കോണിന്റെ ചരിവുയരം

കോണിന്റെ ചരിവുയരം എന്നത് കോണിന്റെ ശിഖരത്തിൽനിന്ന്, കൂർത്ത അഗ്രത്തിൽനിന്ന്, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറയുടെ അരികിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്; ഇത് കോണിന്റെ പുറംതലത്തിലൂടെ അളക്കുന്നു. കോണിന്റെ മധ്യത്തിലൂടെ നേരെ താഴേക്ക് പോകുന്ന ഉയരത്തിൽനിന്ന് ഇത് വ്യത്യസ്തമാണ്. മറ്റ് രണ്ട് മൂല്യങ്ങളിൽനിന്ന് വൃത്താകാര ലംബകോണിന്റെ ചരിവുയരം, ആരം, അല്ലെങ്കിൽ ഉയരം ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ കണ്ടെത്തുന്നു.

ചരിവുയരം എന്താണ്?

ഒരു വൃത്താകാര ലംബകോണിന് പരന്ന വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറയും അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന് നേരെ മുകളിലുള്ള കൂർത്ത ശിഖരവുമുണ്ട്. അതിന്റെ ആകൃതി വിവരിക്കാൻ മൂന്ന് അളവുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ആരം (r) — അടിത്തറയുടെ കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് അതിന്റെ അരികിലേക്കുള്ള ദൂരം.
• ഉയരം (h) — അടിത്തറയിൽനിന്ന് ശിഖരത്തിലേക്കുള്ള നേരായ, ലംബമായ ദൂരം.
• ചരിവുയരം (l) — ശിഖരത്തിൽനിന്ന് അടിത്തറയുടെ അരികിലേക്കുള്ള ദൂരം; ഇത് ചരിഞ്ഞ പ്രതലത്തിലൂടെ അളക്കുന്നു.

ഈ മൂന്ന് നീളങ്ങൾ ഒരു മട്ടത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഉയരം ഒരു വശവും ആരം മറ്റൊരു വശവും ചരിവുയരം കർണ്ണവുമാണ്; കർണ്ണം ഏറ്റവും നീളമുള്ള വശവും മട്ടകോണിന് എതിർവശത്തുള്ളതുമാണ്.

ചരിവുയരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം

ആരം, ഉയരം, ചരിവുയരം എന്നിവ ഒരു മട്ടത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാം:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

ഇവിടെ $l$ ചരിവുയരവും, $r$ ആരവും, $h$ ഉയരവുമാണ്.

ചരിവുയരവും മറ്റൊരു മൂല്യവും അറിയാമെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് നീളങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിനായി സൂത്രവാക്യം പുനഃക്രമീകരിക്കാം.

ആരം കണ്ടെത്താൻ:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

ഉയരം കണ്ടെത്താൻ:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

ഒരു കോണിന്റെ ചരിവുയരം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

1. കോണിന്റെ ആരവും ഉയരവും അളക്കുകയോ രേഖപ്പെടുത്തുകയോ ചെയ്യുക; രണ്ടിനും ഒരേ ഏകകം ഉപയോഗിക്കണം (ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടും സെന്റിമീറ്ററിൽ).
2. ഓരോ മൂല്യത്തിന്റെയും വർഗം കണക്കാക്കിയ ശേഷം ലഭിച്ച രണ്ട് ഫലങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർക്കുക.
3. ആ തുകയുടെ വർഗമൂലം എടുക്കുക. ലഭിക്കുന്ന ഫലം അതേ ഏകകത്തിലുള്ള ചരിവുയരമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്റർ ഉത്തരം ദശാംശത്തിലെ നാല് സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഒരു കോണിന്റെ ആരം 3 ഏകകങ്ങളും ഉയരം 4 ഏകകങ്ങളുമാണ്. ചരിവുയരം കണ്ടെത്താൻ:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ ഏകകങ്ങൾ}$$

ചരിവുയരം 5 ഏകകങ്ങളാണ്.

ഇതേ ആശയം വിപരീത ദിശയിലും പ്രയോഗിക്കാം. ഒരു കോണിന്റെ ചരിവുയരം 13 ഏകകങ്ങളും ഉയരം 12 ഏകകങ്ങളുമാണ്. ആരം കണ്ടെത്താൻ:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ ഏകകങ്ങൾ}$$

ആരം 5 ഏകകങ്ങളാണ്.

സാധുവായ മൂല്യങ്ങൾ

ആരം, ഉയരം, ചരിവുയരം എന്നിവയെല്ലാം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളായിരിക്കണം. ആരം അല്ലെങ്കിൽ ഉയരം പൂജ്യമായ ഒരു കോണിന് വ്യാപ്തിയില്ല; അതിനാൽ അത് യഥാർത്ഥ ത്രിമാന ആകൃതിയല്ല.

ചരിവുയരം എല്ലായ്പ്പോഴും ആരത്തേക്കാളും ഉയരത്തേക്കാളും നീളമുള്ളതായിരിക്കണം. ഇത് പൈതാഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിൽനിന്ന് നേരിട്ട് ലഭിക്കുന്നു: ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശത്തേക്കാളും എപ്പോഴും നീളമുള്ളതാണ്. നിർദ്ദേശിച്ച ചരിവുയരം നൽകിയ ആരത്തേക്കാളോ ഉയരത്തേക്കാളോ ചെറുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ, ആ അളവുകളുള്ള സാധുവായ ഒരു കോൺ നിലവിലില്ല. അപ്പോൾ തെറ്റായ സംഖ്യ കാണിക്കുന്നതിനുപകരം കാൽക്കുലേറ്റർ ഇൻപുട്ട് അസാധുവാണെന്ന് റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യുന്നു. ടെക്സ്റ്റ് പോലുള്ള സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്ത എൻട്രികളും കാൽക്കുലേറ്ററിന് കൈകാര്യം ചെയ്യാനാകാത്തത്ര വലിയ സംഖ്യകളും ഇതേ രീതിയിൽ നിരസിക്കപ്പെടുന്നു.

ചരിവുയരം പ്രധാനമാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

കോണിന്റെ വളഞ്ഞ പാർശ്വതല വിസ്തീർണം, അതായത് അടിത്തറ ഒഴികെയുള്ള വളഞ്ഞ ഉപരിതലം, കണ്ടെത്താൻ ചരിവുയരം ഉപയോഗിക്കുന്നു; സൂത്രവാക്യം $\pi r l$ ആണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുന്നു:

• ഫണലുകൾ, പേപ്പർ കപ്പുകൾ, വിളക്കുതൊപ്പികൾ എന്നിവ നിർമ്മിക്കുന്നതിനായി ഷീറ്റ് ലോഹമോ പേപ്പറോ ശരിയായ വൃത്തഖണ്ഡ ആകൃതിയിൽ മുറിക്കൽ.
• കോണാകൃതിയിലുള്ള മേൽക്കൂരകൾ, ശിഖരങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ സൈലോകൾക്കാവശ്യമായ വസ്തുവിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കൽ.
• ത്രിമാന ജ്യാമിതിയിൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉൾപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കൽ.

പതിവായി ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ

ഒരു കോണിന്റെ ചരിവുയരം എന്താണ്? കോണിന്റെ ശിഖരത്തിൽനിന്ന് അതിന്റെ അടിത്തറയുടെ അരികിലേക്കുള്ള ദൂരമാണിത്. ഈ ദൂരം കേന്ദ്രത്തിലൂടെ നേരെ താഴേക്ക് അളക്കുന്നതല്ല, ചരിഞ്ഞ പ്രതലത്തിലൂടെയാണ് അളക്കുന്നത്.

ഒരു കോണിന്റെ ചരിവുയരം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ ഉപയോഗിക്കുക. ഇവിടെ $r$ ആരം, $h$ ഉയരം എന്നിവയാണ്. ഓരോ മൂല്യവും വർഗ്ഗീകരിച്ച് അവ കൂട്ടിച്ചേർത്ത ശേഷം വർഗമൂലം എടുക്കുക.

ചരിവുയരവും ഉയരവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? ഉയരം അടിത്തറയിൽനിന്ന് ശിഖരത്തിലേക്കുള്ള നേരായ, ലംബമായ രേഖയാണ്. ചരിവുയരം കോണിന്റെ പുറംതലത്തിലൂടെ ശിഖരത്തിൽനിന്ന് അടിത്തറയുടെ അരികിലേക്കാണ് പോകുന്നത്; അതിനാൽ ഇത് രണ്ടിൽ എപ്പോഴും നീളം കൂടിയതാണ്.

ചരിവുയരം ആരത്തേക്കാളോ ഉയരത്തേക്കാളോ ചെറുതാകുമോ? ഇല്ല. ആരവും ഉയരവും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുത്തുന്ന മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണമാണ് ചരിവുയരം; അതിനാൽ ഇത് രണ്ടിലേതിനേക്കാളും എപ്പോഴും നീളമുള്ളതാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യം ഏത് കോണിനും പ്രയോഗിക്കാമോ? വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറയും അതിന് നേരെ മുകളിൽ കേന്ദ്രമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ശിഖരവുമുള്ള വൃത്താകാര ലംബകോണിനാണ് ഇത് ബാധകമാകുന്നത്. ശിഖരം ഒരു വശത്തേക്ക് മാറിനിൽക്കുന്ന ചരിഞ്ഞ കോണിന് വ്യത്യസ്തമായ കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്.

ഏത് ഏകകങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? ഏത് ഏകകവും ഉപയോഗിക്കാം; എന്നാൽ ആരവും ഉയരവും ഒരേ ഏകകത്തിൽ നൽകണം. ഫലം അതേ ഏകകത്തിലായിരിക്കും ലഭിക്കുക.

അവലംബങ്ങൾ

1. കോൺ – വിക്കിപീഡിയ
2. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം – ഖാൻ അക്കാദമി