Z-tests kalkulators - Brīva statistiskās nozīmīguma rīks

Kas ir z tests?

Z tests ir statistisks tests, ar ko pārbauda, vai izlases vidējais būtiski atšķiras no zināma ģenerālkopas vidējā, ja ģenerālkopas standartnovirze jau ir zināma. Tas dod vienu skaitli — z vērtību —, kas parāda, cik standartnoviržu attālumā izlases vidējais atrodas no ģenerālkopas vidējā. Pētnieki, kvalitātes inspektori un analītiķi to izmanto, lai novērtētu, vai novērotā atšķirība, visticamāk, ir reāla vai tikai nejaušības rezultāts.

Z testa formula

Z tests aprēķina z vērtību, izmantojot šo formulu:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ ir izlases vidējais
• $\mu$ ir ģenerālkopas vidējais
• $\sigma$ ir ģenerālkopas standartnovirze
• $n$ ir izlases lielums

Formulas apakšējā daļa $\sigma / \sqrt{n}$ tiek saukta par standartkļūdu. Tā parāda, cik ļoti izlases vidējās vērtības varētu atšķirties tikai nejaušas izlases dēļ.

Kā soli pa solim aprēķināt z testu

1. Aprēķiniet izlases vidējo ($\bar{x}$), izmantojot apkopotos datus.
2. Nosakiet zināmo ģenerālkopas vidējo ($\mu$).
3. Nosakiet zināmo ģenerālkopas standartnovirzi ($\sigma$).
4. Saskaitiet izlases lielumu ($n$).
5. No $\bar{x}$ atņemiet $\mu$.
6. Lai iegūtu standartkļūdu, izdaliet $\sigma$ ar $n$ kvadrātsakni.
7. Sadaliet 5 soļa rezultātu ar 6 soļa rezultātu. Atbilde ir z vērtība.

Aprēķina piemērs

Rūpnīca apgalvo, ka tās izgatavoto skrūvju vidējais garums ir 10 cm un ģenerālkopas standartnovirze ir 0,2 cm. Inspektors izmēra 100 skrūves un konstatē, ka izlases vidējais ir 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Standartkļūda: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z vērtība: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z vērtība ir 2,5. Izlases vidējais atrodas 2,5 standartkļūdu virs ģenerālkopas vidējā.

Kā interpretēt z vērtību

Z vērtība, kas ir tuva 0, nozīmē, ka izlases vidējais ir tuvs ģenerālkopas vidējam. Liela pozitīva vai negatīva z vērtība nozīmē, ka izlases vidējais atrodas tālu no ģenerālkopas vidējā, kas liecina par reālu atšķirību, nevis nejaušību.

Biežāk izmantotās kritiskās vērtības divpusējam testam:

• α = 0,10 (90% ticamības līmenis): z = ±1,645
• α = 0,05 (95% ticamības līmenis): z = ±1,96
• α = 0,01 (99% ticamības līmenis): z = ±2,58

Ja aprēķinātā z vērtība pārsniedz izvēlētajam nozīmības līmenim atbilstošo kritisko vērtību, rezultātu sauc par statistiski nozīmīgu un nulles hipotēzi (ka atšķirības nav) noraida.

Aplūkotajā piemērā z = 2,5 pārsniedz ±1,96, tāpēc atšķirība ir statistiski nozīmīga 0,05 līmenī. Divpusējā p vērtība z = 2,5 gadījumā ir aptuveni 1,24%, kas nozīmē, ka varbūtība novērot tik lielu atšķirību, ja skrūvju patiesais vidējais garums patiešām būtu 10 cm, ir aptuveni 1 no 80.

Kad izmantot z testu

Z tests ir piemērots, ja:

• Ģenerālkopas standartnovirze ir zināma.
• Izlases lielums ir pietiekami liels, parasti lielāks par 30.
• Dati iegūti, veidojot nejaušu izlasi.
• Ģenerālkopai ir normāls sadalījums vai izlase ir pietiekami liela, lai varētu piemērot centrālo robežteorēmu.

Ja ģenerālkopas standartnovirze nav zināma vai izlase ir maza, tās vietā izmanto t testu. T tests novērtē mainīgumu, izmantojot pašu izlasi, un ņem vērā papildu nenoteiktību, ko tas rada.

Z tests un t tests

Abi testi mēra, cik tālu izlases vidējais atrodas no sagaidāmās vērtības, izsakot to standartkļūdas vienībās. Z testā pieņem, ka ģenerālkopas standartnovirze ir zināma. T tests šo vērtību novērtē pēc izlases un izmanto plašāku, no izlases lieluma atkarīgu sadalījumu, lai ņemtu vērā papildu nenoteiktību. Praksē t testu izmanto daudz biežāk, jo patiesā ģenerālkopas standartnovirze ir reti zināma.

Z testa izmantošana praksē

• Kvalitātes kontrole: pārbauda, vai izgatavoto detaļu partija atbilst mērķa specifikācijai.
• Medicīnas pētījumi: salīdzina ārstēšanas grupas vidējo rezultātu ar zināmu ģenerālkopas vērtību.
• Izglītība: salīdzina klases pārbaudes darbu rezultātus ar valsts vidējo rādītāju.
• Finanses: pārbauda, vai fonda ienesīgums atšķiras no etalona vidējā rādītāja.

Vēsture

Normālo sadalījumu, kas ir z testa pamatā, Ābrahams de Muavrē aprakstīja 1733 kā binomiālā sadalījuma aproksimāciju. Karls Frīdrihs Gauss un Pjērs Simons Laplass šo teoriju pilnveidoja 1800 gadu sākumā. Formālas hipotēžu pārbaudes metodes, tostarp z vērtību un kritisko vērtību izmantošana statistiskās nozīmības novērtēšanai, 20. gadsimta sākumā tika izstrādātas, piedaloties tādiem statistiķiem kā Ronalds Fišers, Jeržijs Neimans un Egons Pīrsons.

Ko parāda šis kalkulators

Kalkulators pieprasa četrus skaitļus: izlases vidējo, ģenerālkopas vidējo, ģenerālkopas standartnovirzi un izlases lielumu. Tas parāda z vērtību, kas noapaļota līdz četrām zīmēm aiz komata. Zem rezultāta tas attēlo standarta normālo līkni un ar vertikālu līniju atzīmē z vērtību, lai būtu redzams rezultāta novietojums sadalījumā. Līkne ir standarta normālā blīvuma funkcija $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Uz ievaddatiem attiecas divi ierobežojumi. Izlases lielumam jābūt lielākam par 0. Ģenerālkopas standartnovirzei jābūt vismaz 0,0001; mazāka izkliede palielina z vērtību līdz milzīgam skaitlim, kam nav praktiskas nozīmes. Kalkulators neuzrāda p vērtību, tāpēc izmantojiet iepriekš norādītās kritiskās vērtības vai standarta normālā sadalījuma tabulu, lai noteiktu, vai rezultāts ir statistiski nozīmīgs.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kāda ir atšķirība starp z testu un t testu?

Z testam nepieciešama zināma ģenerālkopas standartnovirze, un tas vislabāk darbojas ar lielām izlasēm. T testu izmanto, ja ģenerālkopas standartnovirze nav zināma un tā jānovērtē pēc izlases; tas darbojas gan ar mazām, gan lielām izlasēm.

Kāds izlases lielums nepieciešams z testam?

Izlases lielums, kas pārsniedz 30, ir vispārpieņemts aptuvens kritērijs. Ja tas ir mazāks, z testa rezultāti kļūst neuzticami un parasti labāk izmantot t testu.

Ko nozīmē z vērtība 2,5?

Z vērtība 2,5 nozīmē, ka izlases vidējais atrodas 2,5 standartkļūdu virs ģenerālkopas vidējā. Tas pārsniedz divpusējā testa kritisko vērtību ±1,96 pie 95% ticamības līmeņa, tāpēc atšķirība šajā līmenī ir statistiski nozīmīga. Divpusējā p vērtība z = 2,5 gadījumā ir aptuveni 1,24%.

Kas ir p vērtība z testā?

P vērtība ir varbūtība iegūt vismaz tikpat ekstrēmu rezultātu kā novērotais, ja patiešām nebūtu atšķirības no ģenerālkopas vidējā. Mazāka p vērtība ir spēcīgāks pierādījums pret nulles hipotēzi. P vērtību, kas ir mazāka par 0,05, parasti uzskata par statistiski nozīmīgu.

Kas ir nulles hipotēze z testā?

Nulles hipotēze nosaka, ka starp izlases vidējo un ģenerālkopas vidējo nav atšķirības. Z tests mēra, cik daudz pierādījumu izlase sniedz pret šo apgalvojumu.

Vai z testu var izmantot mazām izlasēm?

Tas nav ieteicams. Ja izlase ir maza vai ģenerālkopas standartnovirze nav zināma, t tests dod precīzākus rezultātus, jo ņem vērā papildu nenoteiktību, kas rodas, mainīgumu novērtējot pēc ierobežota datu apjoma.