Kalkulator Nilai Kritis | Uji Z, Uji t, Chi-Square

Nilai kritis adalah titik batas pada distribusi probabilitas yang menandai tepi "wilayah penolakan" dalam uji hipotesis. Jika statistik uji berada melampaui nilai kritis, hasilnya dinilai signifikan secara statistik, dan hipotesis nol ditolak. Kalkulator ini menemukan nilai kritis untuk tiga uji yang paling umum: uji Z, uji t, dan uji Chi-kuadrat.

Apa itu nilai kritis?

Dalam statistika, peneliti sering memulai dengan hipotesis nol, yaitu asumsi sederhana bahwa tidak ada hal yang tidak biasa terjadi (misalnya, bahwa obat baru tidak memiliki efek). Statistik uji dihitung dari data sampel, lalu dibandingkan dengan nilai kritis untuk menentukan apakah data memberikan cukup bukti yang menentang hipotesis nol.

Nilai kritis bergantung pada tiga hal: pilihan uji, tingkat signifikansi (ditulis sebagai α, huruf Yunani alfa), dan apakah uji tersebut satu arah atau dua arah. Tingkat signifikansi adalah peluang untuk keliru menolak hipotesis nol yang benar, dan sering ditetapkan pada 0,05 (5%) atau 0,01 (1%).

Uji satu arah memeriksa efek dalam satu arah, seperti "lebih besar dari". Uji ini memiliki satu nilai kritis. Uji dua arah memeriksa efek dalam salah satu dari kedua arah dan memiliki dua nilai kritis, masing-masing di satu sisi distribusi.

Cara menghitung nilai kritis

1. Pilih uji: uji Z (sampel besar atau varians populasi yang diketahui), uji t (sampel kecil dengan varians yang tidak diketahui), atau uji Chi-kuadrat (data kategorikal atau uji kesesuaian).
2. Pilih jenis arah: satu arah atau dua arah.
3. Pilih tingkat signifikansi α, yaitu angka antara 0 dan 1. Pilihan yang umum adalah 0,10, 0,05, dan 0,01.
4. Untuk uji t atau uji Chi-kuadrat, masukkan derajat kebebasan (df). Untuk uji t, df sama dengan ukuran sampel dikurangi 1. Untuk uji kesesuaian Chi-kuadrat, df sama dengan jumlah kategori dikurangi 1.
5. Cari (atau hitung) nilai yang menjadi batas area arah yang dipilih di bawah kurva distribusi. Nilai ini adalah nilai kritis.

Rumus nilai kritis

Setiap rumus menggunakan invers fungsi distribusi kumulatif: nilai x yang luas di bawah kurva hingga x sama dengan probabilitas target p.

Rumus uji Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(satu arah)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dua arah)}$

Φ⁻¹ adalah invers fungsi distribusi kumulatif normal baku.

Rumus uji t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(satu arah)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dua arah)}$

t⁻¹(p, df) adalah invers fungsi distribusi kumulatif distribusi t dengan df derajat kebebasan.

Rumus uji Chi-kuadrat

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(satu arah)}$ $\chi^2_{\text{bawah}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{atas}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dua arah)}$

Distribusi Chi-kuadrat hanya memiliki nilai positif, sehingga kedua nilai kritis positif, dan nilai yang lebih rendah lebih kecil daripada nilai yang lebih tinggi.

Contoh: nilai kritis uji Z

Sebuah tim pengendalian mutu menginginkan nilai kritis uji Z satu arah pada α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Setiap statistik uji di atas 1,6449 termasuk dalam wilayah penolakan.

Contoh: nilai kritis uji t

Seorang peneliti melakukan eksperimen dengan 20 peserta, sehingga df = 19. Ia menginginkan nilai kritis dua arah pada α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Wilayah penolakannya adalah t < -2,8609 dan t > 2,8609.

Contoh: nilai kritis Chi-kuadrat

Seorang analis membandingkan jumlah teramati dan jumlah harapan pada 5 kategori, sehingga df = 4. Ia menginginkan nilai kritis dua arah pada α = 0,05.

$\chi^2_{\text{bawah}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{atas}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Statistik Chi-kuadrat di bawah 0,4844 atau di atas 11,1433 akan termasuk dalam wilayah penolakan.

Nilai kritis yang umum

Ketika derajat kebebasan bertambah, nilai kritis distribusi t menyusut mendekati nilai uji Z yang sesuai, karena distribusi t mendekati distribusi normal.

Pertanyaan yang sering diajukan

Untuk apa nilai kritis digunakan? Nilai kritis menetapkan batas untuk menentukan apakah statistik uji cukup ekstrem sehingga hipotesis nol dapat ditolak. Jika statistik melewati nilai kritis, hasilnya signifikan secara statistik pada tingkat α yang dipilih.

Apa perbedaan antara nilai kritis satu arah dan dua arah? Uji satu arah mencari efek dalam satu arah dan memiliki satu nilai kritis. Uji dua arah mencari efek dalam salah satu dari kedua arah dan memiliki dua nilai kritis, yang ditempatkan secara simetris di sekitar pusat untuk uji Z dan uji t. Untuk α yang sama, nilai kritis dua arah lebih besar dalam nilai absolut daripada nilai kritis satu arah, karena total probabilitas yang sama dibagi ke dalam dua ekor, bukan satu.

Kapan uji Z sebaiknya digunakan sebagai pengganti uji t? Uji Z digunakan ketika varians populasi diketahui atau sampelnya besar, biasanya 30 observasi atau lebih. Uji t digunakan untuk sampel yang lebih kecil dengan varians populasi yang tidak diketahui. Seiring bertambahnya ukuran sampel, nilai kritis uji t mendekati nilai kritis uji Z.

Bisakah nilai kritis bernilai negatif? Ya. Distribusi uji Z dan uji t simetris di sekitar nol, sehingga uji dua arah memiliki satu nilai kritis negatif dan satu positif. Nilai kritis Chi-kuadrat selalu positif, karena distribusi Chi-kuadrat hanya didefinisikan untuk nilai nol atau lebih.

Bagaimana derajat kebebasan memengaruhi nilai kritis? Derajat kebebasan mengukur banyaknya informasi independen dalam data, biasanya ukuran sampel dikurangi jumlah parameter yang sudah diestimasi. Derajat kebebasan yang lebih rendah menghasilkan distribusi yang lebih lebar dengan ekor yang lebih berat dan nilai kritis yang lebih besar. Derajat kebebasan yang lebih tinggi membuat distribusi t dan distribusi Chi-kuadrat semakin mendekati distribusi normal.

Nilai kritis mana yang sesuai dengan tingkat kepercayaan 95%? Tingkat kepercayaan 95% menggunakan α = 0,05. Untuk uji Z dua arah, nilai kritisnya adalah ±1,9600. Untuk uji Z satu arah, nilai kritisnya adalah 1,6449.

Sejarah

Karl Pearson memperkenalkan uji Chi-kuadrat pada 1900. William Sealy Gosset, yang menerbitkan karya dengan nama "Student", mengembangkan distribusi t pada 1908 untuk menangani sampel kecil di pabrik bir Guinness. Ronald Fisher merumuskan pengujian signifikansi dan nilai kritis pada dekade 1920-an dalam bukunya Statistical Methods for Research Workers. Sebelum komputer tersedia, peneliti mencari nilai kritis dalam tabel tercetak; kini kalkulator dan perangkat lunak menghitungnya langsung dari rumus distribusi.

Referensi

1. Pearson, K. (1900). "On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine, Seri 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "The probable error of a mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. Buku Pegangan Elektronik Metode Statistik NIST/SEMATECH, “Nilai Kritis.”