Gamma Distribution Calculator

Introduction

Usambazaji wa gamma ni usambazaji wa uwezekano wa kuendelea ambao unatumika sana katika nyanja mbalimbali za sayansi, uhandisi, na fedha. Unajulikana kwa vigezo viwili: kipimo cha umbo (k au α) na kipimo cha kiwango (θ au β). Kihesabu hiki kinakuruhusu kuhesabu mali mbalimbali za usambazaji wa gamma kulingana na vigezo hivi vya pembejeo.

Formula

Fomula ya kazi ya wingi wa uwezekano (PDF) ya usambazaji wa gamma inatolewa na:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Ambapo:

• x > 0 ni kigezo cha nasibu
• k > 0 ni kipimo cha umbo
• θ > 0 ni kipimo cha kiwango
• Γ(k) ni kazi ya gamma

Fomula ya kazi ya jumla ya uwezekano (CDF) ni:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Ambapo γ(k, x/θ) ni kazi ya gamma isiyo kamili ya chini.

Mali muhimu za usambazaji wa gamma ni pamoja na:

1. Mean: $E[X] = k\theta$
2. Variance: $Var[X] = k\theta^2$
3. Skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

How to Use This Calculator

1. Ingiza kipimo cha umbo (k au α)
2. Ingiza kipimo cha kiwango (θ au β)
3. Bonyeza "Hesabu" ili kuhesabu mali mbalimbali za usambazaji wa gamma
4. Matokeo yataonyesha mean, variance, skewness, kurtosis, na taarifa nyingine muhimu
5. Mchoro wa kazi ya wingi wa uwezekano utaonyeshwa

Calculation

Kihesabu kinatumia fomula zilizo tajwa hapo juu kuhesabu mali mbalimbali za usambazaji wa gamma. Hapa kuna maelezo ya hatua kwa hatua:

1. Thibitisha vigezo vya pembejeo (kote k na θ lazima iwe chanya)
2. Hesabu mean: $k\theta$
3. Hesabu variance: $k\theta^2$
4. Hesabu skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Hesabu kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Hesabu mode: $(k-1)\theta$ kwa k ≥ 1, vinginevyo 0
7. Tengeneza pointi za curve ya PDF kwa kutumia fomula iliyopewa hapo juu
8. Picha curve ya PDF

Numerical Considerations

Wakati wa kutekeleza hesabu za usambazaji wa gamma, mambo kadhaa ya nambari yanapaswa kuzingatiwa:

1. Kwa vigezo vya umbo vidogo sana (k < 1), PDF inaweza kufikia usawa wa juu kadri x inakaribia 0, ambayo inaweza kusababisha kutokuwa na utulivu wa nambari.
2. Kwa vigezo vikubwa vya umbo, kazi ya gamma Γ(k) inaweza kuwa kubwa sana, na hivyo kusababisha overflow. Katika hali kama hizo, ni vyema kufanya kazi na logarithm ya kazi ya gamma.
3. Wakati wa kuhesabu CDF, mara nyingi ni thabiti zaidi kimaadili kutumia algoritimu maalum za kazi isiyo kamili ya gamma badala ya kuunganisha moja kwa moja PDF.
4. Kwa thamani za vigezo vya mwisho, inaweza kuwa muhimu kutumia hisabati ya usahihi wa juu ili kudumisha usahihi.

Use Cases

Usambazaji wa gamma una matumizi mengi katika nyanja mbalimbali:

1. Fedha: Kuunda mifano ya usambazaji wa mapato, kiasi cha madai ya bima, na kurudi kwa mali
2. Hali ya hewa: Kuchambua mifumo ya mvua na matukio mengine yanayohusiana na hali ya hewa
3. Uhandisi: Uchambuzi wa uaminifu na kuunda mifano ya wakati wa kushindwa
4. Fizikia: Kuelezea nyakati za kusubiri kati ya matukio ya kuoza kwa mionzi
5. Biolojia: Kuunda mifano ya wingi wa spishi na viwango vya uelekezaji wa jeni
6. Utafiti wa Operesheni: Nadharia ya foleni na usimamizi wa akiba

Alternatives

Ingawa usambazaji wa gamma ni wa kubadilika, kuna usambazaji wa karibu ambao unaweza kuwa mzuri zaidi katika hali fulani:

1. Usambazaji wa Exponential: Kesi maalum ya usambazaji wa gamma wakati k = 1
2. Usambazaji wa Chi-squared: Kesi maalum ya usambazaji wa gamma na k = n/2 na θ = 2
3. Usambazaji wa Weibull: Mara nyingi hutumiwa kama mbadala katika uchambuzi wa uaminifu
4. Usambazaji wa Log-normal: Chaguo lingine maarufu la kuunda mifano ya data yenye mwelekeo

Parameter Estimation

Wakati wa kufanya kazi na data halisi, mara nyingi ni muhimu kukadiria vigezo vya usambazaji wa gamma. Mbinu maarufu ni pamoja na:

1. Mbinu ya Nyakati: Kuilinganisha nyakati za sampuli na nyakati za nadharia
2. Kukadiria kwa Uwezekano Mkubwa (MLE): Kutafuta vigezo vinavyoongeza uwezekano wa kuona data
3. Kukadiria kwa Bayesian: Kuingiza maarifa ya awali kuhusu vigezo

Hypothesis Testing

Usambazaji wa gamma unaweza kutumika katika majaribio mbalimbali ya nadharia, ikiwa ni pamoja na:

1. Jaribio la ubora wa kufaa ili kubaini kama data inafuata usambazaji wa gamma
2. Majaribio ya usawa wa vigezo vya kiwango kati ya usambazaji mbili za gamma
3. Majaribio ya usawa wa vigezo vya umbo kati ya usambazaji mbili za gamma

History

Usambazaji wa gamma una historia tajiri katika hisabati na takwimu:

• Karne ya 18: Leonhard Euler alianzisha kazi ya gamma, ambayo inahusiana kwa karibu na usambazaji wa gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson alitumia kesi maalum ya usambazaji wa gamma katika kazi yake juu ya nadharia ya uwezekano
• Miaka ya 1920: Ronald Fisher alifanya usambazaji wa gamma kuwa maarufu katika uchambuzi wa takwimu
• Katikati ya karne ya 20: Usambazaji wa gamma ulianza kutumika sana katika uhandisi wa uaminifu na majaribio ya maisha
• Mwisho wa karne ya 20 hadi sasa: Maendeleo katika nguvu za kompyuta yamefanya iwe rahisi kufanya kazi na usambazaji wa gamma katika matumizi mbalimbali

Examples

Hapa kuna mifano ya msimbo kuhesabu mali za usambazaji wa gamma:

1' Excel VBA Function for Gamma Distribution PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Usage:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma Distribution (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Probability Density')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Example usage:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Calculate properties
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Mean: {mean}")
29print(f"Variance: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Mean: ${mean}`);
19    console.log(`Variance: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Example usage:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Plot PDF (using a hypothetical plotting library)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Mifano hii inaonyesha jinsi ya kuhesabu mali za usambazaji wa gamma na kuonyesha kazi yake ya wingi wa uwezekano kwa kutumia lugha mbalimbali za programu. Unaweza kubadilisha hizi kazi kulingana na mahitaji yako maalum au kuziunganisha katika mifumo kubwa ya uchambuzi wa takwimu.

References

1. "Gamma Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.