Laplace-Verteilung Rechner

Laplace-Verteilung Rechner

Einführung

Die Laplace-Verteilung, auch bekannt als doppelte Exponentialverteilung, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nach Pierre-Simon Laplace benannt ist. Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert (Lageparameter) und hat schwerere Schwänze im Vergleich zur Normalverteilung. Dieser Rechner ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Laplace-Verteilung für gegebene Parameter zu berechnen und ihre Form zu visualisieren.

Verwendung dieses Rechners

1. Geben Sie den Lageparameter (μ) ein, der den Mittelwert der Verteilung darstellt.
2. Geben Sie den Skalenparameter (b) ein, der die Streuung der Verteilung bestimmt (b > 0).
3. Der Rechner zeigt den Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) bei x = 0 an und zeigt ein Diagramm der Verteilung.

Hinweis: Der Skalenparameter muss strikt positiv sein (b > 0).

Formel

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Laplace-Verteilung wird gegeben durch:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Wo:

• x die Variable ist
• μ (mu) der Lageparameter ist
• b der Skalenparameter ist (b > 0)

Berechnung

Der Rechner verwendet diese Formel, um den PDF-Wert bei x = 0 basierend auf der Eingabe des Benutzers zu berechnen. Hier ist eine schrittweise Erklärung:

1. Eingaben validieren: Sicherstellen, dass der Skalenparameter b positiv ist.
2. Berechnen von |x - μ|: In diesem Fall ist es einfach |0 - μ| = |μ|.
3. Berechnen des Exponentialterms: $\exp(-|μ| / b)$
4. Berechnen des Endergebnisses: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Randfälle, die zu berücksichtigen sind:

• Wenn b ≤ 0, eine Fehlermeldung anzeigen.
• Bei sehr großen |μ| oder sehr kleinen b kann das Ergebnis extrem nah an null sein.
• Für μ = 0 erreicht die PDF ihren maximalen Wert von 1/(2b) bei x = 0.

Anwendungsfälle

Die Laplace-Verteilung hat verschiedene Anwendungen in unterschiedlichen Bereichen:

1. Signalverarbeitung: Wird zur Modellierung und Analyse von Audio- und Bildsignalen verwendet.

2. Finanzen: Angewendet zur Modellierung finanzieller Renditen und Risikobewertung.

3. Maschinelles Lernen: Verwendet im Laplace-Mechanismus für differenzielle Privatsphäre und in einigen Bayesian-Inferenzmodellen.

4. Verarbeitung natürlicher Sprache: Angewendet in Sprachmodellen und Textklassifizierungsaufgaben.

5. Geologie: Wird zur Modellierung der Verteilung von Erdbebenmagnituden (Gutenberg-Richter-Gesetz) verwendet.

Alternativen

Während die Laplace-Verteilung in vielen Szenarien nützlich ist, gibt es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in bestimmten Situationen geeigneter sein könnten:

1. Normalverteilung (Gaussian): Wird häufiger zur Modellierung natürlicher Phänomene und Messfehler verwendet.

2. Cauchy-Verteilung: Hat noch schwerere Schwänze als die Laplace-Verteilung und ist nützlich zur Modellierung von Ausreißerdaten.

3. Exponentialverteilung: Wird zur Modellierung der Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess verwendet.

4. t-Verteilung von Student: Wird häufig in Hypothesentests und zur Modellierung finanzieller Renditen verwendet.

5. Logistische Verteilung: Ähnlich in der Form zur Normalverteilung, jedoch mit schwereren Schwänzen.

Geschichte

Die Laplace-Verteilung wurde von Pierre-Simon Laplace in seinem Memoir von 1774 "Über die Wahrscheinlichkeit von Ursachen von Ereignissen" eingeführt. Die Verteilung gewann jedoch im frühen 20. Jahrhundert mit der Entwicklung der mathematischen Statistik an Bedeutung.

Wichtige Meilensteine in der Geschichte der Laplace-Verteilung:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace führt die Verteilung in seiner Arbeit über Wahrscheinlichkeitstheorie ein.
2. 1930er Jahre: Die Verteilung wird wiederentdeckt und in verschiedenen Bereichen, einschließlich Wirtschaft und Ingenieurwesen, angewendet.
3. 1960er Jahre: Die Laplace-Verteilung gewinnt an Bedeutung in der robusten Statistik als Alternative zur Normalverteilung.
4. 1990er Jahre bis heute: Zunehmende Verwendung im maschinellen Lernen, in der Signalverarbeitung und in der Finanzmodellierung.

Beispiele

Hier sind einige Codebeispiele zur Berechnung der PDF der Laplace-Verteilung:

' Excel VBA Funktion für Laplace-Verteilung PDF
Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
    If b <= 0 Then
        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
    Else
        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
    End If
End Function
' Verwendung:
' =LaplacePDF(0, 1, 2)

import math

def laplace_pdf(x, mu, b):
    if b <= 0:
        raise ValueError("Der Skalenparameter muss positiv sein")
    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)

## Beispielverwendung:
location = 1.0
scale = 2.0
x = 0.0
pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
print(f"PDF-Wert bei x={x}: {pdf_value:.6f}")

function laplacePDF(x, mu, b) {
  if (b <= 0) {
    throw new Error("Der Skalenparameter muss positiv sein");
  }
  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
}

// Beispielverwendung:
const location = 1;
const scale = 2;
const x = 0;
const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
console.log(`PDF-Wert bei x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);

public class LaplacePDF {
    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
        if (b <= 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Der Skalenparameter muss positiv sein");
        }
        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double location = 1.0;
        double scale = 2.0;
        double x = 0.0;
        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
        System.out.printf("PDF-Wert bei x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
    }
}

Diese Beispiele demonstrieren, wie man die PDF der Laplace-Verteilung für gegebene Parameter berechnet. Sie können diese Funktionen an Ihre spezifischen Bedürfnisse anpassen oder in größere statistische Analysesysteme integrieren.

Numerische Beispiele

1. Standard-Laplace-Verteilung:

   • Lage (μ) = 0
   • Skala (b) = 1
   • PDF bei x = 0: 0.500000

2. Verschobene Laplace-Verteilung:

   • Lage (μ) = 2
   • Skala (b) = 1
   • PDF bei x = 0: 0.183940

3. Skalierte Laplace-Verteilung:

   • Lage (μ) = 0
   • Skala (b) = 3
   • PDF bei x = 0: 0.166667

4. Verschobene und skalierte Laplace-Verteilung:

   • Lage (μ) = -1
   • Skala (b) = 0.5
   • PDF bei x = 0: 0.367879

Referenzen

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace-Verteilung." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Verteilung. Abgerufen am 2. Aug. 2024.