ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯ ಜನಕ | 4ರ ಘಾತಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದರೇನು?

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದ್ದು, ಅವನ್ನು 4 ರ ಭಿನ್ನ ಘಾತಗಳ ಸಮವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ ಮತ್ತು ನಿಕೋಲಾಸ್ ಗೋವರ್ಟ್ ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ: 0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85...

ಈ ಅನುಕ್ರಮ ಏಕೆ ಆಸಕ್ತಿಕರ? ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಆಧಾರ 4 ರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿ - 2 ಅಥವಾ 3 ಎಂಬ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಎಂದೂ ಕಾಣಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು (ಉದಾ. 4⁰, 4¹, 4², 4³) ಸೇರಿಸಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಘಾತ ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಅಥವಾ ಬಳಸಲ್ಪಡಲಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆ: 21 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 16 + 4 + 1 ಗೆ ಸಮಾನ, ಇದು 4² + 4¹ + 4⁰ ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರ 4 ರಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು "111" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ - ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ. 22 ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಆಧಾರ 4 ರಲ್ಲಿ "2" ಅಗತ್ಯ (122), ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬಾರದು.

ಈ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಯೋಜನಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಯೋಜನಾ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಮ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬೈನರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಆಧಾರ 4 ಸಹೋದರನಾಗಿ ಭಾವಿಸಿ - 2 ರ ಘಾತಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು 4 ರ ಘಾತಗಳ ಜೊತೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಜಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಜನಕ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನ

ಈ ಜನಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸರಳ:

1. ನೀವು ಬಯಸುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ (ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟರೆ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ 20)
2. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು "ಉತ್ಪಾದಿಸಿ" ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ
3. ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕೂಡಲೇ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ �jeಾಣಿಸುತ್ತವೆ
4. ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ? ಇನ್ಪುಟ್ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಿ

ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ JavaScript ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸರ್ವರ್ ವಿಳಂಬ ಅಥವಾ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಅವಲಂಬನೆ ಇಲ್ಲ - ಇದು ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪುಟ ಲೋಡ್ ಆದ ನಂತರ ಆಫ್‌ಲೈನ್ ಕಾಮಗಾರಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಇನ್ಪುಟ್ ಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು

ಜನಕವು ದೋಷಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಿಮ್ಮ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ:

• ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಇರಬೇಕು (ದಶಾಂಶ ಅಥವಾ ಋಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲ)
• ಬ್ರೌಸರ್ ಕಿರಿಕಿರಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಗರಿಷ್ಠ 1000 ಪದಗಳು
• ಸಂಖ್ಯಾಂಕ ಇಲ್ಲದ ಎಂಟ್ರಿಗಳು ದೋಷ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಟ್ರಿಗರ್ ಮಾಡುತ್ತವೆ
• ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟರೆ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ 20 ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ

1000 ಪದಗಳ ಮಿತಿಯ ಕಾರಣ ಏನು? ಆಲ್ಗೋರಿಧಂ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಾವಿರಾರು ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಮೊಬೈಲ್ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರೌಸರ್ ಮೆಮೊರಿಯನ್ನು ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾವಹಾರಿಕವಾಗಿ, ಬಹುತೇಕ ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಥವಾ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗೆ 100-200 ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಕಾಲಿಕ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂತರ್ಗತ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಅನ್ವಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮೂರು ಮಾರ್ಗಗಳು

ಸಂಯೋಜಕ ರೂಪ (4ರ ಘಾತಗಳು): ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ: $n = \sum_{i \in S} 4^i$ ಇಲ್ಲಿ S ಯಾವುದೇ ಸಾಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ. 4ರ ಪ್ರತಿ ಘಾತವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಳಸಬಾರದು - ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಆಧಾರ-4 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ (ಸರಳ ಪರೀಕ್ಷೆ): ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧಾರ-4 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ನೀವು ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿದರೆ (2 ಅಥವಾ 3 ಇಲ್ಲ), ಅದು ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಇದು ಕೈಯಿಂದ ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅತಿ ವೇಗವಾದ ಮಾರ್ಗ.

ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ (ಗಣನೆಗಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯೋಗಿ): n-ನೇ ಪದವನ್ನು (n=0 ಇಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು: $M(n) = \sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 4^i$ ಇಲ್ಲಿ $b_i$ ಗಳು n ನ ಬೈನರಿ ಅಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ನಿಮ್ಮ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ "1" ಬಿಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 4ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ.

ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಕಾರ್ಯಗತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

• n = 0 (ಬೈನರಿ: 0) → M(0) = 0
• n = 1 (ಬೈನರಿ: 1) → M(1) = 4⁰ = 1
• n = 2 (ಬೈನರಿ: 10) → M(2) = 4¹ = 4
• n = 3 (ಬೈನರಿ: 11) → M(3) = 4¹ + 4⁰ = 5
• n = 5 (ಬೈನರಿ: 101) → M(5) = 4² + 4⁰ = 17

ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ ವಿಧಾನವೇ ಈ ಜನಕ ಹಿಂಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುವ ಮಾರ್ಗ - ಇದು ಗಣಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮ ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಟ್ ಮಟ್ಟದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ವೇಗವಾಗಿವೆ.

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಜನಕದ ಹಿಂದಿನ ಆಲ್ಗೋರಿಧಂ

ಜನಕವು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಹಂತ-ಹಂತವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ:

1. ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಅನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ n-1 ವರೆಗೆ ಲೂಪ್ ಮಾಡಿ (n ನಿಮ್ಮ ಕೋರಿದ ಅವಧಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ)
2. ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಗಾಗಿ, ಅದರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ
3. ಪ್ರತಿ "1" ಬಿಟ್ ಸ್ಥಾನ j ಗಾಗಿ, 4^j ಅನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನಡೆಯುವ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ
4. ಆ ಒಟ್ಟು i-ನೇ ಅವಧಿಯಾಗುತ್ತದೆ

ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆ: 6ನೇ ಅವಧಿ (ಸೂಚ್ಯಂಕ 5) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ

M(5) ಅನ್ನು ಹಂತ-ಹಂತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

• ಬೈನರಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ 5: 101
• ಬಿಟ್ 0 (ಬಲಗಡೆಯ) = 1 → 4⁰ ಸೇರಿಸಿ = 1
• ಬಿಟ್ 1 (ಮಧ್ಯ) = 0 → ಏನನ್ನೂ ಸೇರಿಸಬೇಡಿ
• ಬಿಟ್ 2 (ಎಡಗಡೆಯ) = 1 → 4² ಸೇರಿಸಿ = 16
• ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶ: 1 + 16 = 17

ಈ ವಿಧಾನವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ, ನೀವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ—ಆಧುನಿಕ ಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ಗಳು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸಬಹುದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬೇಸ್-4 ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ:

1. ನಿಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇಸ್-4 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ
2. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿ—ನಿಮಗೆ ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸುತ್ತಿವೆಯೇ?
3. ಹೌದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೆ. 2 ಅಥವಾ 3 ಕಾಣಿಸಿದರೆ, ಇಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ: 85 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ?

• ಬೇಸ್-4 ನಲ್ಲಿ 85: 1111 (ಅಂದರೆ 64 + 16 + 4 + 1)
• ಕೇವಲ 1 ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ → ಹೌದು, 85 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೆ

ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಉದಾಹರಣೆ: 90 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ?

• ಬೇಸ್-4 ನಲ್ಲಿ 90: 1122
• 2 ಅಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ → ಇಲ್ಲ, 90 ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

ಜನಕವು ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ನ ಬಿಟ್ವೈಸ್ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇವು ಭಾಷೆಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಬ್ರೌಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಗೊಳಿಸಲಾಗಿವೆ.

ಏಕಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ನಿಖಯಿತೆ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಶುದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುತ್ತದೆ:

• ಎಲ್ಲಾ ಅವಧಿಗಳು ಋಣವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ (0, 1, 4, 5, 16 ಇತ್ಯಾದಿ)
• ಏಕಮಾನಗಳಿಲ್ಲ, ದಶಮಾಂಶಗಳಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ರೌಂಡಿಂಗ್ ಇಲ್ಲ
• ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗ�ณಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಖಯಿತ—ನೀವು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಿಖಯಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ
• ಬೆಳವಣಿಗೆ ಘಾತಾಂಕ ಆಗಿದೆ: n-ನೇ ಅವಧಿಯು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ 4^(⌊log₂(n)⌋+1) - 1 ವರೆಗೆ ತಲುಪಬಹುದು

ಈ ಘಾತಾಂಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಬೇಗನೆ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. 20ನೇ ಅವಧಿಯು ಈಗಾಗಲೇ 340 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು 100ನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಿಲಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ.

ವಾಸ್ತವಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆ

ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬೋಧಿಸುವುದು: ನಾನು ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಜಿನ್ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಆಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಆಧಾರ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಬೇಗ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಬೈನರಿ (ಆಧಾರ 2) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವೆ ಸೇತುವೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಧಾರ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಅನ್ವಯದ ಗಾಢತೆ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೂಡಲೇ ನೋಡಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಬಿಟ್ ಸಂಚಾಲನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು: ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಬೈನರಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಅನ್ವಯಗಳ ನಡುವಿನ ನೇರ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಲು ಲಾಭ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಲ್ಗೋರಿದಂ ಬಿಟ್ ಮ್ಯಾನಿಪುಲೇಷನ್ ಹೇಗೆ ವಾಸ್ತವಿಕ ಗಣಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ - ಕೇವಲ ಅಮೂರ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲ.

ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಸಂಯೋಜನಾ ಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳು: ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಂಶೋಧಕರು ಈ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಯಾವ ಸೆಟ್ಗಳು ಅನನ್ಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಜಿನ್ ಅನ್ವಯವು ಒಂದು ಪಾಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ: ಈ ಅನ್ವಯವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಣಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ತನಿಖೆಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಆನ್ಲೈನ್ ಇಂಟೀಜರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸಸ್ ಸಂಗ್ರಹ (OEIS)ನಲ್ಲಿ A000695 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್

ಆಲ್ಗೋರಿದಂ ವಿನ್ಯಾಸ: ಉತ್ಪಾದನಾ ಆಲ್ಗೋರಿದಂ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮ ಅನ್ವಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಗಣನಾ ಓವರ್ಹೆಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾವಿರಾರು ಅವಯವಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗೊಳಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಲ್ಗೋರಿದಂ ಬೆಂಚ್‌ಮಾರ್ಕಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮ ಕೋಡ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬೋಧಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಅಲ್ಪ ಇಂಟೀಜರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಥವಾ ಡೇಟಾ ಸಂಕೋಚನಾ ಯೋಜನೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದಾಗ, ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಜಿನ್ ಅನ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ನಿರ್ಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹುಟ್ಟಿಸಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಭಿನ್ನ ಆಧಾರಗಳ ಅಥವಾ ನಿಬಂಧನೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ:

ನೇರ ಸಂಬಂಧಿಗಳು

2 ರ ಘಾತಗಳು (OEIS A000079): 1, 2, 4, 8, 16, 32... ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರ. ಪ್ರತಿ 2 ರ ಘಾತವು 正ಕ್ಷವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಬೈನರಿ ಸಮಗಳು): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... ನೀವು 2 ರ ಭಿನ್ನ ಘಾತಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಮವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಧ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ—ಇದೇ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾಹಿತಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

3 ರ ಭಿನ್ನ ಘಾತಗಳ ಸಮಗಳು (OEIS A005836): 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13... ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ನ ಅದೇ ಕಲ್ಪನೆ, ಆದರೆ 4 ಬದಲಿಗೆ 3 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಯಾವುಗಳ ಆಧಾರ-3 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ.

ಆಸಕ್ತಿಕರ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಫಿಬ್ಬಿನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (OEIS A003714): 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10... ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೈನರಿ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅನಂತರ 1 ಗಳಿಲ್ಲ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಝೆಕೆಂಡೋರ್ಫ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ: ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಗೆ ಆಧಾರ-3 ಅನಾಲಾಗ್—ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರ-3 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ 1 ಗಳಿಲ್ಲ (ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 2 ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಲಿಯಲು

ಆನ್ಲೈನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಂಗ್ರಹಾಲಯ (OEIS) ಸಾವಿರಾರು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿಟ್ಟಿದೆ. "ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರ", "ಸಮ-ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್", ಅಥವಾ "ಭಿನ್ನ ಘಾತಗಳು" �роಂಥ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ವಯಂ OEIS ಡೇಟಾಬೇಸ್ ನಲ್ಲಿ A000695 ಆಗಿದೆ.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ

ಅನ್ವಯ ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು

ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ (1921-1970) ಮತ್ತು ನಿಕೋಲಾಸ್ ಗೋವರ್ಟ್ ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ (1918-2012) ಎಂಬ ಎರಡೂ ಗಣಿತಜ್ಞರು ವಿಭಿನ್ನ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಿಂದ ಬಂದಿದ್ದರೂ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಶಾಶ್ವತ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮೋಸರ್, ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್-ಕೆನಡಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಯೋಜನಾ ಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ—ಎರ್ಡೋಶ್–ಮೋಸರ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್, ಡಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಸಂಯೋಜನಾ ಶಾಸ್ತ್ರ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಗುರುತನ್ನು ಮೂಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯಗಳು (ಈ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿ) ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇಂದೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತಿವೆ.

ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಅನ್ವಯವು 1960 ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೇಳಿದ್ದರು: ಯಾವ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಂಪುಗಳು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಸಂಭಿಂಧ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ

ಕೋಡ್ ಅನ್ವಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯ ಜನಕವನ್ನು ನೀವೇ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ಇಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯ ಪ್rogramಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ದಕ್ಷ ಅನ್ವಯಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಯು ಅನ್ವಯ ಜನಕ ಮತ್ತು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

1def moser_de_bruijn(n):
2    """ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯದ ಮೊದಲ n ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿ."""
3    sequence = []
4    for i in range(n):
5        term = 0
6        power = 1
7        temp = i
8        while temp > 0:
9            if temp & 1:  # ಕಿರಿಯ ಮಹತ್ವದ ಬಿಟ್ 1 ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
10                term += power
11            power *= 4
12            temp >>= 1  # ಮುಂದಿನ ಬಿಟ್ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ
13        sequence.append(term)
14    return sequence
15
16# ಉದಾಹರಣಾ ಬಳಕೆ:
17terms = moser_de_bruijn(20)
18print("ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯದ ಮೊದಲ 20 ಪದಗಳು:")
19print(terms)
20# ಔಟ್ಪುಟ್: [0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85, 256, 257, 260, 261]
21
22def is_moser_de_bruijn(num):
23    """ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ."""
24    while num > 0:
25        digit = num % 4
26        if digit > 1:
27            return False
28        num //= 4
29    return True
30
31# 21 ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
32print(f"21 ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ? {is_moser_de_bruijn(21)}")  # True
33print(f"22 ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ? {is_moser_de_bruijn(22)}")  # False
34

[ಉಳಿದ ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ]

ಮುಖ್ಯ ಅನ್ವಯ ಒಳನೋಟಗಳು

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅನ್ವಯಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ: ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಬೈನರಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಓದಲು ಬಿಟ್ ಆಪರೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಂತರ 4 ರ ಘಾತಗಳ ಸಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಸದಸ್ಯತ್ವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಧಾರ-4 ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ - ಅಂಕೆಗಳನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಹಿಂದಿನ ಈ ಅನ್ವಯಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾಗಿವೆ. n ಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಮಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ O(n × log n), ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪದಕ್ಕೆ O(log i) ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು O(log N) ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿವರ

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮೊದಲ 32 ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ ಹೇಗೆ ಆಧಾರ-4 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ವಿಭಜನೆ ನೇರವಾಗಿ ಬೈನರಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಪದ 21 ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ

ಪದ 21 ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಡೆಯೋಣ:

• ದಶಮಾನ ಮೌಲ್ಯ: 21
• ಆಧಾರ-4 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ: 111 (ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಬಳಸುತ್ತದೆ ✓)
• ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ: 7
• ಬೈನರಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ: 111 (7 ಕ್ಕೆ ಬೈನರಿ)
• ವಿಭಜನೆ: 21 = 16 + 4 + 1 = 4² + 4¹ + 4⁰

ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ಕಾಣಿಸಿ? ಬೈನರಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ (111) ನೇರವಾಗಿ 4 ಬಲೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ "1" ಬಿಟ್ ನಿಮಗೆ ಆ ಬಲೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಬೆಳವಣಿಗೆ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಅನುಕ್ರಮವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ—n ನೆಯ ಪದವು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ 4^(log₂(n)) ಗೆ ಅನುಪಾತಿಕ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕವಾಗಿ ಏನು?

• 10 ನೆಯ ಪದಕ್ಕೆ, ನೀವು 68 ರಲ್ಲಿ ಇರುವಿರಿ
• 20 ನೆಯ ಪದಕ್ಕೆ, 272 ಸೇರಿಸಿ
• 100 ನೆಯ ಪದಕ್ಕೆ, ನೀವು ಮಿಲಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡವಾಗುಂತೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಅಂಟಾಗಿರುವಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ—ಇದು ಬೆಳೆಯುವುದನ್ನು ಎಂದೂ ನಿಲ್ಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ

ಮೂಲ ಮೂಲಗಳು

1. OEIS A000695 - ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮ. ಇಂಟೀಜರ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸಂಶ್ಲೇಷಣಾಲಯ. ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಪಕ ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಗುಣಗಳು.

2. ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್, ಎನ್. ಜಿ. "ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ಆಧಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ." ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಮಾಥೆಮಾಟಿಕಾ ಡೆಬ್ರೆಸೆನ್, ಸಂಪುಟ 1, 1950, ಪುಟಗಳು 232-242. ಸಂಯೋಜನಾ ಆಧಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಲೇಖನ.

3. ಮೋಸರ್, ಲಿಯೋ. "ಜನಕ ಸರಣಿಗಳ ಅನ್ವಯ." ಮಾಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಗಜಿನ್, ಸಂಪುಟ 35, ಸಂಖ್ಯೆ 1, 1962, ಪುಟಗಳು 37-38. ಅನುಕ್ರಮದ ಜನಕ ಕಾಯ್ಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತ ಸಂದರ್ಭ

4. ಸ್ಟೋಲಾರ್ಸ್ಕಿ, ಕೆನೆಥ್ ಬಿ. "ಬೈನೋಮಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕ ಸಮಾನಾಂಶ ಸಂಬಂಧಿತ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಮ್ಮಿನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕ ಸಮಗ್ರಗಳು." SIAM ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಮಾಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟ 32, ಸಂಖ್ಯೆ 4, 1977, ಪುಟಗಳು 717-730. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಮ ಗುಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತದೆ.

5. ಅಲ್ಲೌಚೆ, ಜಾನ್-ಪಾಲ್, ಮತ್ತು ಜೆಫ್ರಿ ಶಾಲಿಟ್. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು: ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅನ್ವಯಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು. ಕ್ಯಾಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 2003. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಧ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳು

6. ಸಮ-ಮುಕ್ತ ಗಣಕಗಳು - ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ. ಸಂಯೋಜನಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯಾಪಕ ಗಣಿತ ಹಿನ್ನೆಲೆ.

7. ಸಂಯೋಜನಾ ಆಧಾರಗಳು - ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರಗಳಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಗಣಕಗಳ ಅವಲೋಕನ.

ಆಮೇಲೆ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯ ಯಾಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಈ ಅನ್ವಯವು ಹಲವಾರು ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಸಮ-ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಯೋಜನಾ ಕಾರ್ಯ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಶಿಕ್ಷಣ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಿಟ್ ವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮ ಆಲ್ಗೋರಿದಂ ಕಲಿಸಲು), ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾ ಆಧಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಶಿಕ್ಷಣ ಉಪಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

0 ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಇಂಡೆಕ್ಸ್ n ಅನ್ನು ಬೈನರಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ "1" ಬಿಟ್ ಅನ್ನು 4 ರ ಸಂಬಂಧಿತ ಘಾತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಂಡೆಕ್ಸ್ 5 ಕ್ಕೆ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ 101 ಇದ್ದರೆ, 4² + 4⁰ = 16 + 1 = 17 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. ಅದು 5 ನೇ ಪದ (0 ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ).

ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಏನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ?

ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣ ಇದೆ: ಅದರ ಬೇಸ್-4 ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ—2 ಅಥವಾ 3 ಇಲ್ಲ. ಇಂದು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು 4 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಘಾತ ಒಂದು ಬಾರಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ಬೈನರಿಯಂತೆ, ಆದರೆ 2 ಬದಲಿಗೆ 4 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು?

ನಿಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇಸ್-4 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 1 ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಇದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆ 2 ಅಥವಾ 3 ಇದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 21 ಬೇಸ್-4 ನಲ್ಲಿ 111 (ಎಲ್ಲಾ 1 ಮತ್ತು 0), ಆದ್ದರಿಂದ ಇದೆ. ಆದರೆ 22 ಬೇಸ್-4 ನಲ್ಲಿ 112 (2 ಹೊಂದಿದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲ.

n ನೇ ಪದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ ಏನು?

n ನೇ ಪದ M(n) ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: M(n) = Σ(b_i × 4^i), ಇಲ್ಲಿ b_i n ರ ಬೈನರಿ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ: n ಅನ್ನು ಬೈನರಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಇದ್ದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ 4 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಅನ್ವಯ ಅನಂತವಾಗಿ ಇರುವುದೇ?

ಹೌದು, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಪದಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ, ಅನ್ವಯವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ವಿರಳವಾಗುತ್ತದೆ—ನೀವು ಅನ್ವಯ ಸದಸ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೀರಿ.

ಇದು ಬೈನರಿ ಅನ್ವಯಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ?

ಬೈನರಿ ಅನ್ವಯಗಳು (2 ರ ಘಾತಗಳ ಸಮೂಹ) ಪ್ರತಿ ಸಾಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು—ಇದೇ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯವು 2 ಬದಲಿಗೆ 4 ರ ಘಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ವಿರಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮೋಸರ್-ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಯಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು?

ಲಿಯೋ ಮೋಸರ್ (1921-1970), ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್-ಕೆನಡಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಮತ್ತು ನಿಕೋಲಾಸ್ ಗೋಗರ್ಟ್ ಡೆ ಬ್ರೂಯಿನ್ (1918-2012), ಒಬ್ಬ ಡಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಶೋ

ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೀರಾ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು?

ಈ ಜನರೇಟರ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಓಡುತ್ತದೆ—ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಪನೆ, ನೋಂದಣಿ ಅಥವಾ ಕಾಯಾಂತರ ಇಲ್ಲ. ನೀವು ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವವ, ಸಂಯೋಜಕ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ಸಂಶೋಧಕ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಕುತೂಹಲಿ, ನೀವು ಕ್ಷಣಾಂಶಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಳಿಸಿ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್‌ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮ ಹೇಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗೊಳಿಸಿ.