Gamma sadalījuma kalkulators

Ievads

Gamma sadalījums ir nepārtraukta varbūtības sadalījums, kas plaši tiek izmantots dažādās zinātnes, inženierijas un finansu jomās. To raksturo divi parametri: formas parametrs (k vai α) un mēroga parametrs (θ vai β). Šis kalkulators ļauj aprēķināt dažādas gamma sadalījuma īpašības, pamatojoties uz šiem ievades parametriem.

Formulas

Gamma sadalījuma varbūtības blīvuma funkcija (PDF) ir dota ar:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kur:

• x > 0 ir nejaušā mainīgā
• k > 0 ir formas parametrs
• θ > 0 ir mēroga parametrs
• Γ(k) ir gamma funkcija

Kumulatīvā sadalījuma funkcija (CDF) ir:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kur γ(k, x/θ) ir apakšējā nepilnīgā gamma funkcija.

Galvenās gamma sadalījuma īpašības ietver:

1. Vidējā vērtība: $E[X] = k\theta$
2. Variance: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetrija: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Kā izmantot šo kalkulatoru

1. Ievadiet formas parametrs (k vai α)
2. Ievadiet mēroga parametrs (θ vai β)
3. Noklikšķiniet uz "Aprēķināt", lai aprēķinātu dažādas gamma sadalījuma īpašības
4. Rezultāti parādīs vidējo vērtību, varianci, asimetriju, kurtosi un citu attiecīgu informāciju
5. Tiks parādīta varbūtības blīvuma funkcijas vizualizācija

Aprēķins

Kalkulators izmanto iepriekš minētās formulas, lai aprēķinātu dažādas gamma sadalījuma īpašības. Šeit ir soli pa solim skaidrojums:

1. Validēt ievades parametrus (gan k, gan θ jābūt pozitīviem)
2. Aprēķināt vidējo: $k\theta$
3. Aprēķināt varianci: $k\theta^2$
4. Aprēķināt asimetriju: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Aprēķināt kurtosi: $3 + \frac{6}{k}$
6. Aprēķināt modi: $(k-1)\theta$ gadījumā, ja k ≥ 1, citādi 0
7. Izveidot punktus PDF līknei, izmantojot iepriekš minēto formulu
8. Uzzīmēt PDF līkni

Numeriskās apsvērumi

Izmantojot gamma sadalījuma aprēķinus, jāņem vērā vairāki numeriskie apsvērumi:

1. Ļoti mazu formas parametru (k < 1) gadījumā PDF var pieiet bezgalībai, kad x tuvojas 0, kas var izraisīt numerisku nestabilitāti.
2. Lielu formas parametru gadījumā gamma funkcija Γ(k) var kļūt ļoti liela, potenciāli izraisot pārsniegumu. Šādos gadījumos ieteicams strādāt ar gamma funkcijas logaritmu.
3. Aprēķinot CDF, bieži vien ir numeriski stabilāk izmantot specializētus algoritmus nepilnīgās gamma funkcijas aprēķināšanai, nevis tiešu PDF integrāciju.
4. Ekstremālu parametru vērtību gadījumā var būt nepieciešams izmantot paplašinātas precizitātes aritmētiku, lai saglabātu precizitāti.

Lietošanas gadījumi

Gamma sadalījumam ir daudz lietojumu dažādās jomās:

1. Finanšu jomā: ienākumu sadalījumu, apdrošināšanas prasību summu un aktīvu atdeves modelēšana
2. Meteoroloģijā: nokrišņu modeļu analīze un citi ar laiku saistīti fenomeni
3. Inženierijā: uzticamības analīze un neveiksmju laika modelēšana
4. Fizikā: gaidīšanas laiku aprakstīšana starp radioaktīvā sabrukuma notikumiem
5. Bioloģijā: sugu bagātības un gēnu ekspresijas līmeņu modelēšana
6. Operāciju pētījumos: rindas teorija un krājumu pārvaldība

Alternatīvas

Lai gan gamma sadalījums ir daudzpusīgs, ir saistīti sadalījumi, kas var būt piemērotāki noteiktās situācijās:

1. Eksponenciālais sadalījums: gamma sadalījuma īpašs gadījums, kad k = 1
2. Chi-kvadrātveida sadalījums: gamma sadalījuma īpašs gadījums ar k = n/2 un θ = 2
3. Weibull sadalījums: bieži izmantots kā alternatīva uzticamības analīzē
4. Log-normālais sadalījums: vēl viena izplatīta izvēle, lai modelētu novirzītu, pozitīvu datus

Parametru novērtēšana

Strādājot ar reālās pasaules datiem, bieži ir nepieciešams novērtēt gamma sadalījuma parametrus. Bieži izmantotās metodes ietver:

1. Momentu metode: paraugu momentu vienādošana ar teorētiskajiem momentiem
2. Maksimālās varbūtības novērtēšana (MLE): parametru atrašana, kas maksimizē novēroto datu varbūtību
3. Beigu novērtēšana: iekļaujot iepriekšēju informāciju par parametriem

Hipotēžu pārbaude

Gamma sadalījums var tikt izmantots dažādās hipotēžu pārbaudēs, tostarp:

1. Labvēlības pārbaudes, lai noteiktu, vai dati seko gamma sadalījumam
2. Pārbaudes, lai noteiktu divu gamma sadalījumu mēroga parametru vienādību
3. Pārbaudes, lai noteiktu divu gamma sadalījumu formas parametru vienādību

Vēsture

Gamma sadalījumam ir bagāta vēsture matemātikā un statistikā:

• 18. gadsimts: Leonhards Eilers ieviesa gamma funkciju, kas ir cieši saistīta ar gamma sadalījumu
• 1836: Siméon Denis Poisson izmantoja gamma sadalījuma īpašu gadījumu savā darbā par varbūtību teoriju
• 1920. gadi: Ronalds Fišers popularizēja gamma sadalījuma izmantošanu statistiskajā analīzē
• 20. gadsimta vidus: gamma sadalījums kļuva plaši izmantots uzticamības inženierijā un dzīves testēšanā
• 20. gadsimta beigas līdz mūsdienām: progresi datoru jaudā ir atvieglojuši darbu ar gamma sadalījumiem dažādās lietojumprogrammās

Piemēri

Šeit ir daži koda piemēri, lai aprēķinātu gamma sadalījuma īpašības:

1' Excel VBA funkcija gamma sadalījuma PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Lietošana:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma sadalījums (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Varbūtības blīvums')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Piemēra lietošana:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Aprēķināt īpašības
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Vidējā vērtība: {mean}")
29print(f"Variace: {variance}")
30print(f"Asimetrija: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Vidējā vērtība: ${mean}`);
19    console.log(`Variace: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetrija: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Piemēra lietošana:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Zīmēt PDF (izmantojot hipotētisku zīmēšanas bibliotēku)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Šie piemēri parāda, kā aprēķināt gamma sadalījuma īpašības un vizualizēt tā varbūtības blīvuma funkciju, izmantojot dažādas programmēšanas valodas. Jūs varat pielāgot šīs funkcijas savām specifiskajām vajadzībām vai integrēt tās lielākās statistiskās analīzes sistēmās.

Atsauces

1. "Gamma sadalījums." Vikipēdija, Vikipēdijas fonds, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Piekļuve 2024. gada 2. augustā.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Nepārtrauktas vienveidīgas sadalījumi, 1. sējums (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistiskie sadalījumi. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Piezīme par gamma sadalījumu. Mēneša laika pārskats, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Gamma sadalījuma vispārinājums. Matemātiskās statistikas žurnāls, 33(3), 1187-1192.