ഹൈപ്പൊടിനൂസ് കാൽക്കുലേറ്റർ - പൈഥാഗോറസ് സിദ്ധാന്ത ഉപകരണം

കർണ്ണം കണക്കാക്കൽ

ഒരു സമകോണ ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശമായ കർണ്ണത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്താൻ കർണ്ണം കണക്കാക്കൽ ഉപകരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏത് സമകോണ ത്രികോണത്തിന്റെയും മൂന്ന് വശങ്ങളെ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമാണ് ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

കർണ്ണം എന്താണ്?

ഒരു സമകോണ ത്രികോണത്തിൽ രണ്ട് വശങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൂലയിൽ ചേരുന്നിടത്ത് ഒരു 90-ഡിഗ്രി കോണം ഉണ്ടായിരിക്കും. ആ രണ്ട് വശങ്ങളെ പാദങ്ങൾ എന്നു വിളിക്കുന്നു. സമകോണത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള മൂന്നാമത്തെ വശമാണ് കർണ്ണം. അത് എപ്പോഴും ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശമായിരിക്കും.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം

കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം രണ്ട് പാദങ്ങളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c കർണ്ണമാണ്
• a, b എന്നിവ രണ്ട് പാദങ്ങളാണ്

കർണ്ണത്തിന് പകരം അറിയാത്ത ഒരു പാദം കണ്ടെത്താൻ സൂത്രവാക്യം പുനഃക്രമീകരിക്കാം:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

ഏകദേശം 570 മുതൽ 495 വരെ ക്രി.മു. ജീവിച്ചിരുന്ന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസിന്റെ പേരിലാണ് ഈ സിദ്ധാന്തം അറിയപ്പെടുന്നത്. ഈ ബന്ധം അതിനും മുമ്പേ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ഏകദേശം 1800 ക്രി.മു. കാലത്തേതായ ബാബിലോണിയൻ മൺപലകകൾ കാണിക്കുന്നത്, പൈതഗോറസിന് ആയിരത്തിലധികം വർഷങ്ങൾ മുമ്പ് തന്നെ ബാബിലോണിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവെന്നാണ്.

കർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

കൈകൊണ്ട് കർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നാല് ഘട്ടങ്ങൾ പിന്തുടരുക.

1. A വശത്തിന്റെ നീളം വർഗമാക്കുക (അതിനെ തന്നെയുമായി ഗുണിക്കുക).
2. B വശത്തിന്റെ നീളം വർഗമാക്കുക.
3. ലഭിച്ച രണ്ട് വർഗപ്പെടുത്തിയ മൂല്യങ്ങളും കൂട്ടുക.
4. ആ തുകയുടെ വർഗമൂലം എടുക്കുക.

ഈ പേജിലെ കാൽക്കുലേറ്ററും ഇതേ നാല് ഘട്ടങ്ങളാണ് നിർവഹിക്കുന്നത്. മെനുവിൽ നിന്ന് "കർണ്ണം കണ്ടെത്തുക", "A വശം കണ്ടെത്തുക", അല്ലെങ്കിൽ "B വശം കണ്ടെത്തുക" തിരഞ്ഞെടുക്കുക, തുടർന്ന് അറിയാവുന്ന രണ്ട് നീളങ്ങൾ നൽകുക. സാധുവായ സംഖ്യകൾ നൽകിയ ഉടൻ ഫലം പുതുക്കപ്പെടുകയും രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യും.

രണ്ട് വശങ്ങൾക്കും ഇഞ്ച് അല്ലെങ്കിൽ മീറ്റർ പോലുള്ള ഒരേ അളവുകോൽ ഏകകം ഉപയോഗിക്കണം. കാൽക്കുലേറ്റർ ഏകകങ്ങൾ തമ്മിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നില്ല; അതിനാൽ അടിയിൽ നൽകിയ മൂല്യവും ഇഞ്ചിൽ നൽകിയ മൂല്യവും ഒരുമിച്ച് അർത്ഥവത്തായ ഫലം നൽകില്ല.

ഉദാഹരണ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഒരു സമകോണ ത്രികോണത്തിൽ A വശം 3 അടി (0.91 മീ.)യും B വശം 4 അടി (1.2 മീ.)യും ആണ്.

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.00 അടി (1.52 മീ.)

ഒരു മൂല സമകോണാണെന്ന് പരിശോധിക്കാൻ മരപ്പണിക്കാർ ഉപയോഗിക്കുന്ന എളുപ്പവഴിയാണ് ഈ 3-4-5 മാതൃക. ഒരു അരികിലൂടെ 3 അടി (0.91 മീ.)യും അതിന് ലംബമായ അരികിലൂടെ 4 അടി (1.2 മീ.)യും അളക്കുക. ആ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലെ വികർണ്ണ ദൂരം കൃത്യമായി 5 അടി (1.5 മീ.) ആയിരിക്കണം. ഈ മാതൃകയുടെ ഏത് ഗുണിതവും ഇതേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കും; ഉദാഹരണത്തിന് 6-8-10 അല്ലെങ്കിൽ 30-40-50.

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ദശാംശ മൂല്യങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഒരു സമകോണ ത്രികോണത്തിൽ A വശം 2.5 ഇഞ്ച് (6.35 സെ.മീ.)യും B വശം 6.8 ഇഞ്ച് (17.3 സെ.മീ.)യും ആണ്.

c = √(2.5² + 6.8²) = √(6.25 + 46.24) = √52.49 ≈ 7.24 ഇഞ്ച് (18.4 സെ.മീ.)

ടെലിവിഷന്റെയും മോണിറ്ററിന്റെയും വലുപ്പം ഈ രീതിയിലാണ് അളക്കുന്നത്. പ്രസ്താവിച്ച സ്ക്രീൻ വലുപ്പം വികർണ്ണമാണ്; സ്ക്രീനിന്റെ വീതിയും ഉയരവും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ കർണ്ണമാണത്.

അറിയാത്ത വശം കണ്ടെത്തൽ

കർണ്ണവും ഒരു പാദവും ഇതിനകം അറിയാമെങ്കിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിന് മറ്റേ പാദം കണ്ടെത്താം. "A വശം കണ്ടെത്തുക" അല്ലെങ്കിൽ "B വശം കണ്ടെത്തുക" തിരഞ്ഞെടുക്കുക, തുടർന്ന് കർണ്ണവും അറിയാവുന്ന പാദവും നൽകുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമകോണ ത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം 10 മീറ്ററും B വശം 6 മീറ്ററും ആണ്.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.00 മീറ്റർ

ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശമായതിനാൽ കർണ്ണം എപ്പോഴും ഏതൊരു പാദത്തേക്കാളും നീളം കൂടിയതായിരിക്കണം. കർണ്ണത്തിനായി നൽകിയ മൂല്യം അറിയാവുന്ന പാദത്തേക്കാൾ വലുതല്ലെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമകോണ ത്രികോണം നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ കാൽക്കുലേറ്റർ ഫലത്തിന് പകരം പിശക് കാണിക്കും.

സാധാരണ ഉപയോഗങ്ങൾ

രണ്ട് ലംബ അളവുകളിൽ നിന്ന് നേരായ വികർണ്ണ ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടിടത്തെല്ലാം പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

• നിർമാണവും മരപ്പണിയും: ഒരു ഫ്രെയിമിന്റെയോ മതിലിന്റെയോ മൂല സമകോണാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാനും മേൽക്കൂരത്തടിയുടെയോ പടിക്കെട്ടിന്റെ ചരിഞ്ഞ താങ്ങുതടിയുടെയോ നീളം കണക്കാക്കാനും.
• സർവേയിങ്: തിരശ്ചീനവും ലംബവുമായ ദൂരങ്ങളെ നേരിട്ടുള്ള ദൃശ്യരേഖാ ദൂരമാക്കി മാറ്റാനും.
• നാവിഗേഷനും കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സും: ഗ്രാഫിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലെ ദൂരസൂത്രവാക്യമായ d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളിൽ പ്രയോഗിച്ച അതേ സിദ്ധാന്തമാണ്.
• വിദ്യാഭ്യാസം: മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും പഠിക്കുന്ന ആദ്യ ജ്യാമിതീയ തെളിവുകളിൽ ഒന്നാണിത്. 3-4-5 അല്ലെങ്കിൽ 5-12-13 പോലുള്ള ലളിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിശോധിക്കാം.

ഈ സിദ്ധാന്തം സമകോണ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. 90-ഡിഗ്രി കോണമില്ലാത്ത ത്രികോണത്തിന് പകരം കോസൈൻ നിയമമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

പതിവായി ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ

കർണ്ണത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം എന്താണ്? a, b എന്നിവ സമകോണ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് പാദങ്ങളും c കർണ്ണവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ, c = √(a² + b²) ആണ് സൂത്രവാക്യം.

സമകോണില്ലാത്ത ത്രികോണങ്ങൾക്കായി ഇത് ഉപയോഗിക്കാമോ? ഇല്ല. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം സമകോണ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. 90-ഡിഗ്രി കോണമില്ലാത്ത ത്രികോണത്തിന് കോസൈൻ നിയമമാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്.

3-4-5 നിയമം എന്താണ്? ഒരു ചതുരത്തിന്റെ മൂല സമകോണാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാനുള്ള എളുപ്പവഴിയാണിത്. ഒരു വശം 3 ഏകകങ്ങളാണെങ്കിൽ, അതിനോട് ചേർന്ന ലംബവശം 4 ഏകകങ്ങളും അവയുടെ അഗ്രങ്ങൾക്കിടയിലെ വികർണ്ണം 5 ഏകകങ്ങളും അളക്കുമ്പോൾ, ആ മൂല സമകോണായിരിക്കും. 3-4-5-ന്റെ ഏത് ഗുണിതവും, ഉദാഹരണത്തിന് 6-8-10 അല്ലെങ്കിൽ 30-40-50, ഇതേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കും.

രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ അളവുകോൽ ഏകകം ഉപയോഗിക്കണമോ? അതെ. രണ്ട് പാദങ്ങളും ഒരേ ഏകകത്തിൽ നൽകണം; ഉദാഹരണത്തിന് രണ്ടും അടിയിലോ രണ്ടും മീറ്ററിലോ. അടിയും ഇഞ്ചും പോലുള്ള ഏകകങ്ങൾ കലർത്തിയാൽ ഗണിതപരമായി ശരിയായെങ്കിലും ഭൗതികമായി അർത്ഥശൂന്യമായ ഫലം ലഭിക്കും.

ചില കർണ്ണ-വശ സംയോജനങ്ങൾക്ക് കാൽക്കുലേറ്റർ പിശക് കാണിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? സമകോണ ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശം എപ്പോഴും കർണ്ണമാണ്. കർണ്ണത്തിനായി നൽകിയ മൂല്യം അറിയാവുന്ന പാദത്തേക്കാൾ വലുതല്ലെങ്കിൽ സാധുവായ സമകോണ ത്രികോണം നിലവിലില്ല; അതിനാൽ കാൽക്കുലേറ്റർ ഫലത്തിന് പകരം പിശക് നൽകുന്നു.

ഫലം എത്ര ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ കാണിക്കും? രണ്ട്. കണക്കുകൂട്ടലിനിടെ കാൽക്കുലേറ്റർ ആന്തരികമായി പൂർണ്ണ കൃത്യത നിലനിർത്തുകയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യ മാത്രം റൗണ്ട് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഇത് ദൂരസൂത്രവാക്യത്തിന് തുല്യമാണോ? അതെ. നിർദ്ദേശാങ്ക ജ്യാമിതിയിലെ d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] എന്ന ദൂരസൂത്രവാക്യം ഗ്രാഫിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ പ്രയോഗിച്ച പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമാണ്. ആ ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലെ തിരശ്ചീനവും ലംബവുമായ വിടവുകൾ സമകോണ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് പാദങ്ങളാകുന്നു.