Kalkulator rozkładu gamma

Wprowadzenie

Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, który jest szeroko stosowany w różnych dziedzinach nauki, inżynierii i finansów. Charakteryzuje się dwoma parametrami: parametrem kształtu (k lub α) oraz parametrem skali (θ lub β). Ten kalkulator pozwala obliczyć różne właściwości rozkładu gamma na podstawie tych parametrów wejściowych.

Wzór

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) rozkładu gamma jest podana przez:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Gdzie:

• x > 0 to zmienna losowa
• k > 0 to parametr kształtu
• θ > 0 to parametr skali
• Γ(k) to funkcja gamma

Funkcja dystrybucji skumulowanej (CDF) to:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Gdzie γ(k, x/θ) to dolna niepełna funkcja gamma.

Kluczowe właściwości rozkładu gamma obejmują:

1. Średnia: $E[X] = k\theta$
2. Wariancja: $Var[X] = k\theta^2$
3. Skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtoza: $3 + \frac{6}{k}$

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź parametr kształtu (k lub α)
2. Wprowadź parametr skali (θ lub β)
3. Kliknij "Oblicz", aby obliczyć różne właściwości rozkładu gamma
4. Wyniki wyświetlą średnią, wariancję, skewness, kurtozę i inne istotne informacje
5. Zostanie pokazana wizualizacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Obliczenia

Kalkulator wykorzystuje powyższe wzory do obliczenia różnych właściwości rozkładu gamma. Oto krok po kroku wyjaśnienie:

1. Walidacja parametrów wejściowych (zarówno k, jak i θ muszą być dodatnie)
2. Obliczenie średniej: $k\theta$
3. Obliczenie wariancji: $k\theta^2$
4. Obliczenie skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Obliczenie kurtozy: $3 + \frac{6}{k}$
6. Obliczenie trybu: $(k-1)\theta$ dla k ≥ 1, w przeciwnym razie 0
7. Generowanie punktów dla krzywej PDF za pomocą podanego wzoru
8. Rysowanie krzywej PDF

Rozważania numeryczne

Podczas wdrażania obliczeń rozkładu gamma należy wziąć pod uwagę kilka kwestii numerycznych:

1. Dla bardzo małych parametrów kształtu (k < 1) PDF może zbliżać się do nieskończoności, gdy x zbliża się do 0, co może powodować niestabilność numeryczną.
2. Dla dużych parametrów kształtu funkcja gamma Γ(k) może stać się bardzo duża, co potencjalnie może prowadzić do przepełnienia. W takich przypadkach zaleca się pracę z logarytmem funkcji gamma.
3. Podczas obliczania CDF często bardziej numerycznie stabilne jest użycie wyspecjalizowanych algorytmów dla niepełnej funkcji gamma, a nie bezpośredniej integracji PDF.
4. Dla ekstremalnych wartości parametrów może być konieczne użycie arytmetyki o rozszerzonej precyzji, aby zachować dokładność.

Przykłady zastosowań

Rozkład gamma ma liczne zastosowania w różnych dziedzinach:

1. Finanse: Modelowanie rozkładów dochodów, kwot roszczeń ubezpieczeniowych i zwrotów aktywów
2. Meteorologia: Analiza wzorców opadów i innych zjawisk związanych z pogodą
3. Inżynieria: Analiza niezawodności i modelowanie czasu awarii
4. Fizyka: Opis czasu oczekiwania między zdarzeniami rozpadu promieniotwórczego
5. Biologia: Modelowanie obfitości gatunków i poziomów ekspresji genów
6. Badania operacyjne: Teoria kolejek i zarządzanie zapasami

Alternatywy

Chociaż rozkład gamma jest wszechstronny, istnieją pokrewne rozkłady, które mogą być bardziej odpowiednie w niektórych sytuacjach:

1. Rozkład eksponencjalny: Szczególny przypadek rozkładu gamma, gdy k = 1
2. Rozkład chi-kwadrat: Szczególny przypadek rozkładu gamma, gdy k = n/2 i θ = 2
3. Rozkład Weibulla: Często stosowany jako alternatywa w analizie niezawodności
4. Rozkład log-normalny: Inny powszechny wybór do modelowania danych o rozkładzie skośnym, dodatnich

Estymacja parametrów

Pracując z danymi z rzeczywistego świata, często konieczne jest oszacowanie parametrów rozkładu gamma. Powszechne metody obejmują:

1. Metoda momentów: Równanie momentów próbki do momentów teoretycznych
2. Estymacja największej wiarygodności (MLE): Znalezienie parametrów, które maksymalizują prawdopodobieństwo obserwacji danych
3. Estymacja bayesowska: Uwzględnienie wcześniejszej wiedzy o parametrach

Testowanie hipotez

Rozkład gamma może być używany w różnych testach hipotez, w tym:

1. Testy dopasowania, aby określić, czy dane podążają za rozkładem gamma
2. Testy równości parametrów skali między dwoma rozkładami gamma
3. Testy równości parametrów kształtu między dwoma rozkładami gamma

Historia

Rozkład gamma ma bogatą historię w matematyce i statystyce:

• XVIII wiek: Leonhard Euler wprowadził funkcję gamma, która jest ściśle związana z rozkładem gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson użył szczególnego przypadku rozkładu gamma w swojej pracy nad teorią prawdopodobieństwa
• Lata 20. XX wieku: Ronald Fisher spopularyzował użycie rozkładu gamma w analizie statystycznej
• Połowa XX wieku: Rozkład gamma stał się szeroko stosowany w inżynierii niezawodności i testowaniu żywotności
• Koniec XX wieku do chwili obecnej: Postępy w mocy obliczeniowej ułatwiły pracę z rozkładami gamma w różnych zastosowaniach

Przykłady

Oto kilka przykładów kodu do obliczania właściwości rozkładu gamma:

1' Funkcja VBA w Excelu dla PDF rozkładu gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Użycie:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Rozkład gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Gęstość prawdopodobieństwa')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Przykład użycia:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Obliczanie właściwości
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Średnia: {mean}")
29print(f"Wariancja: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtoza: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Średnia: ${mean}`);
19    console.log(`Wariancja: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtoza: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Przykład użycia:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Rysowanie PDF (przy użyciu hipotetycznej biblioteki do rysowania)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Te przykłady demonstrują, jak obliczyć właściwości rozkładu gamma i wizualizować jego funkcję gęstości prawdopodobieństwa za pomocą różnych języków programowania. Możesz dostosować te funkcje do swoich specyficznych potrzeb lub zintegrować je w większe systemy analizy statystycznej.

Odniesienia

1. "Rozkład gamma." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Dostęp 2 sierpnia 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.