แคลคูลเลเตอร์การแจกแจงแกมมา

บทนำ

การแจกแจงแกมมาเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และการเงิน มันมีลักษณะโดยพารามิเตอร์สองตัว: พารามิเตอร์รูปแบบ (k หรือ α) และพารามิเตอร์ขนาด (θ หรือ β) เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณคุณสมบัติต่างๆ ของการแจกแจงแกมมาตามพารามิเตอร์ที่ป้อนเข้า

สูตร

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจงแกมมามีให้โดย:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

โดยที่:

• x > 0 คือ ตัวแปรสุ่ม
• k > 0 คือ พารามิเตอร์รูปแบบ
• θ > 0 คือ พารามิเตอร์ขนาด
• Γ(k) คือ ฟังก์ชันแกมมา

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) คือ:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

โดยที่ γ(k, x/θ) คือ ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ส่วนล่าง

คุณสมบัติหลักของการแจกแจงแกมมาประกอบด้วย:

1. ค่าเฉลี่ย: $E[X] = k\theta$
2. ความแปรปรวน: $Var[X] = k\theta^2$
3. ความเบี้ยว: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. ความสูง: $3 + \frac{6}{k}$

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขนี้

1. ป้อนพารามิเตอร์รูปแบบ (k หรือ α)
2. ป้อนพารามิเตอร์ขนาด (θ หรือ β)
3. คลิก "คำนวณ" เพื่อคำนวณคุณสมบัติต่างๆ ของการแจกแจงแกมมา
4. ผลลัพธ์จะแสดงค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ความเบี้ยว ความสูง และข้อมูลที่เกี่ยวข้องอื่นๆ
5. การแสดงภาพของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะถูกแสดง

การคำนวณ

เครื่องคิดเลขใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นในการคำนวณคุณสมบัติต่างๆ ของการแจกแจงแกมมา นี่คือคำอธิบายทีละขั้นตอน:

1. ตรวจสอบพารามิเตอร์ที่ป้อน (ทั้ง k และ θ ต้องเป็นบวก)
2. คำนวณค่าเฉลี่ย: $k\theta$
3. คำนวณความแปรปรวน: $k\theta^2$
4. คำนวณความเบี้ยว: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. คำนวณความสูง: $3 + \frac{6}{k}$
6. คำนวณโหมด: $(k-1)\theta$ สำหรับ k ≥ 1 มิฉะนั้น 0
7. สร้างจุดสำหรับเส้น PDF โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
8. วาดเส้น PDF

ข้อพิจารณาเชิงตัวเลข

เมื่อทำการคำนวณการแจกแจงแกมมา ควรพิจารณาเชิงตัวเลขหลายประการ:

1. สำหรับพารามิเตอร์รูปแบบที่เล็กมาก (k < 1) PDF อาจเข้าใกล้อนันต์เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ซึ่งอาจทำให้เกิดความไม่เสถียรเชิงตัวเลข
2. สำหรับพารามิเตอร์รูปแบบที่ใหญ่ ฟังก์ชันแกมมา Γ(k) อาจมีค่ามากเกินไปซึ่งอาจทำให้เกิดการล้น ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ควรทำงานกับลอการิธึมของฟังก์ชันแกมมา
3. เมื่อคำนวณ CDF มักจะมีความเสถียรเชิงตัวเลขมากกว่าที่จะใช้อัลกอริธึมเฉพาะสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์แทนที่จะทำการรวมโดยตรงของ PDF
4. สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่สุดขั้ว อาจจำเป็นต้องใช้การคำนวณที่มีความแม่นยำสูงเพื่อรักษาความถูกต้อง

การใช้งาน

การแจกแจงแกมมามีการใช้งานมากมายในหลายสาขา:

1. การเงิน: การสร้างแบบจำลองการแจกแจงรายได้ จำนวนการเรียกร้องประกันภัย และผลตอบแทนของสินทรัพย์
2. อุตุนิยมวิทยา: การวิเคราะห์รูปแบบฝนตกและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับสภาพอากาศอื่นๆ
3. วิศวกรรม: การวิเคราะห์ความเชื่อมั่นและการสร้างแบบจำลองเวลาล้มเหลว
4. ฟิสิกส์: การอธิบายเวลารอระหว่างเหตุการณ์การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี
5. ชีววิทยา: การสร้างแบบจำลองความอุดมสมบูรณ์ของสายพันธุ์และระดับการแสดงออกของยีน
6. การวิจัยการดำเนินงาน: ทฤษฎีการรอคอยและการจัดการสินค้าคงคลัง

ทางเลือก

แม้ว่า การแจกแจงแกมมาจะมีความหลากหลาย แต่ก็มีการแจกแจงที่เกี่ยวข้องซึ่งอาจเหมาะสมกว่าในบางสถานการณ์:

1. การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล: กรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมาที่ k = 1
2. การแจกแจงแบบไค-สแควร์: กรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมาที่ k = n/2 และ θ = 2
3. การแจกแจงแบบไวบูล: มักถูกใช้เป็นทางเลือกในด้านการวิเคราะห์ความเชื่อมั่น
4. การแจกแจงแบบลอการิธึมปกติ: อีกทางเลือกทั่วไปสำหรับการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่เบี้ยวและเป็นบวก

การประมาณพารามิเตอร์

เมื่อทำงานกับข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริง มักจำเป็นต้องประมาณพารามิเตอร์ของการแจกแจงแกมมา วิธีการที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่:

1. วิธีของโมเมนต์: การตั้งค่าโมเมนต์ตัวอย่างให้เท่ากับโมเมนต์ทางทฤษฎี
2. การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE): การค้นหาพารามิเตอร์ที่เพิ่มความน่าจะเป็นในการสังเกตข้อมูล
3. การประมาณค่าของเบย์: การรวมความรู้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับพารามิเตอร์

การทดสอบสมมติฐาน

การแจกแจงแกมมายังสามารถใช้ในการทดสอบสมมติฐานต่างๆ รวมถึง:

1. การทดสอบความเหมาะสมเพื่อกำหนดว่าข้อมูลเป็นไปตามการแจกแจงแกมมา
2. การทดสอบความเท่ากันของพารามิเตอร์ขนาดระหว่างการแจกแจงแกมมาสองชุด
3. การทดสอบความเท่ากันของพารามิเตอร์รูปแบบระหว่างการแจกแจงแกมมาสองชุด

ประวัติศาสตร์

การแจกแจงแกมมามีประวัติศาสตร์ที่ร่ำรวยในด้านคณิตศาสตร์และสถิติ:

• ศตวรรษที่ 18: เลออนฮาร์ด ออยเลอร์แนะนำฟังก์ชันแกมมา ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงแกมมา
• ปี 1836: ซิเมออง เดนิส ปัวซองใช้กรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมาในงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น
• ปี 1920: โรนัลด์ ฟิชเชอร์ทำให้การใช้การแจกแจงแกมมามีชื่อเสียงในด้านการวิเคราะห์สถิติ
• กลางศตวรรษที่ 20: การแจกแจงแกมมาเริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรมความเชื่อมั่นและการทดสอบชีวิต
• ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 20 ถึงปัจจุบัน: ความก้าวหน้าในพลังการคำนวณทำให้ทำงานกับการแจกแจงแกมมาในแอปพลิเคชันต่างๆ ได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง

นี่คือตัวอย่างโค้ดในการคำนวณคุณสมบัติของการแจกแจงแกมมา:

1' ฟังก์ชัน Excel VBA สำหรับ PDF การแจกแจงแกมมา
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' การใช้งาน:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'การแจกแจงแกมมา (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## การใช้งานตัวอย่าง:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## คำนวณคุณสมบัติ
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"ค่าเฉลี่ย: {mean}")
29print(f"ความแปรปรวน: {variance}")
30print(f"ความเบี้ยว: {skewness}")
31print(f"ความสูง: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`ค่าเฉลี่ย: ${mean}`);
19    console.log(`ความแปรปรวน: ${variance}`);
20    console.log(`ความเบี้ยว: ${skewness}`);
21    console.log(`ความสูง: ${kurtosis}`);
22}
23
24// การใช้งานตัวอย่าง:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// วาด PDF (โดยใช้ไลบรารีการวาดภาพที่สมมติขึ้น)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณคุณสมบัติของการแจกแจงแกมมาและการแสดงภาพฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นโดยใช้ภาษาโปรแกรมต่างๆ คุณสามารถปรับฟังก์ชันเหล่านี้ให้เหมาะสมกับความต้องการเฉพาะของคุณหรือรวมเข้ากับระบบการวิเคราะห์ทางสถิติขนาดใหญ่

อ้างอิง

1. "การแจกแจงแกมมา." วิกิพีเดีย, มูลนิธิวิกิมีเดีย, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. เข้าถึงเมื่อ 2 ส.ค. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.