Laplace Distribution Calculator

Introduction

Laplace ਵੰਡ, ਜਿਸਨੂੰ ਡਬਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਵੰਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਪਿਯੇਰ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲੇਸ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਆਪਣੇ ਮਤਲਬ (ਸਥਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ) ਦੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਸਮਰੂਪ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਭਾਰਤੀਆਂ ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵੱਧ ਭਾਰੀ ਹਨ। ਇਹ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਲਈ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (PDF) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਆਕਰਸ਼ਕਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸ਼ਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

How to Use This Calculator

1. ਸਥਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (μ) ਦਰਜ ਕਰੋ, ਜੋ ਵੰਡ ਦੇ ਮਤਲਬ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
2. ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (b) ਦਰਜ ਕਰੋ, ਜੋ ਵੰਡ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ (b > 0)।
3. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ x = 0 'ਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (PDF) ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਏਗਾ ਅਤੇ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਏਗਾ।

ਨੋਟ: ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸਖਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ (b > 0)।

Formula

ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (PDF) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

ਜਿੱਥੇ:

• x ਉਹ ਚਲ ਹੈ
• μ (ਮਿਊ) ਸਥਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ
• b ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ (b > 0)

Calculation

ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਪਭੋਗਤਾ ਦੀ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ x = 0 'ਤੇ PDF ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈ:

1. ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ: ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਪੈਮਾਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ b ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
2. |x - μ| ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿਰਫ |0 - μ| = |μ| ਹੈ।
3. ਵਿਸ਼ਮਤਮਕ ਪਦ ਦਾ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $\exp(-|μ| / b)$
4. ਅੰਤਿਮ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

ਐਜ ਕੇਸਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਲਈ:

• ਜੇ b ≤ 0, ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਸੁਨੇਹਾ ਦਿਖਾਓ।
• ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ |μ| ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ b ਲਈ, ਨਤੀਜਾ ਸ਼ਾਇਦ ਬਹੁਤ ਹੀ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ੂਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
• μ = 0 ਲਈ, PDF x = 0 'ਤੇ 1/(2b) ਦੇ ਵੱਧਤਮ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪਹੁੰਚੇਗਾ।

Use Cases

ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ:

1. ਸਿਗਨਲ ਪ੍ਰੋਸੈਸਿੰਗ: ਆਡੀਓ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ ਸਿਗਨਲਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

2. ਫਾਇਨੈਂਸ: ਵਿੱਤੀ ਵਾਪਸੀ ਅਤੇ ਜੋਖਮ ਮੁਲਾਂਕਣ ਵਿੱਚ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

3. ਮਸ਼ੀਨ ਲਰਨਿੰਗ: ਫਰਕ ਪ੍ਰਾਈਵੇਸੀ ਲਈ ਲਾਪਲੇਸ ਮਕੈਨਿਜ਼ਮ ਅਤੇ ਕੁਝ ਬੇਈਸੀਆਨ ਇਨਫਰੈਂਸ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

4. ਨੈਚਰਲ ਲੈਂਗਵੇਜ ਪ੍ਰੋਸੈਸਿੰਗ: ਭਾਸ਼ਾ ਮਾਡਲਾਂ ਅਤੇ ਟੈਕਸਟ ਵਰਗੀਕਰਨ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

5. ਭੂਗੋਲ: ਭੂਕੰਪ ਦੀਆਂ ਮਹਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵੰਡ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਗੁਟਨਬਰਗ-ਰਿਚਟਰ ਕਾਨੂੰਨ)।

Alternatives

ਜਦੋਂ ਕਿ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਕਈ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ, ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਧੀਆ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ:

1. ਨਾਰਮਲ (ਗੌਸੀਅਨ) ਵੰਡ: ਕੁਦਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀਆਂ ਅਤੇ ਮਾਪਣ ਦੀਆਂ ਗਲਤੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜ਼ਿਆਦਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

2. ਕਾਊਸੀ ਵੰਡ: ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਨਾਲੋਂ ਵੀ ਭਾਰੀ ਭਾਰੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਆਊਟਲਾਇਰ-ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਡੇਟਾ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

3. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ਲ ਵੰਡ: ਪੋਇਸਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

4. ਸਟੂਡੈਂਟ ਦਾ t-Distribution: ਹਿਪੋਥੀਸਿਸ ਟੈਸਟਿੰਗ ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਵਾਪਸੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

5. ਲੋਜਿਸਟਿਕ ਵੰਡ: ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹੈ ਪਰ ਭਾਰੀ ਭਾਰੀਆਂ ਹਨ।

History

ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਿਯੇਰ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲੇਸ ਦੁਆਰਾ 1774 ਵਿੱਚ "ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਕਾਰਨਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ" 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਮੈਮੋਇਰ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਵੰਡ 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤੀਕ ਸਾਂਖਿਆਕੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨਾਲ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਹੋਈ।

ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਦੇ ਇਤਿਹਾਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਮੋੜ:

1. 1774: ਪਿਯੇਰ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲੇਸ ਆਪਣੀ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਹੈ।
2. 1930 ਦੇ ਦਹਾਕੇ: ਵੰਡ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਖੋਜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਰਥਿਕਤਾ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
3. 1960 ਦੇ ਦਹਾਕੇ: ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ ਨੂੰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਸਾਂਖਿਆਕੀ ਵਿੱਚ ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ ਦੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
4. 1990 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਤੋਂ ਵਰਤਮਾਨ: ਮਸ਼ੀਨ ਲਰਨਿੰਗ, ਸਿਗਨਲ ਪ੍ਰੋਸੈਸਿੰਗ, ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਵਰਤੋਂ।

Examples

ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਕੋਡ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜੋ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ PDF ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਨ:

1' Excel VBA Function for Laplace Distribution PDF
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Usage:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Scale parameter must be positive")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Example usage:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF value at x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Scale parameter must be positive");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Example usage:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF value at x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Scale parameter must be positive");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF value at x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

ਇਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਲਈ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ PDF ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਜ਼ਰੂਰਤਾਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵੱਡੇ ਸਾਂਖਿਆਕੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

Numerical Examples

1. ਮਿਆਰੀ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ:

   • ਸਥਿਤੀ (μ) = 0
   • ਪੈਮਾਨਾ (b) = 1
   • x = 0 'ਤੇ PDF: 0.500000

2. ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ:

   • ਸਥਿਤੀ (μ) = 2
   • ਪੈਮਾਨਾ (b) = 1
   • x = 0 'ਤੇ PDF: 0.183940

3. ਪੈਮਾਨਾ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ:

   • ਸਥਿਤੀ (μ) = 0
   • ਪੈਮਾਨਾ (b) = 3
   • x = 0 'ਤੇ PDF: 0.166667

4. ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਅਤੇ ਪੈਮਾਨਾ ਲਾਪਲੇਸ ਵੰਡ:

   • ਸਥਿਤੀ (μ) = -1
   • ਪੈਮਾਨਾ (b) = 0.5
   • x = 0 'ਤੇ PDF: 0.367879

References

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.