Pemecah Persamaan Kuadrat - Hitung Akar dari ax² + bx + c = 0

Apa yang dimaksud dengan persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$, dengan $a$, $b$, dan $c$ merupakan bilangan, serta $a$ tidak sama dengan nol. Pemecah persamaan kuadrat di halaman ini menemukan nilai atau nilai-nilai $x$ yang membuat persamaan tersebut benar, menggunakan koefisien $a$, $b$, dan $c$ yang dimasukkan pengguna.

Jika $a$ bernilai nol, suku $x^2$ akan hilang dan persamaan tersebut menjadi linear, bukan kuadrat. Karena itu, kalkulator mengharuskan $a \neq 0$ dan menampilkan kesalahan jika $a = 0$.

Rumus kuadrat

Setiap persamaan kuadrat berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tanda $\pm$ menunjukkan dua perhitungan terpisah, yaitu satu dengan tanda tambah dan satu dengan tanda kurang. Itulah sebabnya persamaan kuadrat dapat memiliki dua solusi yang berbeda.

Ekspresi di bawah akar kuadrat, $b^2 - 4ac$, disebut diskriminan. Biasanya, ekspresi ini ditulis sebagai $\Delta$ (huruf Yunani delta). Diskriminan saja sudah menunjukkan berapa banyak solusi real yang dimiliki persamaan tersebut, sebelum sisa perhitungan dilakukan.

Cara menghitung akar

1. Tuliskan persamaan dalam bentuk standar, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifikasi koefisien $a$, $b$, dan $c$.
3. Hitung diskriminan: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Jika $\Delta$ positif, hitung kedua akar dengan $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Jika $\Delta$ nol, hitung satu akar dengan $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Jika $\Delta$ negatif, persamaan tersebut tidak memiliki akar real, karena bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real.

Kalkulator di halaman ini melakukan langkah-langkah tersebut secara otomatis. Kalkulator menerima koefisien antara $-10^{10}$ dan $10^{10}$, lalu membulatkan hasil hingga jumlah tempat desimal yang dipilih, dari 0 hingga 10.

Arti diskriminan

Kalkulator ini melaporkan “tidak ada akar real” ketika $\Delta$ negatif. Kalkulator ini tidak menghitung akar kompleks (bilangan yang melibatkan $i = \sqrt{-1}$).

Contoh perhitungan

Selesaikan $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Di sini $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 6$.

Pertama, cari diskriminannya:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Karena $\Delta$ positif, persamaan tersebut memiliki dua akar real:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Hal ini dapat diperiksa dengan memfaktorkan: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, yang bernilai nol ketika $x = -2$ atau $x = -3$.

Contoh kedua menunjukkan diskriminan negatif. Untuk $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, dan $c = 1$, sehingga $\Delta = 1 - 4 = -3$. Karena $\Delta$ negatif, persamaan tersebut tidak memiliki akar real.

Parabola, titik puncak, dan sumbu simetri

Grafik $f(x) = ax^2 + bx + c$ adalah kurva yang disebut parabola. Jika $a$ positif, parabola terbuka ke atas dan memiliki titik terendah. Jika $a$ negatif, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik tertinggi. Titik terendah atau tertinggi tersebut adalah titik puncak.

Titik puncaknya berada di:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Garis vertikal yang melalui titik puncak, $x = -\dfrac{b}{2a}$, disebut sumbu simetri, karena kedua bagian parabola saling mencerminkan terhadap garis tersebut. Akar real persamaan adalah titik tempat parabola memotong sumbu x, sehingga akar-akar tersebut berada di kedua sisi sumbu simetri pada jarak yang sama.

Kalkulator menggambar parabola ini di sebelah hasil. Kalkulator menandai titik puncak dan setiap akar real pada kurva, serta memperlebar rentang yang digambarkan jika diperlukan agar semua akar tetap terlihat.

Penggunaan persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat menggambarkan banyak situasi nyata. Dalam fisika, tinggi benda yang dilempar terhadap waktu mengikuti persamaan $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, dan penyelesaiannya untuk $t$ memberikan waktu ketika benda tersebut mendarat. Dalam teknik, bentuk parabola terdapat pada antena parabola dan kabel jembatan karena bentuk tersebut memfokuskan atau mendistribusikan gaya. Dalam grafik komputer, program pelacakan sinar menyelesaikan persamaan kuadrat untuk menemukan titik tempat suatu garis berpotongan dengan bola.

Sejarah singkat

Matematikawan Babilonia telah menyelesaikan masalah kuadrat tertentu sekitar 2000 SM, dengan menggunakan metode geometris, bukan aljabar. Matematikawan Yunani seperti Euclid juga menangani persamaan kuadrat secara geometris. Sekitar 600 M, matematikawan India Brahmagupta memberikan rumus eksplisit untuk akar-akar, termasuk solusi negatif. Sekitar 800 M, matematikawan Persia al-Khwarizmi menjelaskan metode sistematis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam sebuah buku yang judulnya melahirkan kata “aljabar”. Bentuk simbolis modern dari rumus kuadrat menjadi standar kemudian, seiring berkembangnya notasi aljabar selama Renaisans.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa yang terjadi jika saya memasukkan 0 untuk koefisien a? Kalkulator menampilkan kesalahan, karena $a = 0$ mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan linear, $bx + c = 0$, yang diselesaikan dengan cara berbeda.

Mengapa suatu persamaan terkadang tidak memiliki akar real? Hal ini terjadi ketika diskriminan, $b^2 - 4ac$, bernilai negatif. Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real, sehingga rumus tersebut tidak dapat menghasilkan nilai real $x$. Persamaan tersebut tetap memiliki dua akar kompleks, tetapi kalkulator ini tidak menghitungnya.

Apa perbedaan antara akar dan solusi? Tidak ada. Kedua kata tersebut merujuk pada nilai $x$ yang membuat persamaan bernilai nol. “Akar” merujuk pada tempat grafik bertemu dengan sumbu x; “solusi” merujuk pada aljabarnya.

Berapa banyak tempat desimal yang dapat saya pilih? Antara 0 dan 10. Dua atau tiga tempat desimal biasanya sudah cukup untuk masalah sehari-hari.

Dapatkah saya memasukkan koefisien yang sangat besar? Koefisien harus berada antara $-10^{10}$ dan $10^{10}$. Nilai di luar rentang tersebut dapat menyebabkan kesalahan pembulatan dan akan ditolak.

Dapatkah kalkulator ini menemukan akar kompleks? Tidak. Ketika diskriminan bernilai negatif, kalkulator ini melaporkan “tidak ada akar real” alih-alih menghitung bilangan kompleks.

Referensi

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Aljabar: Persamaan Kuadrat