મોઝર-ડી બ્રૂઈન ક્રમ જનરેટર | 4ની ઘાતનો કેલ્ક્યુલેટર

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી શું છે?

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી એવી પૂર્ણાંકોની યાદી છે, જેમાંની દરેક સંખ્યાને 4ની જુદી જુદી ઘાતોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. તેની શરૂઆત 0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85થી થાય છે અને અંત વિના ચાલુ રહે છે. તેનું નામ ગણિતશાસ્ત્રીઓ લિયો મોઝર અને નિકોલાસ ગોવર્ટ દ બ્રુઇનના નામ પરથી પડ્યું છે. પૂર્ણાંક શ્રેણીઓના ઑનલાઇન વિશ્વકોશમાં તેને A000695 તરીકે સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવી છે.

કોઈ સંખ્યા આ શ્રેણીમાં ત્યારે અને ત્યારે જ આવે છે જ્યારે તેના આધાર-4 નિરૂપણમાં માત્ર 0 અને 1 અંકો વપરાય, 2 અથવા 3 ક્યારેય નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, આધાર 4માં 21ને 111 તરીકે લખવામાં આવે છે, તેથી તે આ શ્રેણીમાં આવે છે. આધાર 4માં 22ને 112 તરીકે લખવામાં આવે છે, તેથી તે આવતી નથી.

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણીનું સૂત્ર

આ શ્રેણીને ત્રણ સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

4ની જુદી જુદી ઘાતોના સરવાળા

કોઈ સંખ્યા n આ શ્રેણીમાં હોય છે જો તેને આ રીતે લખી શકાય:

$n = \sum_{i \in S} 4^i$

અઋણ પૂર્ણાંકોના કોઈ સમૂહ S માટે, જ્યાં 4ની દરેક ઘાતનો ઉપયોગ વધુમાં વધુ એક વાર થાય.

આધાર-4 અંક પરીક્ષણ

સંખ્યાને આધાર 4માં લખો. જો દરેક અંક 0 અથવા 1 હોય, તો સંખ્યા આ શ્રેણીમાં છે. જો કોઈ અંક 2 અથવા 3 હોય, તો તે શ્રેણીમાં નથી.

દ્વિઆધારીથી આધાર-4માં રૂપાંતર

n = 0થી પદોની ગણતરી કરતાં, સૂચકાંક n પરનું પદ છે

$M(n) = \sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 4^i$

અહીં $b_i$ nના દ્વિઆધારી અંકો છે. શબ્દોમાં કહીએ તો: nને દ્વિઆધારીમાં લખો, પછી દરેક દ્વિઆધારી અંકને તે જ સ્થાન પર આધાર-4ના અંક તરીકે વાંચો. જનરેટર આ પદ્ધતિ વાપરે છે, કારણ કે તેમાં માત્ર બિટ તપાસીને સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર પડે છે.

nમું પદ કેવી રીતે ગણવું

M(n) શોધવા માટે, જનરેટર n = 0થી શરૂ કરીને દરેક સૂચકાંક n માટે નીચેની પ્રક્રિયા કરે છે:

1. nનું દ્વિઆધારી સ્વરૂપ જુઓ.
2. j સ્થાન પર 1 સમાન દરેક બિટ માટે, ચાલુ સરવાળામાં 4^j ઉમેરો.
3. 0 જેટલી બિટને અવગણો.
4. ચાલુ સરવાળો M(n) છે.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ: M(5)

• દ્વિઆધારીમાં 5 એ 101 છે.
• બિટ 0 (જમણી બાજુની) 1 છે, તેથી 4⁰ = 1 ઉમેરો.
• બિટ 1 0 છે, તેથી કંઈ ઉમેરવાનું નથી.
• બિટ 2 1 છે, તેથી 4² = 16 ઉમેરો.
• કુલ: 1 + 16 = 17.

તેથી M(5) = 17. જનરેટર ઉત્પન્ન કરે તે છઠ્ઠું મૂલ્ય આ છે, કારણ કે ગણતરી M(0)થી શરૂ થાય છે.

ઉદાહરણ: પ્રથમ 32 પદો

સંખ્યા શ્રેણીમાં છે કે નહીં તે કેવી રીતે તપાસવું

સંખ્યાને આધાર 4માં રૂપાંતરિત કરો અને તેના અંકો વાંચો.

• 85: આધાર 4માં, 85 = 1111 (64 + 16 + 4 + 1) છે. માત્ર 0 અને 1 અંકો દેખાય છે, તેથી 85 શ્રેણીમાં છે.
• 90: આધાર 4માં, 90 = 1122 છે. તેમાં 2 આવે છે, તેથી 90 શ્રેણીમાં નથી.

વૃદ્ધિ દર

આ શ્રેણી ઝડપથી વધે છે, કારણ કે સૂચકાંકમાં ઉમેરાતી દરેક વધારાની બિટથી ઉમેરાતું મૂલ્ય આશરે ચારગણું થઈ શકે છે. M(19) = 261 છે. M(99) = 5,125 છે. M(999), જે આ જનરેટર ઉત્પન્ન કરી શકે તે સૌથી મોટું પદ છે, તે 3,49,205 છે. સૂચકાંક વધે તેમ પદો એકબીજાથી વધુને વધુ દૂર થાય છે, તેથી આ શ્રેણી વિરલ છે: તેમાં અનંત પદો હોવા છતાં મોટા ભાગના પૂર્ણાંકો ક્યારેય દેખાતા નથી.

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી જનરેટરનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો

1. ઉત્પન્ન કરવાના પદોની સંખ્યા દાખલ કરો. ખાલી છોડવામાં આવે તો ક્ષેત્રમાં મૂળભૂત રીતે 20 રહે છે.
2. પદોની યાદી આપમેળે M(0)થી શરૂ થઈને અપડેટ થાય છે.
3. સંપૂર્ણ યાદીની નકલ કરવા માટે Copy Result બટન દબાવો.

આ સાધન 1થી 1000 સુધીની પૂર્ણ સંખ્યાઓ સ્વીકારે છે. દશાંશ સંખ્યાઓ, ઋણ સંખ્યાઓ અને સંખ્યાત્મક ન હોય તેવી એન્ટ્રીઓ નકારી કાઢવામાં આવે છે. 20 પદો માગવાથી M(0)થી M(19) સુધીનાં પદો મળે છે; દર્શાવાતું છેલ્લું મૂલ્ય 261 છે. બધી ગણતરી બ્રાઉઝરમાં થાય છે, તેથી પરિણામો તરત દેખાય છે અને કોઈ માહિતી સર્વરને મોકલાતી નથી.

સંબંધિત શ્રેણીઓ

• 2ની ઘાતો (OEIS A000079): 1, 2, 4, 8, 16, 32, વગેરે. સામાન્ય દ્વિઆધારી સંખ્યાઓના આ મૂળભૂત ઘટકો છે.
• 3ની જુદી જુદી ઘાતોના સરવાળા (OEIS A005836): 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, વગેરે. આ વિચાર મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી જેવો જ છે, પરંતુ આધાર 3માંથી બનાવવામાં આવે છે, આધાર 4માંથી નહીં.
• ફિબિનરી સંખ્યાઓ (OEIS A003714): 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, વગેરે. એવી સંખ્યાઓ, જેના દ્વિઆધારી સ્વરૂપમાં સતત બે 1 નથી.

ઇતિહાસ

લિયો મોઝર (1921-1970) ઑસ્ટ્રિયન-કેનેડિયન ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જેમણે સંખ્યા સિદ્ધાંત, સંયોજનશાસ્ત્ર અને ભૂમિતિમાં કાર્ય કર્યું હતું. નિકોલાસ ગોવર્ટ દ બ્રુઇન (1918-2012) ડચ ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જેઓ સંયોજનશાસ્ત્ર, ગ્રાફ સિદ્ધાંત અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાંના કાર્ય માટે જાણીતા હતા; તેમના અસંબંધિત દ બ્રુઇન શ્રેણીઓ કોડિંગ સિદ્ધાંતમાં વ્યાપક રીતે વપરાય છે. બંનેએ સરવાળાત્મક આધારોનો અભ્યાસ કર્યો હતો: પૂર્ણાંકોના એવા સમૂહો, જેમ કે 4ની ઘાતો, જેમાંથી રજૂ કરી શકાય તેવી દરેક સંખ્યાનું સરવાળાનું નિરૂપણ ચોક્કસ એક હોય છે. તેમના નામ ધરાવતી શ્રેણી આવા આધારનું એક ઉદાહરણ છે.

વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણીનો ઉપયોગ શેના માટે થાય છે?

તેનો ઉપયોગ સરવાળાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત અને સંયોજનશાસ્ત્રમાં, ખાસ કરીને સરવાળા-મુક્ત સમૂહો અને સરવાળાત્મક આધારોના અભ્યાસમાં, થાય છે. કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં આધાર-રૂપાંતરણ અને બિટ-સ્તરીય ક્રિયાઓ શીખવવા માટે પણ તેનો ઉપયોગ થાય છે.

મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી કેવી રીતે ઉત્પન્ન કરવી?

સૂચકાંક nને દ્વિઆધારીમાં લખો, પછી દરેક દ્વિઆધારી અંકને તે જ સ્થાન પર આધાર-4ના અંક તરીકે વાંચો. n = 5 (દ્વિઆધારી 101) માટે, તે 4² + 4⁰ = 17 આપે છે.

કોઈ સંખ્યા શ્રેણીમાં છે કે નહીં તે કેવી રીતે તપાસી શકાય?

તેને આધાર 4માં રૂપાંતરિત કરો. જો દરેક અંક 0 અથવા 1 હોય, તો સંખ્યા શ્રેણીમાં છે. જો કોઈ અંક 2 અથવા 3 હોય, તો તે શ્રેણીમાં નથી.

nમા પદનું સૂત્ર શું છે?

M(n) = તમામ i માટે $b_i \cdot 4^i$નો સરવાળો, જ્યાં $b_i$ nના દ્વિઆધારી અંકો છે.

શું આ શ્રેણી અનંત છે?

હા. તેમાં અનંત પદો છે, જોકે n વધે તેમ તેઓ એકબીજાથી વધુ દૂર થતા જાય છે.

આ દ્વિઆધારી પદ્ધતિથી કેવી રીતે અલગ છે?

દ્વિઆધારી પદ્ધતિ, એટલે કે 2ની જુદી જુદી ઘાતોના સરવાળા, દરેક અઋણ પૂર્ણાંકને રજૂ કરી શકે છે. મોઝર-દ બ્રુઇન શ્રેણી તેના બદલે 4ની ઘાતો વાપરે છે, તેથી મોટા ભાગના પૂર્ણાંકો તેમાં સમાવિષ્ટ થતા નથી.