Calculateur de Courbe Verticale - Outil de Conception Routière

Qu’est-ce qu’un calculateur de courbe verticale ?

Un calculateur de courbe verticale détermine les altitudes, la valeur K et les points caractéristiques d’une courbe verticale, c’est-à-dire la courbe parabolique que les ingénieurs utilisent pour raccorder en douceur deux pentes routières. Au lieu de se rejoindre selon un angle vif, avec une variation brutale de la pente, les deux pentes sont réunies par une courbe continue. La conduite est ainsi plus confortable, la distance de visibilité nécessaire à l’arrêt est assurée et l’eau s’écoule correctement.

Les ingénieurs utilisent les courbes verticales pour concevoir les autoroutes, les rues, les voies ferrées, les pistes d’aéroport et les terrains nivelés tels que les parkings. Partout où une route ou une voie ferrée doit changer de pente, une courbe verticale assure cette transition.

Courbes en sommet et courbes en creux

Une courbe verticale est de l’un de deux types, selon la comparaison entre les pentes avant et après la courbe. Une pente s’écrit en pourcentage : une pente de 3 % s’élève de 3 mètres pour chaque 100 mètres parcourus.

• Courbe en sommet : la pente initiale est supérieure à la pente finale (g₁ > g₂). La route monte, franchit un point haut, puis redescend, comme au sommet d’une colline.
• Courbe en creux : la pente initiale est inférieure à la pente finale (g₁ < g₂). La route descend jusqu’à un point bas, puis remonte, comme au fond d’une dépression.
• Si les deux pentes sont égales, aucune courbe n’est nécessaire. La route forme déjà une ligne droite.

Les courbes en sommet sont surtout importantes pour la distance de visibilité d’arrêt : le conducteur doit voir suffisamment loin pour s’arrêter avant un obstacle. Les courbes en creux sont surtout importantes pour la distance de visibilité de nuit dans les phares et pour le drainage, car l’eau s’accumule au point bas.

Termes clés

• PVI (point d’intersection verticale) : point où les deux lignes droites représentant les pentes se rejoindraient en l’absence de courbe.
• PVC (point de début de courbure verticale) : point où commence la courbe.
• PVT (point de tangence verticale) : point où se termine la courbe.
• Valeur K : longueur de la courbe divisée par la variation de pente. Elle mesure le caractère progressif de la courbe.
• Chaînage : mesure de distance le long de l’axe de la route, utilisée à la place de simples coordonnées. Dans ce calculateur, le chaînage et l’altitude sont tous deux saisis en mètres.

Une courbe est normalement symétrique : le PVC se trouve à une demi-longueur de courbe avant le PVI, et le PVT à une demi-longueur de courbe après celui-ci.

Formule de la courbe verticale

L’altitude en tout point de la courbe suit une équation quadratique (parabolique) :

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = altitude à la distance $x$ du PVC
• $y_{PVC}$ = altitude au PVC
• $g_1$ = pente initiale, sous forme décimale (une pente de 3 % vaut 0,03)
• $A$ = différence algébrique entre les pentes, $g_2 - g_1$ (sous forme décimale)
• $L$ = longueur de la courbe

Formule de la valeur K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ et $g_2$ sont ici des pourcentages. Une valeur K plus élevée indique une courbe plus plate et plus progressive. Des manuels de conception tels que « A Policy on Geometric Design of Highways and Streets » de l’AASHTO fixent des valeurs K minimales pour les autoroutes, en fonction de la vitesse de conception et du fait que la courbe soit en sommet ou en creux.

Si $g_1$ est égal à $g_2$, la variation de pente est nulle et K n’est pas définie. Le calculateur affiche alors un tiret à la place d’une valeur K. Des pentes dont l’écart est inférieur à 0,0001 % sont considérées comme égales.

PVC et PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ et $g_2$ sont ici des pourcentages ; la division par 200 convertit le pourcentage en valeur décimale et l’applique sur une demi-longueur de courbe.)

Point haut ou point bas

Un point haut (courbe en sommet) ou un point bas (courbe en creux) se trouve sur la courbe lorsque les deux pentes sont de signes opposés ou lorsque l’une des pentes est exactement nulle. Sa distance au PVC est :

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Ajoutez $x$ au point métrique du PVC pour obtenir le point métrique du point haut ou bas, puis utilisez la formule d’altitude ci-dessus pour déterminer son altitude. Lorsque les deux pentes sont de même signe, ce point se trouve hors de l’intervalle PVC-PVT : la route continue donc de monter ou de descendre sur toute la courbe, et le calculateur n’indique aucun point haut ni point bas. Lorsqu’une pente est nulle, le point coïncide exactement avec le PVC ou le PVT.

Comment calculer une courbe verticale

1. Saisissez la pente initiale et la pente finale, en pourcentage. Utilisez un nombre positif pour une pente montante et un nombre négatif pour une pente descendante.
2. Saisissez la longueur de la courbe, en mètres.
3. Saisissez le chaînage du PVI et l’altitude du PVI, tous deux en mètres.
4. Relevez le type de courbe (sommet, creux ou aucun), la valeur K, ainsi que les points métriques et les altitudes du PVC et du PVT.
5. Si les pentes sont de signes opposés ou si l’une d’elles est nulle, le calculateur indique également le point haut ou le point bas.
6. Pour trouver l’altitude à un autre point, saisissez un chaînage à interroger. S’il se trouve hors de la courbe, le calculateur l’indique au lieu de fournir un nombre, car la formule ne s’applique qu’entre le PVC et le PVT.

Exemple de calcul : courbe en sommet

Une route monte selon une pente de 3 %, puis descend selon une pente de -2 %. Le PVI se trouve au point métrique 1000,00 m, à une altitude de 150,00 m. La longueur de la courbe est de 400 m.

Valeur K : $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC : point métrique $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m ; altitude $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT : point métrique $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m ; altitude $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Point haut : puisque 3 et −2 sont de signes opposés, un point haut existe. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m à partir du PVC ; son point métrique est donc $800 + 240 = 1040.00$ m. Son altitude est $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Exemple de calcul : courbe en creux

Une route descend selon une pente de -3 %, puis monte selon une pente de 2 %. Le PVI se trouve au point métrique 500,00 m, à une altitude de 85,00 m. La longueur de la courbe est de 200 m.

Valeur K : $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC : point métrique $= 400.00$ m ; altitude $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT : point métrique $= 600.00$ m ; altitude $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Point bas : $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m à partir du PVC ; son point métrique est donc $400 + 120 = 520.00$ m. Son altitude est $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Ce point bas est l’endroit où s’accumulent les eaux de ruissellement ; c’est donc là que le concepteur place un avaloir, et non au PVI.

Foire aux questions

Qu’est-ce qu’une valeur K dans la conception d’une courbe verticale ? La valeur K est la longueur de la courbe divisée par la différence absolue entre les deux pentes. Elle indique combien de mètres de courbe correspondent à une variation de pente de 1 %. Une valeur K plus élevée signifie une courbe plus plate et plus progressive.

Comment savoir si une courbe doit être en sommet ou en creux ? Comparez les deux pentes. Si la pente initiale est supérieure à la pente finale, il s’agit d’une courbe en sommet. Si la pente initiale est inférieure à la pente finale, il s’agit d’une courbe en creux. Des pentes égales ne nécessitent aucune courbe.

Que se passe-t-il si les pentes initiale et finale sont égales ? Aucune courbe verticale n’est nécessaire, puisque la route est déjà droite. La valeur K n’est pas définie, car son calcul nécessiterait une division par une variation de pente nulle ; le calculateur affiche donc un tiret au lieu d’un nombre.

Comment trouver le point haut ou le point bas d’une courbe ? Il existe lorsque les deux pentes sont de signes opposés ou lorsque l’une des pentes est nulle. Sa distance au PVC est $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Ajoutez cette distance au point métrique du PVC pour obtenir sa position, puis utilisez la formule d’altitude de la courbe pour déterminer sa hauteur. Lorsque les pentes sont de même signe, ce point se trouve hors de la courbe et il n’y en a donc pas.

Pourquoi le point bas d’une courbe en creux est-il important pour le drainage ? L’eau qui descend des deux côtés du creux s’accumule au point bas. Si une bouche d’engouffrement est placée au PVI plutôt qu’au véritable point bas, l’eau peut stagner sur la route, car ces deux points coïncident rarement.

Un point métrique demandé peut-il se trouver hors de la courbe ? Oui. La formule d’altitude ne s’applique qu’entre le PVC et le PVT. Un point métrique situé hors de cet intervalle n’a pas d’altitude définie sur la courbe ; le calculateur l’indique donc comme étant hors de la courbe.