ગામા વિતરણ કૅલ્ક્યુલેટર

પરિચય

ગામા વિતરણ એક સતત સંભાવના વિતરણ છે જે વિજ્ઞાન, ઇજનેરી અને નાણાંકીય ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. તે બે પેરામીટરો દ્વારા વિશિષ્ટ છે: આકાર પેરામીટર (k અથવા α) અને સ્કેલ પેરામીટર (θ અથવા β). આ કૅલ્ક્યુલેટર તમને આ ઇનપુટ પેરામીટરોના આધારે gama વિતરણના વિવિધ ગુણધર્મોની ગણના કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સૂત્ર

ગામા વિતરણનો સંભાવના ઘનતા કાર્ય (PDF) નીચે મુજબ આપેલ છે:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

જ્યાં:

• x > 0 છે રેન્ડમ વેરિએબલ
• k > 0 છે આકાર પેરામીટર
• θ > 0 છે સ્કેલ પેરામીટર
• Γ(k) છે gama ફંક્શન

સંકલિત વિતરણ કાર્ય (CDF) છે:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

જ્યાં γ(k, x/θ) છે નાની અપૂર્ણ gama ફંક્શન.

ગામા વિતરણના મુખ્ય ગુણધર્મોમાં સામેલ છે:

1. સરેરાશ: $E[X] = k\theta$
2. વિવિધતા: $Var[X] = k\theta^2$
3. સ્ક્યૂનેસ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. કર્ટોસિસ: $3 + \frac{6}{k}$

આ કૅલ્ક્યુલેટર કેવી રીતે ઉપયોગ કરવો

1. આકાર પેરામીટર (k અથવા α) દાખલ કરો
2. સ્કેલ પેરામીટર (θ અથવા β) દાખલ કરો
3. વિવિધ ગુણધર્મોની ગણના કરવા માટે "ગણના કરો" પર ક્લિક કરો
4. પરિણામોમાં સરેરાશ, વિવિધતા, સ્ક્યૂનેસ, કર્ટોસિસ અને અન્ય સંબંધિત માહિતી દર્શાવશે 5.Probability density function નું દૃશ્યીકરણ બતાવવામાં આવશે

ગણના

કૅલ્ક્યુલેટર ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને gama વિતરણના વિવિધ ગુણધર્મોની ગણના કરે છે. અહીં પગલાં-દ્વારા સ્પષ્ટીકરણ છે:

1. ઇનપુટ પેરામીટરોને માન્ય બનાવો (બધા k અને θ સકારાત્મક હોવા જોઈએ)
2. સરેરાશની ગણના કરો: $k\theta$
3. વિવિધતાની ગણના કરો: $k\theta^2$
4. સ્ક્યૂનેસની ગણના કરો: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. કર્ટોસિસની ગણના કરો: $3 + \frac{6}{k}$
6. મોડની ગણના કરો: $(k-1)\theta$ માટે k ≥ 1, અન્યથા 0
7. ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને PDF વક્ર માટે પોઈન્ટ જનરેટ કરો
8. PDF વક્રને પ્લોટ કરો

સંખ્યાત્મક વિચારણા

ગામા વિતરણની ગણનાઓને અમલમાં લાવતી વખતે, કેટલીક સંખ્યાત્મક વિચારણાઓ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે:

1. ખૂબ નાના આકાર પેરામીટરો (k < 1) માટે, PDF 0 ની નજીક પહોંચે ત્યારે અનંત તરફ વધે છે, જે સંખ્યાત્મક અસ્થિરતા ઉભી કરી શકે છે.
2. મોટા આકાર પેરામીટરો માટે, gama ફંક્શન Γ(k) ખૂબ મોટું થઈ શકે છે, જે ઓવરફ્લો સર્જી શકે છે. આવા કેસોમાં, gama ફંક્શનના લોગારિધમ સાથે કામ કરવું યોગ્ય છે.
3. CDFની ગણનામાં, PDFના સીધા ઇન્ટિગ્રેશનની જગ્યાએ અપૂર્ણ gama ફંક્શન માટે વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરવો વધુ સંખ્યાત્મક સ્થિર હોય છે.
4. અતિશય પેરામીટર મૂલ્યો માટે, ચોકસાઈ જાળવવા માટે વિસ્તૃત ચોકસાઈ ગણિતનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડી શકે છે.

ઉપયોગ કેસો

ગામા વિતરણના અનેક ક્ષેત્રોમાં ઘણા ઉપયોગો છે:

1. નાણાંકીય: આવક વિતરણ, વીમા દાવો રકમ અને સંપત્તિના પરતનું મોડેલિંગ
2. મેટરોલોજી: વરસાદના પેટર્ન અને અન્ય હવામાન સંબંધિત પરિપ્રેક્ષ્યોનું વિશ્લેષણ
3. ઇજનેરી: વિશ્વસનીયતા વિશ્લેષણ અને નિષ્ફળતા સમયનું મોડેલિંગ
4. ભૌતિકશાસ્ત્ર: રેડિયોક્ટિવ વિસર્જન ઘટનાઓ વચ્ચેની રાહ જોવાની સમયનું વર્ણન
5. બાયોલોજી: પ્રજાતિઓની સમૃદ્ધિ અને જીન અભિવ્યક્તિના સ્તરોનું મોડેલિંગ
6. ઓપરેશન્સ સંશોધન: ક્યૂઇંગ થિયરી અને ઇન્વેન્ટરી મેનેજમેન્ટ

વિકલ્પો

જ્યારે gama વિતરણ બહુવિધ છે, ત્યારે કેટલાક પરિસ્થિતિઓમાં વધુ યોગ્ય સંબંધિત વિતરણો હોઈ શકે છે:

1. વ્યાખ્યાયિત વિતરણ: gama વિતરણનો એક વિશેષ કેસ જ્યારે k = 1
2. ચી-સ્ક્વેર વિતરણ: gama વિતરણનો એક વિશેષ કેસ જ્યારે k = n/2 અને θ = 2
3. વેઇબુલ વિતરણ: વિશ્વસનીયતા વિશ્લેષણમાં વિકલ્પ તરીકે ઘણીવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે
4. લોગ-નૉર્મલ વિતરણ: અન્ય સામાન્ય પસંદગી જે વક્ર, સકારાત્મક ડેટાનું મોડેલિંગ કરે છે

પેરામીટર અંદાજ

વાસ્તવિક વિશ્વના ડેટા સાથે કામ કરતી વખતે, gama વિતરણના પેરામીટરોનું અંદાજ લગાવવું ઘણીવાર જરૂરી હોય છે. સામાન્ય પદ્ધતિઓમાં સામેલ છે:

1. પળોના પદ્ધતિ: નમૂનાના પળોને થિયરીયલ પળો સાથે સમકક્ષ બનાવવું
2. મહત્તમ સંભાવના અંદાજ (MLE): ડેટાને જોવા માટેની સંભાવના મહત્તમ કરવા માટે પેરામીટરો શોધવું
3. બેયેસિયન અંદાજ: પેરામીટરો વિશેની પૂર્વ જ્ઞાનને સમાવેશ કરવું

હિપોથિસિસ પરીક્ષણ

ગામા વિતરણનો ઉપયોગ વિવિધ હિપોથિસિસ પરીક્ષણોમાં કરી શકાય છે, જેમાં સામેલ છે:

1. gama વિતરણનું અનુરૂપ છે કે નહીં તે નિર્ધારિત કરવા માટેની સારીતા-ફિટ પરીક્ષણો
2. બે gama વિતરણો વચ્ચેના સ્કેલ પેરામીટરોની સમાનતાના પરીક્ષણો
3. બે gama વિતરણો વચ્ચેના આકાર પેરામીટરોની સમાનતાના પરીક્ષણો

ઇતિહાસ

ગામા વિતરણમાં ગણિત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં સમૃદ્ધ ઇતિહાસ છે:

• 18મી સદી: લિયોનહાર્ડ યૂલરએ gama ફંક્શન રજૂ કર્યું, જે gama વિતરણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે
• 1836: સિમેઓન ડેનિસ પોઇસોનએ પોતાની સંભાવના સિદ્ધાંતોમાં gama વિતરણનો એક વિશેષ કેસ ઉપયોગ કર્યો
• 1920ના દાયકામાં: રોનાલ્ડ ફિશરે આંકડાશાસ્ત્રમાં gama વિતરણના ઉપયોગને લોકપ્રિય બનાવ્યું
• 20મી સદીના મધ્યમાં: gama વિતરણ વિશ્વસનીયતા ઇજનેરી અને જીવન પરીક્ષણમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાયું
• 20મી સદીના અંતથી આજ સુધી: કમ્પ્યુટિંગ શક્તિમાં વધારાને કારણે વિવિધ એપ્લિકેશન્સમાં gama વિતરણ સાથે કામ કરવું સરળ બન્યું છે

ઉદાહરણો

અહીં gama વિતરણના ગુણધર્મોની ગણના કરવા માટે કેટલાક કોડ ઉદાહરણો છે:

1' Excel VBA ફંક્શન gama વિતરણ PDF માટે
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' ઉપયોગ:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma Distribution (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Probability Density')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## ઉદાહરણ ઉપયોગ:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## ગુણધર્મોની ગણના
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Mean: {mean}")
29print(f"Variance: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Mean: ${mean}`);
19    console.log(`Variance: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// ઉદાહરણ ઉપયોગ:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF પ્લોટ કરો (હિપોથેટિકલ પ્લોટિંગ લાઇબ્રેરીનો ઉપયોગ)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

આ ઉદાહરણો gama વિતરણના ગુણધર્મો ગણવા અને વિવિધ પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓનો ઉપયોગ કરીને તેની સંભાવના ઘનતા કાર્યને દૃશ્યીકરણ કરવા કેવી રીતે ગણતરી કરવી તે દર્શાવે છે. તમે આ ફંક્શન્સને તમારા વિશિષ્ટ જરૂરિયાતો માટે અનુકૂળ કરી શકો છો અથવા તેમને મોટા આંકડાશાસ્ત્રીય વિશ્લેષણ સિસ્ટમોમાં એકીકૃત કરી શકો છો.

સંદર્ભો

1. "ગામા વિતરણ." વિકિપીડિયા, વિકીમીડિયા ફાઉન્ડેશન, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2 ઓગસ્ટ 2024ને પ્રવેશ કર્યો.
2. જોન્સન, એન. એલ., કોટેઝ, એસ., & બાલકૃષ્ણન, એન. (1994). સતત એકમાત્ર વિતરણો, વોલ્યુમ 1 (વોલ્યુમ 1). જ્હોન વાઇલી & સન્સ.
3. ફોર્બ્સ, સી., ઇવન્સ, એમ., હેસ્ટિંગ્સ, એન., & પીકોક, બી. (2011). આંકડાકીય વિતરણો. જ્હોન વાઇલી & સન્સ.
4. થોમ, એચ. સી. એસ. (1958). gama વિતરણ પર એક નોંધ. માસિક હવામાન સમીક્ષા, 86(4), 117-122.
5. સ્ટેસી, ઈ. ડબલ્યુ. (1962). gama વિતરણનું સામાન્યકરણ. એનાલ્સ ઓફ મેટેમેટિકલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 33(3), 1187-1192.