સપાટી વિસ્તાર કેલ્ક્યુલેટર - બધા 3D આકૃતિઓ માટે મફત સાધન

પૃષ્ઠફળ ગણક

ત્રિ-પરિમાણીય આકારનું પૃષ્ઠફળ એટલે તેના બહારના ભાગને આવરી લેતા દરેક સપાટ અને વક્ર પૃષ્ઠનું કુલ ક્ષેત્રફળ, જે ચોરસ મીટર અથવા ચોરસ ફૂટ જેવા ચોરસ એકમોમાં માપવામાં આવે છે. આ ગણક સાત સામાન્ય ઘન આકારોનું પૃષ્ઠફળ શોધે છે: ગોળો, ઘન, નળાકાર, પિરામિડ, શંકુ, લંબચોરસ પ્રિઝમ અને ત્રિકોણીય પ્રિઝમ.

પૃષ્ઠફળનો અર્થ

પૃષ્ઠફળ એ ઘન આકારના તમામ બાહ્ય પૃષ્ઠોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે. ઘનનું પૃષ્ઠફળ તેના છ સપાટ ચોરસ પૃષ્ઠોના સંયુક્ત ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ગોળાનું પૃષ્ઠફળ તેના એકમાત્ર વક્ર બાહ્ય પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ હોય છે. પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ અલગ છે; ઘનફળ સીમાની અંદરની જગ્યા માપે છે, જ્યારે પૃષ્ઠફળ સીમાનું ક્ષેત્રફળ માપે છે. બંને જુદા એકમોમાં માપવામાં આવે છે: પૃષ્ઠફળ ચોરસ એકમોમાં (m²) અને ઘનફળ ઘન એકમોમાં (m³).

પૃષ્ઠફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

1. સાત વિકલ્પોની યાદીમાંથી કોઈ એક આકાર પસંદ કરો.
2. આકાર માટે જરૂરી માપ દાખલ કરો:
   • ગોળો: ત્રિજ્યા
   • ઘન: બાજુની લંબાઈ
   • નળાકાર: ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ
   • પિરામિડ: આધારની લંબાઈ, આધારની પહોળાઈ અને ત્રાંસી ઊંચાઈ
   • શંકુ: ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ
   • લંબચોરસ પ્રિઝમ: લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ
   • ત્રિકોણીય પ્રિઝમ: આધારની લંબાઈ, ત્રિકોણીય પૃષ્ઠની ઊંચાઈ અને પ્રિઝમની લંબાઈ
3. દરેક જરૂરી ક્ષેત્રમાં મૂલ્ય દાખલ થયા પછી પરિણામ આપમેળે દેખાય છે.
4. પૃષ્ઠફળ ચોરસ એકમોમાં વાંચો. પરિણામની બાજુનું નકલ બટન તેને ક્લિપબોર્ડમાં નકલ કરે છે.

જરૂરી ક્ષેત્ર ખાલી હોય ત્યારે ગણક પરિણામને બદલે ટૂંકો સંદેશ બતાવે છે. દરેક ક્ષેત્રમાં મૂલ્ય આવ્યા પછી, શૂન્ય અથવા ઋણ સંખ્યા ભૂલનો સંદેશ દર્શાવે છે.

પિરામિડ માટે દરેક આધાર—ચોરસ કે લંબચોરસ—પર એક વધારાનો નિયમ લાગુ પડે છે: દાખલ કરેલી ત્રાંસી ઊંચાઈ આધારની પહોળાઈના અડધા કરતાં વધુ હોવી જોઈએ. આધારની પહોળાઈનો અડધો ભાગ આધારના કેન્દ્રથી આધારની લંબાઈવાળી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર છે. તેના જેટલી અથવા તેનાથી ઓછી ત્રાંસી ઊંચાઈ ઊભી ઊંચાઈ માટે જગ્યા છોડતી નથી, તેથી એવો પિરામિડ અસ્તિત્વમાં નથી અને ગણક ભૂલ દર્શાવે છે.

પૃષ્ઠફળનાં સૂત્રો

નીચેના સૂત્રોમાં, r ત્રિજ્યા, h ઊંચાઈ, l લંબાઈ, w પહોળાઈ, b પાયાની લંબાઈ અને s તિરછી ઊંચાઈ દર્શાવે છે.

• ગોળો: $SA = 4\pi r²$
• ઘન: $SA = 6a²$, જ્યાં a બાજુની લંબાઈ છે
• નળાકાર: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, એટલે બે વર્તુળાકાર છેડાં અને વક્ર બાજુનું ક્ષેત્રફળ
• શંકુ: $SA = \pi r² + \pi rs$, જ્યાં ત્રાંસી ઊંચાઈ $s = \sqrt{r² + h²}$ છે
• ચોરસ પાયા ધરાવતો પિરામિડ: $SA = l² + 2ls$, જ્યાં l પાયાની લંબાઈ અને s ત્રિકોણાકાર સપાટીની ત્રાંસી ઊંચાઈ છે
• લંબચોરસ પ્રિઝમ: $SA = 2(lw + lh + wh)$
• ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ (પાયા b, ઊંચાઈ h અને બે સમાન ત્રાંસી બાજુઓ $a = c$ ધરાવતો ત્રિકોણાકાર અનુપ્રસ્થ છેદ): $SA = bh + (a + b + c)L$, જ્યાં L પ્રિઝમની લંબાઈ છે અને સમમિત (સમદ્વિબાજુ) ત્રિકોણ માટે $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$

લંબચોરસ પાયો ધરાવતા પિરામિડમાં બે જુદી ત્રાંસી ઊંચાઈ હોય છે, જે ત્રિકોણાકાર સપાટીઓની દરેક જોડી માટે એક હોય છે. Slant Height બૉક્સમાં પાયાની લંબાઈવાળી કિનારીઓ પર આવેલી બે સપાટીઓની ત્રાંસી ઊંચાઈ s લેવામાં આવે છે. તેમાંથી કેલ્ક્યુલેટર ઊભી ઊંચાઈ h $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ વડે મેળવે છે અને પછી સપાટીઓની બીજી જોડી શોધે છે:

લંબચોરસ પાયો ધરાવતો પિરામિડ: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$, જ્યાં l પાયાની લંબાઈ, w પાયાની પહોળાઈ અને h s પરથી મેળવેલી ઊભી ઊંચાઈ છે.

ઉપરનું ચોરસ આધારનું સૂત્ર આ સૂત્રનો વિશિષ્ટ કિસ્સો છે, જ્યારે આધારની લંબાઈ અને આધારની પહોળાઈ દાખલ કરેલા એકમોના 0.001 જેટલા તફાવતની અંદર સમાન હોય.

ઉદાહરણ સાથે ગણતરી

ગોળો, ત્રિજ્યા 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314.16 m²

ઘન, બાજુની લંબાઈ 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

નળાકાર, ત્રિજ્યા 2 m, ઊંચાઈ 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87.96 m²

શંકુ, ત્રિજ્યા 3 m, ઊંચાઈ 4 m: ત્રાંસી ઊંચાઈ = √(3² + 4²) = 5 m, તેથી SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75.40 m²

ચોરસ આધારવાળો પિરામિડ, આધારની લંબાઈ 4 m, ત્રાંસી ઊંચાઈ 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

લંબચોરસ આધારવાળો પિરામિડ, આધારની લંબાઈ 6 m, આધારની પહોળાઈ 8 m, ત્રાંસી ઊંચાઈ 5 m: આધારની પહોળાઈનો અડધો ભાગ 4 m છે, તેથી ઊભી ઊંચાઈ √(5² − 4²) = 3 m. પૃષ્ઠોની બીજી જોડીની ત્રાંસી ઊંચાઈ √(3² + 3²) = √18 ≈ 4.2426 m છે. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4.2426) = 48 + 30 + 33.94 ≈ 111.94 m²

લંબચોરસ પ્રિઝમ, લંબાઈ 4 m, પહોળાઈ 3 m, ઊંચાઈ 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

ત્રિકોણીય પ્રિઝમ, આધાર 3 m, ત્રિકોણની ઊંચાઈ 4 m, પ્રિઝમની લંબાઈ 5 m: બે સમાન ત્રાંસી બાજુઓ √(4² + 1.5²) = √18.25 ≈ 4.272 m છે. SA = (3 × 4) + (4.272 + 3 + 4.272) × 5 = 12 + 57.72 ≈ 69.72 m²

એકમો અને ચોકસાઈ

બધા ઇનપુટ માપ માટે સમાન એકમ વાપરવો જોઈએ, જેમ કે મીટર, ફૂટ અથવા સેન્ટીમીટર. પરિણામ તે એકમના વર્ગમાં આપવામાં આવે છે. ગણક આંતરિક રીતે પૂર્ણ ફ્લોટિંગ-પૉઇન્ટ ચોકસાઈથી ગણતરી કરે છે અને પરિણામને બે દશાંશ સ્થાનો સુધી રાઉન્ડ કરીને દર્શાવે છે.

પૃષ્ઠફળનું મહત્વ

દીવાલ અથવા વસ્તુ માટે જરૂરી રંગ કે કોટિંગ, પેકેજિંગ માટે જરૂરી સામગ્રી અને કન્ટેનર બનાવવા માટે જરૂરી પતરું અથવા કાપડનો અંદાજ કાઢવા પૃષ્ઠફળનો ઉપયોગ થાય છે. જીવવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રમાં, કોષ અથવા ઉત્પ્રેરક કણનું પૃષ્ઠફળ તેની આસપાસના માધ્યમ સાથે પદાર્થનું વિનિમય કેટલી ઝડપથી કરે છે તેને અસર કરે છે, કારણ કે વિનિમય પૃષ્ઠ પર થાય છે. ઇજનેરીમાં, રેડિયેટર અથવા ઉષ્મા વિનિમાયકનું પૃષ્ઠફળ તે કેટલી ઝડપથી ઉષ્મા સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે તેને અસર કરે છે.

વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

પૃષ્ઠફળ શું છે? પૃષ્ઠફળ એટલે ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુના દરેક બાહ્ય સપાટ અથવા વક્ર પૃષ્ઠનું કુલ ક્ષેત્રફળ, જે ચોરસ એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે છે.

ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર શું છે? $SA = 4\pi r²$, જ્યાં r ત્રિજ્યા છે. 5 m ત્રિજ્યાવાળા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ આશરે 314.16 m² છે.

નળાકારનું પૃષ્ઠફળ કેવી રીતે શોધશો? બે વર્તુળાકાર છેડાંનું ક્ષેત્રફળ વક્ર બાજુના ક્ષેત્રફળમાં ઉમેરો: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, જ્યાં r ત્રિજ્યા અને h ઊંચાઈ છે.

પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ વચ્ચે શું તફાવત છે? પૃષ્ઠફળ આકારની બાહ્ય સીમાને ચોરસ એકમોમાં માપે છે. ઘનફળ તે સીમાથી ઘેરાયેલી જગ્યા ઘન એકમોમાં માપે છે. આકારનું કદ વધે ત્યારે તેનું પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ સામાન્ય રીતે જુદા દરે વધે છે.

શું આ ગણક લંબચોરસ આધારવાળા પિરામિડની ગણતરી કરી શકે છે? હા. આધારની લંબાઈ અને પહોળાઈ જુદી હોય તે દાખલ કરો, તેમજ આધારની લંબાઈવાળી બાજુઓ પર ઊભાં રહેતાં બે પૃષ્ઠોની ત્રાંસી ઊંચાઈ દાખલ કરો. ગણક આ ત્રણ સંખ્યાઓ પરથી ઊભી ઊંચાઈ અને બીજી ત્રાંસી ઊંચાઈ કાઢે છે.

પિરામિડમાં ક્યારેક ભૂલ કેમ દેખાય છે? ત્રાંસી ઊંચાઈ આધારની પહોળાઈના અડધા કરતાં વધુ હોવી જોઈએ. આ મૂલ્ય જેટલી અથવા તેનાથી ઓછી ઊંચાઈએ પિરામિડની ઊભી ઊંચાઈ શૂન્ય અથવા કાલ્પનિક બને, તેથી એવો ઘન આકાર અસ્તિત્વમાં નથી અને પૃષ્ઠફળ દર્શાવી શકાતું નથી.

આ ગણક કયા આકારોને સમર્થન આપે છે? ગોળો, ઘન, નળાકાર, પિરામિડ, શંકુ, લંબચોરસ પ્રિઝમ અને ત્રિકોણીય પ્રિઝમ.

સંદર્ભો

1. "Surface Area." વિકિપીડિયા, વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
2. વાઇસસ્ટાઇન, એરિક ડબ્લ્યુ. "Surface Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
3. "Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html