appelle une hyperbole équilatère, d'excentricité $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Exemple : $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Équation : $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Applications concrètes des coniques

Les planètes et les comètes suivent des orbites en forme de coniques. La première loi de Kepler affirme que l'orbite d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Certaines comètes suivent des trajectoires paraboliques ou hyperboliques et ne reviennent jamais.

Les paraboles concentrent en un seul point les rayons parallèles ; les ingénieurs utilisent donc des formes paraboliques dans les antennes paraboliques, les miroirs de télescope et les phares de voiture. Des courbes hyperboliques apparaissent dans les parois des tours de refroidissement, où cette forme apporte de la solidité tout en demandant moins de matériau. Les ellipses se retrouvent dans les arcs, les voûtes à effet de galerie des murmures et la conception des engrenages.

Brève histoire des coniques

Le mathématicien grec Ménechme (environ 380 à 320 av. J.-C.) a étudié les coniques en cherchant à résoudre le problème de la duplication du cube. Apollonios de Perge (environ 262 à 190 av. J.-C.) a écrit un traité détaillé intitulé Les Coniques. Il y a introduit les noms d'ellipse, de parabole et d'hyperbole et en a décrit les propriétés. Des siècles plus tard, Johannes Kepler a utilisé l'ellipse pour décrire le mouvement des planètes, et Isaac Newton s'est servi des coniques pour expliquer la gravitation.

Questions fréquentes

Quels sont les quatre types de coniques ?

Le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Chacune se forme lorsqu'un plan coupe un cône selon un angle différent, et chacune a une plage d'excentricité différente.

Comment calculer l'excentricité ?

L'excentricité est fixe pour un cercle ($e = 0$) et pour une parabole ($e = 1$). Pour une ellipse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, à partir du demi-grand axe $a$ et du demi-petit axe $b$. Pour une hyperbole, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, à partir du demi-axe transverse $a$ et du demi-axe conjugué $b$.

L'axe transverse d'une hyperbole doit-il être plus long que son axe conjugué ?

Non. Contrairement au demi-grand axe et au demi-petit axe d'une ellipse, le demi-axe transverse ($a$) et le demi-axe conjugué ($b$) d'une hyperbole sont des mesures indépendantes. Les deux doivent être positifs, mais l'un ou l'autre peut être le plus grand.

Une ellipse peut-elle devenir un cercle ?

Oui. Lorsque le demi-grand axe est égal au demi-petit axe, l'ellipse est un cercle et son excentricité vaut 0.

Pourquoi les antennes paraboliques ont-elles une forme parabolique ?

Une parabole réfléchit les rayons qui arrivent parallèlement à son axe vers un unique point focal. Les antennes paraboliques et les miroirs de télescope exploitent cette propriété pour concentrer les signaux ou la lumière en un seul point.

Qu'est-ce qu'une hyperbole équilatère ?

Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont le demi-axe transverse est égal au demi-axe conjugué ($a = b$). Ses asymptotes sont perpendiculaires, et son excentricité vaut $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Références

1. OpenStax. Calculus Volume 2, 7.5 Conic Sections. Sections coniques : plages d'excentricité de chaque conique, $e = c/a$, $c^2 = a^2 - b^2$ (ellipse) et $c^2 = a^2 + b^2$ (hyperbole), et propriété réfléchissante d'une antenne parabolique.
2. NASA Science. Orbits and Kepler's Laws. Orbites et lois de Kepler : les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Menaechmus. Biographie de Ménechme : dates, et coniques étudiées pour résoudre le problème de la duplication du cube.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Biographie d'Apollonios : dates, et Conics qui introduit les termes parabole, ellipse et hyperbole.