ગામા વિતરણ કેલ્ક્યુલેટર - સાંખ્યિકીય વિશ્લેષણ સાધન

ગામા વિતરણ કેલ્ક્યુલેટર શું છે?

ગામા વિતરણ કેલ્ક્યુલેટર બે ઇનપુટમાંથી ગામા વિતરણનો સરેરાશ, વિચરણ, ત્રાંસાપણું, કુર્ટોસિસ અને બહુલક શોધે છે: આકાર પરિમાણ અને સ્કેલ પરિમાણ. તે વિતરણના સંભાવના ઘનતા ફલનને વક્ર તરીકે પણ દોરે છે.

ગામા વિતરણ શું છે?

ગામા વિતરણ ધનાત્મક મૂલ્યો માટેનું સતત સંભાવના વિતરણ છે. તે બે પરિમાણોથી વ્યાખ્યાયિત થાય છે: આકાર પરિમાણ, જેને સામાન્ય રીતે k તરીકે લખવામાં આવે છે, અને સ્કેલ પરિમાણ, જેને સામાન્ય રીતે θ (થીટા) તરીકે લખવામાં આવે છે. બંને શૂન્ય કરતાં મોટા હોવા જોઈએ. ગામા વિતરણનો ઉપયોગ વરસાદના કુલ પ્રમાણ, વીમા દાવાની રકમ અને મશીનનો કોઈ ભાગ નિષ્ફળ થાય ત્યાં સુધીના સમય જેવી ઋણ ન બની શકતી રાશિઓનું મોડેલ બનાવવા માટે થાય છે.

ગામા વિતરણનું સૂત્ર

ગામા વિતરણનું સંભાવના ઘનતા ફલન (PDF) છે:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

અહીં x એ તે મૂલ્ય છે જ્યાં ઘનતા માપવામાં આવે છે, અને Γ(k) એ ગામા ફલન છે, જે પૂર્ણાંક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ માટે ફેક્ટોરિયલનું સામાન્યીકરણ છે. આ સૂત્ર માત્ર x > 0 માટે લાગુ પડે છે; અન્યત્ર સર્વત્ર ઘનતા શૂન્ય છે.

ગામા વિતરણના ગુણધર્મોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

આકાર પરિમાણ k અને સ્કેલ પરિમાણ θ પરથી કેલ્ક્યુલેટર નીચેના મૂલ્યો શોધે છે:

• સરેરાશ: k × θ
• વિચરણ: k × θ²
• ત્રાંસાપણું: 2 / √k
• કુર્ટોસિસ: 3 + 6 / k
• બહુલક: (k − 1) × θ જ્યારે k ≥ 1, અન્યથા 0

ત્રાંસાપણું વક્ર કેટલું એક તરફ ઝૂકેલું છે તે માપે છે. નાનું k જમણી બાજુએ લાંબી પૂંછડી ઉત્પન્ન કરે છે. કુર્ટોસિસ સામાન્ય વિતરણની તુલનામાં પૂંછડીઓ કેટલી ભારે છે તે માપે છે; સામાન્ય વિતરણની કુર્ટોસિસ 3 છે. બહુલક એ x-મૂલ્ય છે જ્યાં વક્ર તેની ટોચે પહોંચે છે. જ્યારે k, 1 કરતાં નાનું હોય છે, ત્યારે x 0ની નજીક પહોંચે તેમ ઘનતા વધતી રહે છે. તેથી અંદરનો કોઈ શિખર હોતો નથી અને કેલ્ક્યુલેટર બહુલક તરીકે 0 દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ સાથે ગણતરી

આકાર પરિમાણ k = 2 અને સ્કેલ પરિમાણ θ = 3 લો.

• સરેરાશ = 2 × 3 = 6
• વિચરણ = 2 × 3² = 18
• ત્રાંસાપણું = 2 / √2 ≈ 1.4142
• કુર્ટોસિસ = 3 + 6 / 2 = 6
• બહુલક = (2 − 1) × 3 = 3

બહુલક પર, x = 3, ઘનતા f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226 થાય છે. બંને પરિમાણો દાખલ કર્યા પછી કેલ્ક્યુલેટર આપમેળે સંપૂર્ણ વક્રનો આલેખ દોરે છે.

ગામા વિતરણ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો

1. આકાર પરિમાણ (k), એટલે કે ધનાત્મક સંખ્યા, દાખલ કરો.
2. સ્કેલ પરિમાણ (θ), એટલે કે ધનાત્મક સંખ્યા, દાખલ કરો.
3. બંને ક્ષેત્રોમાં માન્ય સંખ્યાઓ ભરાતાં જ સરેરાશ, વિચરણ, ત્રાંસાપણું, કુર્ટોસિસ અને બહુલક દેખાય છે. અલગથી ગણતરી કરવાનું કોઈ બટન નથી; સંખ્યાઓ દાખલ થતાં પરિણામો અપડેટ થાય છે.
4. પરિણામોની નીચેનો આલેખ સંભાવના ઘનતા ફલન દર્શાવે છે. તે x = 0થી થોડું ઉપરથી શરૂ કરીને, નીચેના બેમાંથી જે મોટું હોય ત્યાં સુધી દોરવામાં આવે છે: સરેરાશના ત્રણ ગણા અથવા સ્કેલ પરિમાણના પાંચ ગણા.

બંને પરિમાણો 0 કરતાં મોટી અને સીમિત સંખ્યાઓ હોવા જોઈએ, અને બંનેમાંથી કોઈ પણ 1000 કરતાં મોટું ન હોવું જોઈએ. આશરે 2 × 10⁻¹⁶ કરતાં નાના મૂલ્યો પણ નકારવામાં આવે છે, કારણ કે તે કદે સારાંશરૂપ સંખ્યાઓ અર્થપૂર્ણ રહેતી નથી. સ્વીકાર્ય પરિસીમાની બહારનું મૂલ્ય પરિણામોને બદલે ભૂલનો સંદેશ આપે છે.

ગામા વિતરણનો ઉપયોગ ક્યાં થાય છે

ગામા વિતરણ ઘણી વાસ્તવિક રાશિઓનું મોડેલ બનાવે છે જે હંમેશાં ધનાત્મક અને ઘણી વાર જમણી બાજુએ ત્રાંસી હોય છે:

• વીમો: દાવાની રકમો અને ચૂકવણીની રકમો
• હવામાનવિજ્ઞાન: નિશ્ચિત સમયગાળામાં પડેલા વરસાદનું કુલ પ્રમાણ
• ઇજનેરી: કોઈ ઘટક નિષ્ફળ થાય ત્યાં સુધીનો સમય
• કતાર સિદ્ધાંત: અનેક ઘાતાંકીય તબક્કાઓથી બનેલા રાહ જોવાના સમય
• જીવવિજ્ઞાન: જનીન અભિવ્યક્તિના સ્તરો અને પ્રજાતિ-સંખ્યા સંબંધિત માહિતી

સંબંધિત વિતરણો

બે જાણીતા વિતરણો ગામા વિતરણના વિશિષ્ટ કિસ્સા છે:

• ઘાતાંકીય વિતરણ: k = 1 ધરાવતું ગામા વિતરણ
• કાઈ-સ્ક્વેર વિતરણ: k = n/2 અને θ = 2 ધરાવતું ગામા વિતરણ, જ્યાં n સ્વતંત્રતાની કક્ષાઓ છે

ધનાત્મક અને ત્રાંસા માહિતીના મોડેલિંગ માટે વેઇબુલ અને લૉગ-નોર્મલ વિતરણો સામાન્ય વિકલ્પો છે.

વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

ગામા વિતરણનો ઉપયોગ શા માટે થાય છે? તે રાહ જોવાના સમય, વરસાદનું પ્રમાણ અને વીમાના દાવા જેવી સતત, ધનાત્મક રાશિઓનું મોડેલ બનાવે છે, ખાસ કરીને જ્યારે માહિતી મોટા મૂલ્યો તરફ ઝુકેલી હોય.

ગામા વિતરણનો સરેરાશ કેવી રીતે શોધવો? આકાર પરિમાણને સ્કેલ પરિમાણથી ગુણો: સરેરાશ = k × θ. k = 2 અને θ = 3 માટે સરેરાશ 6 છે.

આકાર અને સ્કેલ પરિમાણો વચ્ચે શું તફાવત છે? આકાર પરિમાણ (k) વક્રનું સ્વરૂપ, જેમાં તેનું ત્રાંસાપણું પણ સામેલ છે, નિયંત્રિત કરે છે. સ્કેલ પરિમાણ (θ) વક્રના મૂળભૂત સ્વરૂપમાં ફેરફાર કર્યા વિના તેને x-અક્ષ પર ખેંચે અથવા સંકોચે છે.

ગામા વિતરણ અને ઘાતાંકીય વિતરણ વચ્ચે શું સંબંધ છે? ઘાતાંકીય વિતરણ એ k = 1 ધરાવતું ગામા વિતરણ છે.

શું ગામા વિતરણ ઋણ મૂલ્યો લઈ શકે છે? ના. તે માત્ર x > 0 માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ઋણ હોઈ શકતી માહિતી માટે સામાન્ય વિતરણ જેવા જુદા વિતરણની જરૂર પડે છે.

શું આ કેલ્ક્યુલેટર સંચિત વિતરણ ફલનની ગણતરી કરે છે? ના. તે સરેરાશ, વિચરણ, ત્રાંસાપણું, કુર્ટોસિસ અને બહુલકની ગણતરી કરે છે અને સંભાવના ઘનતા ફલનનો આલેખ દોરે છે. તે સંચિત સંભાવનાના મૂલ્યો આપતું નથી.

સંદર્ભો

1. "Gamma distribution." વિકિપીડિયા, વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., અને Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, ખંડ 1. John Wiley & Sons.