Kalkulator kritičnih vrijednosti | Z-test, t-test, Hi-kvadrat test

Kritična vrijednost jest granična točka na distribuciji vjerojatnosti koja označava rub „područja odbacivanja” u testu hipoteze. Ako testna statistika premašuje kritičnu vrijednost, rezultat se smatra statistički značajnim, a nul-hipoteza se odbacuje. Ovaj kalkulator izračunava kritične vrijednosti za tri najčešća testa: Z-test, t-test i hi-kvadratni test.

Što je kritična vrijednost?

U statistici istraživači često polaze od nul-hipoteze, jednostavne pretpostavke da se ne događa ništa neuobičajeno (na primjer, da novi lijek nema učinka). Testna statistika izračunava se iz podataka uzorka i uspoređuje s kritičnom vrijednošću kako bi se odlučilo pružaju li podaci dovoljno dokaza protiv nul-hipoteze.

Kritična vrijednost ovisi o trima stvarima: odabiru testa, razini značajnosti (zapisanoj kao α, grčko slovo alfa) i tome je li test jednostrani ili dvostrani. Razina značajnosti vjerojatnost je pogrešnog odbacivanja istinite nul-hipoteze, a često se postavlja na 0,05 (5 %) ili 0,01 (1 %).

Jednostrani test provjerava postoji li učinak u jednom smjeru, primjerice „veći od”. Ima jednu kritičnu vrijednost. Dvostrani test provjerava postoji li učinak u bilo kojem smjeru i ima dvije kritične vrijednosti, po jednu sa svake strane distribucije.

Kako izračunati kritičnu vrijednost

1. Odaberite test: Z-test (veliki uzorci ili poznata varijanca populacije), t-test (mali uzorci s nepoznatom varijancom) ili hi-kvadratni test (kategorijski podaci ili test slaganja).
2. Odaberite vrstu testa: jednostrani ili dvostrani.
3. Odaberite razinu značajnosti α, broj između 0 i 1. Uobičajeni su odabiri 0,10, 0,05 i 0,01.
4. Za t-test ili hi-kvadratni test unesite stupnjeve slobode (df). Za t-test df je jednak veličini uzorka umanjenoj za 1. Za hi-kvadratni test slaganja df je jednak broju kategorija umanjenom za 1.
5. Pronađite (ili izračunajte) vrijednost koja određuje granicu odabrane površine repa ispod krivulje distribucije. To je kritična vrijednost.

Formule za kritične vrijednosti

Svaka formula upotrebljava inverz kumulativne funkcije distribucije: vrijednost x za koju je površina ispod krivulje do x jednaka ciljnoj vjerojatnosti p.

Formula za Z-test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(jednostrani)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dvostrani)}$

Φ⁻¹ je inverz kumulativne funkcije standardne normalne distribucije.

Formula za t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(jednostrani)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dvostrani)}$

t⁻¹(p, df) je inverz kumulativne funkcije t-distribucije s df stupnjeva slobode.

Formula za hi-kvadratni test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(jednostrani)}$ $\chi^2_{\text{donja}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{gornja}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dvostrani)}$

Hi-kvadratna distribucija poprima samo pozitivne vrijednosti, pa su obje kritične vrijednosti pozitivne, a donja je manja od gornje.

Primjer: kritična vrijednost Z-testa

Tim za kontrolu kvalitete želi kritičnu vrijednost jednostranog Z-testa pri α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Svaka testna statistika veća od 1,6449 pripada području odbacivanja.

Primjer: kritična vrijednost t-testa

Istraživač provodi eksperiment s 20 sudionika, pa je df = 19. Želi dvostranu kritičnu vrijednost pri α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Područja odbacivanja jesu t < -2,8609 i t > 2,8609.

Primjer: kritične vrijednosti hi-kvadratnog testa

Analitičar uspoređuje opažene i očekivane brojeve u 5 kategorija, pa je df = 4. Želi dvostrane kritične vrijednosti pri α = 0,05.

$\chi^2_{\text{donja}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{gornja}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Hi-kvadratna statistika manja od 0,4844 ili veća od 11,1433 pripadala bi području odbacivanja.

Uobičajene kritične vrijednosti

Kako se povećavaju stupnjevi slobode, kritične vrijednosti t-distribucije smanjuju se prema odgovarajućim vrijednostima Z-testa jer se t-distribucija približava normalnoj distribuciji.

Često postavljana pitanja

Čemu služi kritična vrijednost? Ona postavlja granicu za odlučivanje o tome je li testna statistika dovoljno ekstremna da bi se odbacila nul-hipoteza. Ako statistika prijeđe kritičnu vrijednost, rezultat je statistički značajan pri odabranoj razini α.

Koja je razlika između jednostrane i dvostrane kritične vrijednosti? Jednostrani test traži učinak u jednom smjeru i ima jednu kritičnu vrijednost. Dvostrani test traži učinak u bilo kojem smjeru i ima dvije kritične vrijednosti, simetrično smještene oko središta kod Z-testa i t-testa. Za isti α, dvostrana je kritična vrijednost po apsolutnoj veličini veća od jednostrane jer se ista ukupna vjerojatnost dijeli na dva repa umjesto na jedan.

Kada treba upotrijebiti Z-test umjesto t-testa? Z-test upotrebljava se kada je varijanca populacije poznata ili je uzorak velik, obično 30 ili više opažanja. t-test upotrebljava se za manje uzorke s nepoznatom varijancom populacije. Kako veličina uzorka raste, kritične vrijednosti t-testa približavaju se kritičnim vrijednostima Z-testa.

Može li kritična vrijednost biti negativna? Da. Distribucije Z-testa i t-testa simetrične su oko nule, pa dvostrani test ima jednu negativnu i jednu pozitivnu kritičnu vrijednost. Kritične vrijednosti hi-kvadratnog testa uvijek su pozitivne jer je hi-kvadratna distribucija definirana samo za vrijednosti jednake nuli ili veće od nule.

Kako stupnjevi slobode utječu na kritičnu vrijednost? Stupnjevi slobode mjere količinu neovisnih informacija u podacima, obično veličinu uzorka umanjenu za broj već procijenjenih parametara. Manji broj stupnjeva slobode daje šire distribucije s težim repovima i veće kritične vrijednosti. S većim brojem stupnjeva slobode t-distribucija i hi-kvadratna distribucija približavaju se normalnoj distribuciji.

Koja kritična vrijednost odgovara razini pouzdanosti od 95 %? Razina pouzdanosti od 95 % znači α = 0,05. Za dvostrani Z-test kritične su vrijednosti ±1,9600. Za jednostrani Z-test kritična je vrijednost 1,6449.

Povijest

Karl Pearson uveo je hi-kvadratni test 1900. godine. William Sealy Gosset, koji je objavljivao pod imenom „Student”, razvio je t-distribuciju 1908. godine kako bi se nosio s malim uzorcima u pivovari Guinness. Ronald Fisher formalizirao je testiranje značajnosti i kritične vrijednosti u 1920-ima u svojoj knjizi Statistical Methods for Research Workers. Prije računala istraživači su kritične vrijednosti tražili u tiskanim tablicama; kalkulatori i softver danas ih izračunavaju izravno iz formula distribucija.

Reference

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values.”