Calculateur d'alligation — Ratio de mélange et quantités

Qu’est-ce qu’un calculateur d’alligation ?

Un calculateur d’alligation détermine le rapport nécessaire pour mélanger deux ingrédients de valeurs différentes afin d’obtenir un mélange ayant une valeur cible. La méthode utilisée s’appelle l’alligation. Elle s’applique à tout mélange composé de deux éléments, par exemple pour mélanger un produit bon marché avec un produit coûteux, ou diluer une solution concentrée avec une solution diluée, à condition que les deux ingrédients soient mesurés selon la même échelle.

La formule de l’alligation

L’alligation compare trois nombres sur une même échelle : une valeur inférieure C, une valeur supérieure (plus coûteuse) D et la valeur cible du mélange M, avec C inférieur à M et M inférieur à D.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

où c est le nombre de parts de l’ingrédient le moins cher et d le nombre de parts de l’ingrédient le plus cher.

La proportion de chaque ingrédient dépend de l’écart situé de l’autre côté de la cible. Plus la cible est proche de la valeur d’un ingrédient, plus le mélange doit contenir de cet ingrédient, car la moyenne doit se rapprocher de cette valeur.

Si une quantité totale Q est également connue, la quantité de chaque ingrédient est la suivante :

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

où $A_c$ est la quantité de l’ingrédient le moins cher, $A_d$ la quantité de l’ingrédient le plus cher et Q la quantité totale.

La croix d’alligation

La formule est traditionnellement représentée sous forme de croix. Les valeurs des deux ingrédients sont placées à gauche, la cible au centre, et chaque différence en diagonale est inscrite dans le coin opposé.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

La valeur la plus élevée se trouve en haut à gauche, la valeur la plus basse en bas à gauche et la valeur cible au centre. La différence en haut à droite indique le nombre de parts de l’ingrédient le plus cher ; la différence en bas à droite indique le nombre de parts de l’ingrédient le moins cher.

Exemple détaillé

Mélangez un ingrédient à 10 $US avec un ingrédient à 30 $US pour obtenir un mélange d’une valeur de 20 $US.

Les parts sont dans le rapport produit moins cher : produit plus cher = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

Les deux ingrédients sont nécessaires à parts égales. Pour un total de 100 unités, cela signifie 50 unités de l’ingrédient à 10 $US et 50 unités de l’ingrédient à 30 $US. La valeur moyenne de ce mélange est exactement de 20 $US.

Si la cible passe à 25 $US, le rapport change : (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, ce qui se simplifie en 1 : 3. La cible est maintenant plus proche du prix le plus élevé ; le mélange doit donc contenir trois fois plus de l’ingrédient le plus cher que de l’ingrédient le moins cher.

Alligation alternée et alligation médiale

La méthode décrite ci-dessus s’appelle l’alligation alternée : les valeurs des deux ingrédients et la cible sont connues, mais le rapport est inconnu. Le problème inverse s’appelle l’alligation médiale : les quantités et les valeurs des ingrédients sont connues, mais la valeur du mélange obtenu est inconnue. L’alligation médiale est une moyenne pondérée :

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

où M est la valeur du mélange, q la quantité d’un ingrédient et v sa valeur, les indices indiquant le premier et le deuxième ingrédient.

Les deux méthodes permettent de se vérifier mutuellement. En remplaçant, dans la formule de la moyenne pondérée, les quantités obtenues par un calcul d’alligation alternée, on doit retrouver la valeur cible initiale.

Utilisations de l’alligation

• Préparations pharmaceutiques. Mélange d’une préparation concentrée et d’une préparation diluée, par exemple une solution à 70 % et une solution à 20 %, pour atteindre une concentration prescrite. Les valeurs sont des pourcentages ou des concentrations plutôt que des prix, mais le calcul est identique.
• Tarification au détail et des matières premières. Mélange d’un produit bon marché et d’un produit haut de gamme pour atteindre un prix de vente ou un coût unitaire cible.
• Alimentation, boissons et chimie. Dilution ou enrichissement d’une solution pour atteindre une concentration, un degré alcoolique ou une teneur en sucre cible.

La règle ne nécessite qu’une seule propriété mesurée sur une échelle uniforme ; les mêmes trois nombres couvrent donc tous ces cas.

Comment utiliser le calculateur d’alligation

Saisissez la valeur basse, la valeur élevée et la valeur cible du mélange, en utilisant la même unité pour les trois. Les champs n’acceptent pas les valeurs inférieures à zéro. Ajoutez une quantité totale pour connaître la quantité exacte de chaque ingrédient nécessaire. La cible doit être strictement comprise entre les valeurs des deux ingrédients. Une cible située en dehors de cet intervalle ne peut être atteinte par un mélange des deux ingrédients, et une cible égale à l’une de ces valeurs ne nécessite aucun mélange ; dans les deux cas, le calculateur affiche donc un message d’erreur au lieu d’un rapport.

Foire aux questions

Que se passe-t-il si la valeur cible ne se situe pas entre les valeurs des deux ingrédients ? Aucun mélange des deux ingrédients ne peut l’atteindre. Un mélange d’un article à 10 $US et d’un article à 30 $US a toujours une valeur moyenne comprise entre 10 $US et 30 $US ; le calculateur rejette donc les valeurs cibles situées en dehors de cette plage. Il rejette également une valeur cible égale à 10 $US ou à 30 $US, car cette valeur est atteinte par un seul ingrédient utilisé seul et il n’y a alors aucun rapport à calculer.

L’unité de mesure a-t-elle une importance ? Non. Le rapport dépend uniquement des différences entre les trois valeurs. Les prix, les pourcentages et les concentrations telles que mg/mL conviennent donc tous, à condition que les trois données utilisent la même unité.

La règle d’alligation peut-elle traiter trois ingrédients ou plus ? Ce calculateur traite le cas de deux ingrédients. Les problèmes comportant trois ingrédients ou plus ont plusieurs solutions valides et se résolvent généralement en associant les ingrédients deux à deux ou en établissant des équations linéaires.

La règle d’alligation est-elle identique à une moyenne pondérée ? Il s’agit d’opérations inverses. Une moyenne pondérée, également appelée alligation médiale, transforme des quantités connues en une valeur de mélange. L’alligation alternée transforme une valeur cible en quantités nécessaires pour l’atteindre.

Pourquoi cette méthode est-elle appelée alligation ? Le nom vient du mot latin alligare, qui signifie « lier » ou « attacher ». Il décrit la manière dont la méthode relie deux valeurs pour former un rapport cible.

Sources

• Alligation — Wikipédia
• Calculateur d’alligation — Omni Calculator