Kalkulátor gamma rozdělení

Úvod

Gamma rozdělení je spojité pravděpodobnostní rozdělení, které se široce používá v různých oblastech vědy, inženýrství a financí. Je charakterizováno dvěma parametry: parametrem tvaru (k nebo α) a parametrem škály (θ nebo β). Tento kalkulátor vám umožňuje vypočítat různé vlastnosti gamma rozdělení na základě těchto vstupních parametrů.

Vzorec

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) gamma rozdělení je dána vzorcem:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kde:

• x > 0 je náhodná proměnná
• k > 0 je parametr tvaru
• θ > 0 je parametr škály
• Γ(k) je gamma funkce

Kumulativní distribuční funkce (CDF) je:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kde γ(k, x/θ) je dolní neúplná gamma funkce.

Klíčové vlastnosti gamma rozdělení zahrnují:

1. Průměr: $E[X] = k\theta$
2. Variance: $Var[X] = k\theta^2$
3. Skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Jak používat tento kalkulátor

1. Zadejte parametr tvaru (k nebo α)
2. Zadejte parametr škály (θ nebo β)
3. Klikněte na "Vypočítat" pro výpočet různých vlastností gamma rozdělení
4. Výsledky zobrazí průměr, varianci, skewness, kurtosis a další relevantní informace
5. Bude zobrazena vizualizace funkce hustoty pravděpodobnosti

Výpočet

Kalkulátor používá výše uvedené vzorce k výpočtu různých vlastností gamma rozdělení. Zde je krok za krokem vysvětlení:

1. Ověřte vstupní parametry (jak k, tak θ musí být kladné)
2. Vypočítejte průměr: $k\theta$
3. Vypočítejte varianci: $k\theta^2$
4. Vypočítejte skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Vypočítejte kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Vypočítejte mód: $(k-1)\theta$ pro k ≥ 1, jinak 0
7. Vygenerujte body pro křivku PDF pomocí výše uvedeného vzorce
8. Nakreslete křivku PDF

Numerické úvahy

Při implementaci výpočtů gamma rozdělení by měly být zohledněny některé numerické úvahy:

1. Pro velmi malé parametry tvaru (k < 1) může PDF přistupovat k nekonečnu, když x přistupuje k 0, což může způsobit numerickou nestabilitu.
2. Pro velké parametry tvaru může gamma funkce Γ(k) stát se velmi velkou, což může způsobit přetečení. V takových případech je doporučeno pracovat s logaritmem gamma funkce.
3. Při výpočtu CDF je často numericky stabilnější používat specializované algoritmy pro neúplnou gamma funkci spíše než přímou integraci PDF.
4. Pro extrémní hodnoty parametrů může být nutné použít aritmetiku s rozšířenou přesností k udržení přesnosti.

Případové studie

Gamma rozdělení má nespočet aplikací v různých oblastech:

1. Finance: Modelování rozdělení příjmů, částek pojistných událostí a výnosů aktiv
2. Meteorologie: Analýza vzorců srážek a dalších meteorologických jevů
3. Inženýrství: Analýza spolehlivosti a modelování časů selhání
4. Fyzika: Popis čekacích dob mezi událostmi radioaktivního rozkladu
5. Biologie: Modelování hojnosti druhů a úrovní exprese genů
6. Operační výzkum: Teorie front a řízení zásob

Alternativy

I když je gamma rozdělení univerzální, existují související rozdělení, která mohou být v určitých situacích vhodnější:

1. Exponenciální rozdělení: Zvláštní případ gamma rozdělení, když k = 1
2. Chi-kvadrát rozdělení: Zvláštní případ gamma rozdělení s k = n/2 a θ = 2
3. Weibullovo rozdělení: Často používané jako alternativa v analýze spolehlivosti
4. Log-normální rozdělení: Další běžná volba pro modelování zkreslených, kladných dat

Odhad parametrů

Při práci s reálnými daty je často nutné odhadnout parametry gamma rozdělení. Běžné metody zahrnují:

1. Metoda momentů: Vyrovnání vzorkových momentů s teoretickými momenty
2. Odhad maximální věrohodnosti (MLE): Hledání parametrů, které maximalizují pravděpodobnost pozorování dat
3. Bayesovský odhad: Zahrnutí předchozích znalostí o parametrech

Testování hypotéz

Gamma rozdělení může být použito v různých testech hypotéz, včetně:

1. Testy dobrého shody k určení, zda data následují gamma rozdělení
2. Testy pro rovnost parametrů škály mezi dvěma gamma rozděleními
3. Testy pro rovnost parametrů tvaru mezi dvěma gamma rozděleními

Historie

Gamma rozdělení má bohatou historii v matematice a statistice:

• 18. století: Leonhard Euler představil gamma funkci, která je úzce spojena s gamma rozdělením
• 1836: Siméon Denis Poisson použil zvláštní případ gamma rozdělení ve své práci na teorii pravděpodobnosti
• 1920. léta: Ronald Fisher popularizoval použití gamma rozdělení v statistické analýze
• Polovina 20. století: Gamma rozdělení se stalo široce používaným v inženýrství spolehlivosti a testování životnosti
• Konec 20. století až do současnosti: Pokroky v počítačové technice usnadnily práci s gamma rozděleními v různých aplikacích

Příklady

Zde je několik příkladů kódu pro výpočet vlastností gamma rozdělení:

1' Excel VBA Funkce pro PDF gamma rozdělení
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Použití:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma rozdělení (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Hustota pravděpodobnosti')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Příklad použití:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Vypočítat vlastnosti
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Průměr: {mean}")
29print(f"Variance: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Průměr: ${mean}`);
19    console.log(`Variance: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Příklad použití:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Nakreslete PDF (použití hypotetické knihovny pro vykreslování)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Tyto příklady demonstrují, jak vypočítat vlastnosti gamma rozdělení a vizualizovat jeho funkci hustoty pravděpodobnosti pomocí různých programovacích jazyků. Můžete tyto funkce přizpůsobit svým konkrétním potřebám nebo je integrovat do větších systémů statistické analýzy.

Odkazy

1. "Gamma rozdělení." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Přístup 2. srpna 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Poznámka o gamma rozdělení. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Generalizace gamma rozdělení. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.