T-검정 계산기 - 무료 온라인 통계 분석 도구

t-검정이란?

t-검정은 어떤 수 집합의 평균이 다른 평균이나 고정된 값과 유의미하게 다른지 확인하는 통계적 방법이다. 스튜던트의 t-검정이라고도 한다. 연구자들은 이를 사용해 처치군과 대조군처럼 두 집단을 비교하거나, 한 집단을 알려진 기준과 비교한다.

이 검정은 t-통계량이라는 수를 산출한다. t-통계량이 0에서 멀리 떨어져 있으면 평균이 실제로 다를 가능성이 크다는 뜻이다. t-통계량이 0에 가까우면 차이가 단순한 무작위 잡음일 수 있음을 뜻한다.

t-검정의 종류

이 계산기는 세 종류의 t-검정을 지원한다.

• 일표본 t-검정: 한 표본의 평균을 알려진 값 또는 가설로 설정한 값과 비교한다.
• 이표본 t-검정: 두 개의 독립 표본 평균을 비교한다. 예를 들어 서로 별개인 두 사람 집단을 비교할 수 있다. 이 계산기는 두 집단의 분산이 같다고 가정하지 않는 웰치의 t-검정을 사용한다.
• 대응표본 t-검정: 같은 연구 대상에서 얻은 두 측정값 집합을 비교한다. 예를 들어 처치 전후의 점수를 비교할 수 있다.

이 t-검정 계산기 사용 방법

1. 검정 유형을 선택한다: 일표본, 이표본 또는 대응표본.
2. 데이터를 입력한다.
   • 일표본: 쉼표로 구분한 표본값과 비교할 모집단 평균을 입력한다.
   • 이표본: 두 표본을 각각 쉼표로 구분한 목록으로 입력한다.
   • 대응표본: (x1,y1), (x2,y2) 등의 형식으로 쌍을 입력한다.
3. 유의수준을 설정한다. 일반적으로 0.05를 사용한다. 계산기는 이 값을 사용하지 않는다. p값을 제시하고 판단은 사용자에게 맡긴다.
4. 데이터가 충분히 입력되면 t-통계량, 자유도, p값이 즉시 표시된다. 누를 버튼은 없다.

유의성을 판단하려면 p값을 유의수준과 비교한다. p값이 유의수준보다 작거나 같으면 그 차이는 통계적으로 유의하다고 본다.

t-검정 공식

일표본 t-검정 공식

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$는 표본평균, $\mu_0$는 검정 대상 값, $s$는 표본 표준편차, $n$은 표본 크기이다. 자유도: $df = n - 1$.

이표본 t-검정 공식(웰치의 검정)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

자유도는 웰치-새터스웨이트 방정식으로 구한다.

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

이 공식으로 계산한 자유도는 대개 정수가 아니다.

대응표본 t-검정 공식

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$는 각 쌍의 차이의 평균, $s_d$는 그 차이의 표준편차, $n$은 쌍의 개수이다. 자유도: $df = n - 1$.

t-검정 계산 방법: 계산 예시

한 제조업체가 배터리의 평균 수명이 50시간이라고 주장한다. 한 검사자가 배터리 9개의 수명을 측정해 다음과 같이 기록했다. 단위는 시간이다.

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

1단계: 가설을 세운다. 귀무가설: 실제 평균은 50시간이다. 대립가설: 실제 평균은 50시간이 아니다.

2단계: 표본평균을 구한다.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

3단계: 표본 표준편차를 구한다. 평균으로부터의 편차는 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1이다. 제곱하면 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1이 되며, 합계는 30이다.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

4단계: t-통계량을 구한다.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

5단계: 자유도를 구한다.

$$df = 9 - 1 = 8$$

6단계: p값을 구한다. $t = 0$이고 $df = 8$일 때 양측 p값은 1.00이다.

7단계: 결론을 내린다. 1.00은 0.05보다 크므로 평균 배터리 수명이 50시간과 다르다고 볼 충분한 근거가 없다.

t-검정의 가정

t-검정은 몇 가지 조건이 대략적으로 충족될 때에만 신뢰할 수 있는 결과를 제공한다.

• 정규성: 특히 표본이 작을 때 데이터가 대략 종 모양의 분포를 보여야 한다.
• 독립성: 각 관측값이 다른 관측값에 영향을 주지 않아야 한다.
• 무작위 표본추출: 데이터는 연구 대상 모집단에서 무작위로 추출한 표본에서 얻어야 한다.

대응표본 t-검정에서는 이러한 조건이 원자료가 아니라 쌍 간 차이에 적용된다. 더 큰 표본, 대략 30개 초과에서는 데이터가 완벽한 종 모양이 아니더라도 중심극한정리라는 통계적 성질 때문에 t-검정이 대체로 정확성을 유지한다.

t-검정의 대안

위의 가정이 충족되지 않으면 다른 검정을 대신 사용할 수 있다.

• 맨-휘트니 U 검정: 이표본 t-검정의 비모수적 대안이다.
• 윌콕슨 부호순위 검정: 대응표본 t-검정의 비모수적 대안이다.
• 분산분석(ANOVA): 두 집단만 비교하는 대신 세 집단 이상의 평균을 한 번에 비교한다.

t-검정의 역사

윌리엄 실리 고셋은 더블린의 기네스 양조장에서 화학자로 일하던 중 1908년에 t-검정을 개발했다. 기네스는 직원들이 자신의 이름으로 연구를 발표하는 것을 허용하지 않았으므로 고셋은 "Student"라는 필명을 사용했다. 그래서 이 방법을 스튜던트의 t-검정이라고 부르는 경우가 많다. 그는 한 번에 소수의 표본만 사용해 소규모 양조 원료 묶음이 품질 기준을 충족하는지 판단하기 위해 이 검정을 만들었다.

자주 묻는 질문

t-검정은 무엇에 사용되는가?

t-검정은 표본의 평균이 다른 평균이나 고정된 값과 유의하게 다른지 확인한다. 의학, 심리학, 교육학, 경영학 연구에서 흔히 사용된다.

일표본, 이표본 또는 대응표본 t-검정은 언제 사용해야 하는가?

표본평균을 알려진 값과 비교하려면 일표본 t-검정을 사용한다. 서로 별개이고 관련이 없는 두 집단을 비교하려면 이표본 t-검정을 사용한다. 처치 전후처럼 같은 연구 대상을 두 번 측정했다면 대응표본 t-검정을 사용한다.

t-검정과 z-검정의 차이는 무엇인가?

표본이 작거나 모집단 표준편차를 모를 때는 t-검정을 사용한다. 모집단 표준편차를 알고 있는 큰 표본에는 z-검정을 사용한다. 실제로는 모집단 표준편차를 미리 아는 경우가 드물기 때문에 t-검정을 훨씬 더 자주 사용한다.

t-검정의 p값은 어떻게 해석하는가?

p값은 실제로 진정한 차이가 없다고 가정할 때 이 정도로 크거나 더 큰 차이가 관찰될 확률이다. 일반적으로 0.05 이하인 작은 p값은 관찰된 차이가 단순히 우연으로 발생했을 가능성이 낮음을 시사한다.

웰치의 t-검정이란?

웰치의 t-검정은 두 집단의 분산이 같아야 한다는 조건이 없는 이표본 t-검정의 한 형태다. 이 계산기는 이표본 검정에 항상 웰치 방법을 사용한다. 두 집단의 변동 정도가 같든 다르든 정확성을 유지하기 때문이다.

t-검정에서 자유도란 무엇인가?

자유도는 표본 크기를 바탕으로 정해지는 수로, p값을 구할 때 사용하는 t분포의 정확한 형태를 결정한다. 일표본 또는 대응표본 t-검정에서 자유도는 표본 크기에서 1을 뺀 값이다. 웰치의 이표본 t-검정은 대개 정수가 아닌 값을 산출하는 공식을 사용한다.

참고 문헌

1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH 통계 방법 e-핸드북, 섹션 1.3.6.7.2, "스튜던트 t분포의 임계값."