ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਗਣਕ

ਪਰਿਚਯ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਇੱਕ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੈ ਜੋ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਵਿੱਤ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ: ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (k ਜਾਂ α) ਅਤੇ ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (θ ਜਾਂ β)। ਇਹ ਗਣਕ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਫਾਰਮੂਲਾ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (PDF) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

ਜਿੱਥੇ:

• x > 0 ਰੈਂਡਮ ਵਾਰੀਏਬਲ ਹੈ
• k > 0 ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ
• θ > 0 ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ
• Γ(k) ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ

ਸੰਕੁਚਿਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (CDF) ਹੈ:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

ਜਿੱਥੇ γ(k, x/θ) ਨੀਚਲੀ ਅਧੂਰੀ ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਗੁਣ ਹਨ:

1. ਮੀਨ: $E[X] = k\theta$
2. ਵੈਰੀਅੰਸ: $Var[X] = k\theta^2$
3. ਸਕਿਊਨੈਸ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. ਕੁਰਟੋਸਿਸ: $3 + \frac{6}{k}$

ਇਸ ਗਣਕ ਨੂੰ ਵਰਤਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ

1. ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (k ਜਾਂ α) ਦਰਜ ਕਰੋ
2. ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (θ ਜਾਂ β) ਦਰਜ ਕਰੋ
3. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ "ਗਣਨਾ ਕਰੋ" 'ਤੇ ਕਲਿਕ ਕਰੋ
4. ਨਤੀਜੇ ਮੀਨ, ਵੈਰੀਅੰਸ, ਸਕਿਊਨੈਸ, ਕੁਰਟੋਸਿਸ ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਬੰਧਿਤ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਰਸਾਉਣਗੇ
5. ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਜੁਅਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ

ਗਣਨਾ

ਗਣਕ ਉਪਰੋਕਤ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਵਿਆਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:

1. ਇਨਪੁਟ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ (ਦੋਹਾਂ k ਅਤੇ θ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ)
2. ਮੀਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $k\theta$
3. ਵੈਰੀਅੰਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $k\theta^2$
4. ਸਕਿਊਨੈਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. ਕੁਰਟੋਸਿਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $3 + \frac{6}{k}$
6. ਮੋਡ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $(k-1)\theta$ ਜੇ k ≥ 1, ਨਹੀਂ ਤਾਂ 0
7. PDF ਵਕਰ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਬਣਾਓ ਉਪਰੋਕਤ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
8. PDF ਵਕਰ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ

ਗਣਨਾਤਮਕ ਵਿਚਾਰ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਕਈ ਗਣਨਾਤਮਕ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:

1. ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ (k < 1) ਲਈ, PDF ਜਦੋਂ x 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਗਣਨਾਤਮਕ ਅਸਥਿਰਤਾ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣ ਸਕਦਾ ਹੈ।
2. ਵੱਡੇ ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਲਈ, ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ Γ(k) ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸੰਭਵਤ: ਓਵਰਫਲੋ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਐਸੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੋਗਾਰਿਦਮ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਸੁਝਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. CDF ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਕਸਰ ਨੀਚਲੀ ਅਧੂਰੀ ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਕ੍ਰਿਤ ਅਲਗੋਰਿਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗਣਨਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਬਜਾਏ PDF ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੇ।
4. ਅਤਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਹੀਤਾ ਨੂੰ ਬਣਾਈ ਰੱਖਣ ਲਈ ਵਧੀਕ ਸਹੀਤਾ ਗਣਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਕੇਸ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ:

1. ਵਿੱਤ: ਆਮਦਨੀ ਵੰਡ, ਬੀਮਾ ਦਾਅਵੇ ਦੇ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਆਸੇਟ ਵਾਪਸੀ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ
2. ਮੌਸਮ ਵਿਗਿਆਨ: ਵਰਖਾ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਮੌਸਮ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ: ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਅਤੇ ਨਾਸ਼ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ
4. ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ: ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਦਰਮਿਆਨ ਦੀਆਂ ਉਡੀਕਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ
5. ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ: ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਚੁਰਤਾ ਅਤੇ ਜੀਨ ਪ੍ਰਗਟੀ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ
6. ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਰਿਸਰਚ: ਕਿਊਇੰਗ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਇਨਵੈਂਟਰੀ ਪ੍ਰਬੰਧਨ

ਵਿਕਲਪ

ਜਦੋਂ ਕਿ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਬਹੁਤ ਲਚਕੀਲੀ ਹੈ, ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੰਡਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਹੋਰ ਯੋਗਯੋਗ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ:

1. ਵਿਸ਼ਮਾਨ ਵੰਡ: ਜਦੋਂ k = 1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ
2. ਚੀ-ਸਕੁਇਰਡ ਵੰਡ: ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਜਿਸ ਵਿੱਚ k = n/2 ਅਤੇ θ = 2
3. ਵੈਬੁਲ ਵੰਡ: ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪ ਵਜੋਂ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
4. ਲੌਗ-ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ: ਹੋਰ ਇੱਕ ਆਮ ਚੋਣ ਜੋ ਝੁਕਾਅ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਡੇਟਾ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ ਲਈ

ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਅਨੁਮਾਨ

ਜਦੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਡੇਟਾ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਅਕਸਰ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਜਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:

1. ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ: ਨਮੂਨਾ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨਾ
2. ਅਧਿਕਤਮ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਨੁਮਾਨ (MLE): ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਜੋ ਡੇਟਾ ਦੇ ਵੇਖਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ
3. ਬੇਜ਼ੀਅਨ ਅਨੁਮਾਨ: ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਬਾਰੇ ਪੂਰਵ ਗਿਆਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ

ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਟੈਸਟਿੰਗ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:

1. ਗੁਣਵੱਤਾ-ਦੇ-ਫਿੱਟ ਟੈਸਟਾਂ ਜੋ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਨ ਕਿ ਡੇਟਾ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਫੋਲੋ ਕਰਦਾ ਹੈ
2. ਦੋ ਗੈਮਾ ਵੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੀ ਬਰਾਬਰੀ ਲਈ ਟੈਸਟ
3. ਦੋ ਗੈਮਾ ਵੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੀ ਬਰਾਬਰੀ ਲਈ ਟੈਸਟ

ਇਤਿਹਾਸ

ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦਾ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮ੍ਰਿੱਧ ਇਤਿਹਾਸ ਹੈ:

• 18ਵੀਂ ਸਦੀ: ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ ਨੇ ਗੈਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਨਾਲ ਨਿਕਟਤਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ
• 1836: ਸਿਮੀਓਨ ਡੇਨਿਸ ਪੋਇਸਨ ਨੇ ਆਪਣੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ
• 1920ਵੀਂ ਸਦੀ: ਰੋਨਾਲਡ ਫਿਸ਼ਰ ਨੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਇਸਤੇਮਾਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕੀਤਾ
• 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮੱਧ: ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਜੀਵਨ ਟੈਸਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
• 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅੰਤ ਤੋਂ ਵਰਤਮਾਨ: ਕੰਪਿਊਟਿੰਗ ਸ਼ਕਤੀ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗੈਮਾ ਵੰਡਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਇਆ

ਉਦਾਹਰਨਾਂ

ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਕੋਡ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜੋ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:

1' Excel VBA ਫੰਕਸ਼ਨ ਗੈਮਾ ਵੰਡ PDF ਲਈ
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' ਵਰਤੋਂ:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'ਗੈਮਾ ਵੰਡ (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## ਉਦਾਹਰਨ ਵਰਤੋਂ:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## ਗਣਨਾ ਗੁਣਾਂ
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"ਮੀਨ: {mean}")
29print(f"ਵੈਰੀਅੰਸ: {variance}")
30print(f"ਸਕਿਊਨੈਸ: {skewness}")
31print(f"ਕੁਰਟੋਸਿਸ: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`ਮੀਨ: ${mean}`);
19    console.log(`ਵੈਰੀਅੰਸ: ${variance}`);
20    console.log(`ਸਕਿਊਨੈਸ: ${skewness}`);
21    console.log(`ਕੁਰਟੋਸਿਸ: ${kurtosis}`);
22}
23
24// ਉਦਾਹਰਨ ਵਰਤੋਂ:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF ਪਲਾਟ ਕਰੋ (ਕਿਸੇ ਕਲਪਿਤ ਪਲਾਟਿੰਗ ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

ਇਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਜਰੂਰਤਾਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵੱਡੇ ਅੰਕੜਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਹਵਾਲੇ

1. "ਗੈਮਾ ਵੰਡ." ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ, ਵਿਕੀਮੀਡੀਆ ਫਾਉਂਡੇਸ਼ਨ, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2 ਅਗਸਤ 2024 ਨੂੰ ਪਹੁੰਚਿਆ।
2. ਜੌਨਸਨ, N. L., ਕੋਟਜ਼, S., & ਬਾਲਾਕ੍ਰਿਸ਼ਨ, N. (1994). ਲਗਾਤਾਰ ਇਕਾਈ ਵੰਡ, ਵੋਲਯੂਮ 1 (ਵੋਲਯੂਮ 1). ਜੌਨ ਵਾਇਲੀ ਅਤੇ ਪੁਸਤਕਾਂ।
3. ਫੋਰਬਸ, C., ਇਵਾਂਸ, M., ਹੈਸਟਿੰਗਜ਼, N., & ਪੀਕੋਕ, B. (2011). ਅੰਕੜਾ ਵੰਡ. ਜੌਨ ਵਾਇਲੀ ਅਤੇ ਪੁਸਤਕਾਂ।
4. ਥੋਮ, H. C. S. (1958). ਗੈਮਾ ਵੰਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨੋਟ. ਮੰਥਲੀ ਮੌਸਮ ਸਮੀਖਿਆ, 86(4), 117-122।
5. ਸਟੇਸੀ, E. W. (1962). ਗੈਮਾ ਵੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮਕਰਨ. ਦ ਐਨਲਜ਼ ਆਫ ਮੈਥਮੈਟਿਕਲ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ, 33(3), 1187-1192।