Calculateur d'alligation — Ratio de mélange et quantités

Qu’est-ce qu’un calculateur d’alligation ?

Un calculateur d’alligation détermine le rapport nécessaire pour mélanger deux ingrédients de valeurs différentes afin d’obtenir un mélange ayant une valeur cible. La méthode utilisée s’appelle l’alligation. Elle s’applique à tout mélange composé de deux éléments, par exemple pour mélanger un produit bon marché avec un produit coûteux, ou diluer une solution concentrée avec une solution diluée, à condition que les deux ingrédients soient mesurés selon la même échelle.

La formule de l’alligation

L’alligation compare trois nombres sur une même échelle : une valeur inférieure C, une valeur supérieure (plus coûteuse) D et la valeur cible du mélange M, avec C inférieur à M et M inférieur à D.

La part de chaque ingrédient provient de la distance du côté opposé de la cible. Dans une description de la méthode datant de 2024, les parts du composant de plus grande valeur sont égales à la cible moins la plus faible valeur, et les parts du composant de plus faible valeur sont égales à la plus grande valeur moins la cible. Plus la cible est éloignée de la valeur d'un ingrédient, plus le mélange en exige, car il en faut davantage pour tirer la moyenne aussi loin.

Si une quantité totale Q est également connue, la quantité de chaque ingrédient est la suivante :

La croix d’alligation

La formule est traditionnellement représentée sous forme de croix. Les valeurs des deux ingrédients sont placées à gauche, la cible au centre, et chaque différence en diagonale est inscrite dans le coin opposé.

Exemple détaillé

Mélangez un ingrédient à 10 $US avec un ingrédient à 30 $US pour obtenir un mélange valant 20 $US.

Les deux ingrédients sont nécessaires à parts égales. Pour 100 unités au total, cela représente 50 unités de l'ingrédient à 10 $US et 50 unités de l'ingrédient à 30 $US. La valeur moyenne de ce mélange est exactement de 20 $US.

Déplacer la cible à 25 $US change le rapport : (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, qui se simplifie en 1 : 3. La cible est maintenant plus proche de la valeur la plus élevée ; le mélange demande donc trois fois plus de l'ingrédient le plus cher que du moins cher.

Alligation alternée et alligation médiale

La méthode ci-dessus s'appelle l'alligation alternée : les valeurs des deux ingrédients et la cible sont connues, et le rapport est inconnu. Le problème inverse s'appelle l'alligation médiale, une méthode apparentée issue de la même tradition arithmétique : les quantités et les valeurs des ingrédients sont connues, et la valeur du mélange obtenu est inconnue. L'alligation médiale est une moyenne pondérée :

Les deux méthodes permettent de se vérifier mutuellement. En remplaçant, dans la formule de la moyenne pondérée, les quantités obtenues par un calcul d’alligation alternée, on doit retrouver la valeur cible initiale.

Utilisations de l’alligation

• Préparations pharmaceutiques. Mélange d'une préparation forte et d'une préparation faible pour obtenir une concentration prescrite. La méthode est largement enseignée dans les études de pharmacie. Les valeurs sont des pourcentages ou des concentrations plutôt que des prix, mais l'arithmétique est la même.
• Tarification au détail et des matières premières. Mélange d’un produit bon marché et d’un produit haut de gamme pour atteindre un prix de vente ou un coût unitaire cible.
• Alimentation, boissons et chimie. Dilution ou enrichissement d’une solution pour atteindre une concentration, un degré alcoolique ou une teneur en sucre cible.

Comme la règle n'exige qu'une valeur sur une échelle cohérente, les mêmes trois nombres couvrent tous ces cas.

Comment utiliser le calculateur d’alligation

Saisissez la valeur inférieure, la valeur supérieure et la valeur cible du mélange, en utilisant la même unité pour les trois. Ajoutez une quantité totale pour voir la quantité exacte de chaque ingrédient nécessaire. La cible doit se situer strictement entre les deux valeurs des ingrédients. Si elle est égale à l'une d'elles ou se trouve en dehors, aucun mélange des deux ingrédients ne peut l'atteindre, et le calculateur affiche un message d'erreur au lieu d'un rapport. Les valeurs négatives sont également refusées.

Foire aux questions

Que se passe-t-il si la valeur cible n'est pas comprise entre les deux valeurs des ingrédients ? Aucun mélange des deux ingrédients ne peut l'atteindre. Un mélange d'un article à 10 $US et d'un article à 30 $US a toujours une valeur moyenne comprise entre 10 $US et 30 $US ; le calculateur rejette donc les cibles en dehors de cette plage.

L’unité de mesure a-t-elle une importance ? Non. Le rapport dépend uniquement des différences entre les trois valeurs. Les prix, les pourcentages et les concentrations telles que mg/mL conviennent donc tous, à condition que les trois données utilisent la même unité.

La règle d’alligation peut-elle traiter trois ingrédients ou plus ? Ce calculateur traite le cas de deux ingrédients. Les problèmes comportant trois ingrédients ou plus ont plusieurs solutions valides et se résolvent généralement en associant les ingrédients deux à deux ou en établissant des équations linéaires.

La règle d’alligation est-elle identique à une moyenne pondérée ? Il s’agit d’opérations inverses. Une moyenne pondérée, également appelée alligation médiale, transforme des quantités connues en une valeur de mélange. L’alligation alternée transforme une valeur cible en quantités nécessaires pour l’atteindre.

Références

1. McPherson, P. A. C. and Jack, I. G. (Ulster University). Alligation Alternate: Borrowing a Useful Concept from the Pharmacy Curriculum, Journal of Chemical Education, 2024 (accès libre). PDF en accès libre — règle des parts pour l'alligation alternée, alligation médiale comme méthode apparentée, utilisation dans l'enseignement de la pharmacie.