Gamma sadalījuma kalkulators - Statistiskās analīzes rīks

Kas ir gamma sadalījuma kalkulators?

Gamma sadalījuma kalkulators pēc diviem ievaddatiem — formas parametra un mēroga parametra — nosaka gamma sadalījuma vidējo vērtību, dispersiju, asimetriju, kurtozi un modu. Tas arī attēlo sadalījuma varbūtības blīvuma funkciju kā līkni.

Kas ir gamma sadalījums?

Gamma sadalījums ir nepārtraukts varbūtību sadalījums pozitīvām vērtībām. To definē divi parametri: formas parametrs, ko parasti apzīmē ar k, un mēroga parametrs, ko parasti apzīmē ar θ (teta). Abiem jābūt lielākiem par nulli. Gamma sadalījumu izmanto tādu lielumu modelēšanai, kas nevar būt negatīvi, piemēram, kopējam nokrišņu daudzumam, apdrošināšanas atlīdzību apmēram un laikam līdz mašīnas detaļas atteicei.

Gamma sadalījuma formula

Gamma sadalījuma varbūtības blīvuma funkcija (PDF) ir:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Šeit x ir vērtība, kurā mēra blīvumu, bet Γ(k) ir gamma funkcija — faktoriāla vispārinājums skaitļiem, kas nav veseli. Formula ir spēkā tikai, ja x > 0; visur citur blīvums ir nulle.

Kā aprēķināt gamma sadalījuma raksturlielumus

Izmantojot formas parametru k un mēroga parametru θ, kalkulators nosaka:

• Vidējā vērtība: k × θ
• Dispersija: k × θ²
• Asimetrija: 2 / √k
• Kurtoze: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ, ja k ≥ 1, pretējā gadījumā 0

Asimetrija raksturo līknes nevienmērīgumu. Mazāka k vērtība rada garāku labo asti. Kurtoze raksturo astu smagumu salīdzinājumā ar normālo sadalījumu, kura kurtoze ir 3. Moda ir x vērtība, kurā līkne sasniedz maksimumu. Ja k ir mazāks par 1, blīvums palielinās, x tuvojoties 0, tāpēc iekšēja maksimuma nav un kalkulators kā modu uzrāda 0.

Aprēķina piemērs

Pieņemsim, ka formas parametrs k = 2 un mēroga parametrs θ = 3.

• Vidējā vērtība = 2 × 3 = 6
• Dispersija = 2 × 3² = 18
• Asimetrija = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtoze = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

Modas punktā, x = 3, blīvums ir f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Tiklīdz abi parametri ir ievadīti, kalkulators automātiski attēlo visu līkni.

Kā izmantot gamma sadalījuma kalkulatoru

1. Ievadiet formas parametru (k), kas ir pozitīvs skaitlis.
2. Ievadiet mēroga parametru (θ), kas ir pozitīvs skaitlis.
3. Vidējā vērtība, dispersija, asimetrija, kurtoze un moda parādās, tiklīdz abos laukos ir derīgi skaitļi. Atsevišķas aprēķina pogas nav; rezultāti tiek atjaunināti, ievadot skaitļus.
4. Diagramma zem rezultātiem rāda varbūtības blīvuma funkciju. Tā tiek zīmēta no vērtības, kas ir nedaudz lielāka par x = 0, līdz lielākajai no šīm vērtībām: trīskāršai vidējai vērtībai vai pieckāršam mēroga parametram.

Abiem parametriem jābūt galīgiem skaitļiem, kas lielāki par 0, un neviens no tiem nedrīkst būt lielāks par 1000. Tiek noraidītas arī vērtības, kas ir mazākas par aptuveni 2 × 10⁻¹⁶, jo pie šāda lieluma kopsavilkuma skaitļi vairs nav jēgpilni. Vērtība ārpus pieļaujamā diapazona rezultātu vietā rada kļūdas ziņojumu.

Kur izmanto gamma sadalījumu

Gamma sadalījums modelē daudzus reālus lielumus, kas vienmēr ir pozitīvi un bieži ir asimetriski ar garāku labo asti:

• Apdrošināšana: atlīdzību apmēri un izmaksu summas
• Meteoroloģija: kopējais nokrišņu daudzums noteiktā laikposmā
• Inženierzinātnes: laiks līdz komponenta atteicei
• Rindu teorija: gaidīšanas laiki, kas veidojas no vairākiem eksponenciāliem posmiem
• Bioloģija: gēnu ekspresijas līmeņi un sugu skaita dati

Saistītie sadalījumi

Divi labi zināmi sadalījumi ir gamma sadalījuma īpašie gadījumi:

• Eksponenciālais sadalījums: gamma sadalījums ar k = 1
• Hī kvadrāta sadalījums: gamma sadalījums ar k = n/2 un θ = 2, kur n ir brīvības pakāpju skaits

Veibula un lognormālais sadalījums ir bieži izmantotas alternatīvas pozitīvu, asimetrisku datu modelēšanai.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kādam nolūkam izmanto gamma sadalījumu? Tas modelē nepārtrauktus, pozitīvus lielumus, piemēram, gaidīšanas laikus, nokrišņu daudzumu un apdrošināšanas atlīdzības, īpaši tad, ja dati vairāk koncentrējas pie lielām vērtībām.

Kā atrod gamma sadalījuma vidējo vērtību? Formas parametru reizina ar mēroga parametru: vidējā vērtība = k × θ. Ja k = 2 un θ = 3, vidējā vērtība ir 6.

Kāda ir atšķirība starp formas un mēroga parametru? Formas parametrs (k) nosaka līknes formu, tostarp tās asimetriju. Mēroga parametrs (θ) izstiepj vai saspiež līkni gar x asi, nemainot tās pamatveidu.

Kāda ir gamma sadalījuma saistība ar eksponenciālo sadalījumu? Eksponenciālais sadalījums ir gamma sadalījums ar formas parametru k = 1.

Vai gamma sadalījumam var būt negatīvas vērtības? Nē. Tas ir definēts tikai, ja x > 0. Datiem, kuri var būt negatīvi, nepieciešams cits sadalījums, piemēram, normālais sadalījums.

Vai šis kalkulators aprēķina kumulatīvā sadalījuma funkciju? Nē. Tas aprēķina vidējo vērtību, dispersiju, asimetriju, kurtozi un modu, kā arī attēlo varbūtības blīvuma funkciju. Tas neizvada kumulatīvās varbūtības vērtības.

Literatūras saraksts

1. "Gamma distribution." Vikipēdija, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. un Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.