a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plane

Miller Indices (3,2,1) Crystal Plane

A 3D visualization of a crystal plane with Miller indices (3,2,1). The plane intercepts the x, y, and z axes at points 2, 3, and 6 respectively, resulting in Miller indices (3,2,1) after taking reciprocals and finding the smallest set of integers with the same ratio.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ ഫോർമുലയും കണക്കാക്കൽ രീതി

ഒരു ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-ന്റെ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ (h,k,l) കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങളുടെ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഗണിതീയ ഘട്ടങ്ങൾ പിന്തുടരുക:

1. പ്ലെയിൻ x, y, z ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് ആക്സിസ്-കളുമായി ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, a, b, c എന്ന മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു.
2. ഈ ഇന്റർസെപ്റ്റുകളുടെ പ്രത്യകങ്ങൾ എടുക്കുക: 1/a, 1/b, 1/c.
3. ഈ പ്രത്യകങ്ങളെ സമാന അനുപാതം നിലനിർത്തുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് മാറ്റുക.
4. ഫലമായ മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ (h,k,l) ആണ്.

ഗണിതപരമായി, ഇത് ഇങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

എവിടെ:

• (h,k,l) മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ ആണ്
• a, b, c പ്ലെയിൻ x, y, z ആക്സിസ്-കളുമായി ഉള്ള ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ ആണ്

പ്രത്യേക കേസുകൾക്കും ആചാരങ്ങൾക്കും

അവബോധിക്കേണ്ട നിരവധി പ്രത്യേക കേസുകളും ആചാരങ്ങളും ഉണ്ട്:

1. അനന്ത ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ: ഒരു പ്ലെയിൻ ഒരു ആക്സിസുമായി സമാന്തരമായാൽ, അതിന്റെ ഇന്റർസെപ്റ്റ് അനന്തമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ബന്ധപ്പെട്ട മില്ലർ ഇൻഡക്സ് ശൂന്യമായിരിക്കും.

2. നഗറ്റീവ് ഇൻഡിസുകൾ: ഒരു പ്ലെയിൻ ഒരു ആക്സിസിനെ ഉല്പന്നത്തിന്റെ നെഗറ്റീവ് ഭാഗത്ത് ഇന്റർസെപ്റ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ബന്ധപ്പെട്ട മില്ലർ ഇൻഡക്സ് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും, ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് നോട്ടേഷനിൽ സംഖ്യയുടെ മുകളിൽ ഒരു ബാർ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, (h̄kl).

3. ഭാഗിക ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ: ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ ഭാഗികമായാൽ, അവയെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതുവായ ഗുണകത്തിലൂടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നു.

4. സാധാരണവൽക്കരണം: മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും സമാന അനുപാതം നിലനിർത്തുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് കുറയ്ക്കപ്പെടുന്നു.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം: ഘട്ടം-ഘട്ടമായി

ഞങ്ങളുടെ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കാൽക്കുലേറ്റർ ഏതെങ്കിലും ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-ക്കായുള്ള മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഒരു നേരിയ മാർഗം നൽകുന്നു. മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കാൽക്കുലേറ്റർ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് ഇവിടെ കാണാം:

1. ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ നൽകുക: പ്ലെയിൻ x, y, z ആക്സിസ്-കളുമായി ഇന്റർസെപ്റ്റ് ചെയ്യുന്ന മൂല്യങ്ങൾ നൽകുക.

   • ഉല്പന്നത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗത്ത് ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾക്കായി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുക.
   • നെഗറ്റീവ് ഭാഗത്ത് ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾക്കായി നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുക.
   • ഒരു ആക്സിസുമായി സമാന്തരമായ പ്ലെയിനുകൾക്കായി "0" നൽകുക (അനന്ത ഇന്റർസെപ്റ്റ്).

2. ഫലങ്ങൾ കാണുക: കാൽക്കുലേറ്റർ സ്വയം കണക്കാക്കി നൽകിയ പ്ലെയിൻ-ക്കായുള്ള മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ (h,k,l) പ്രദർശിപ്പിക്കും.

3. പ്ലെയിൻ ദൃശ്യവൽക്കരണം: കാൽക്കുലേറ്റർ 3D ദൃശ്യവൽക്കരണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഇത് ക്രിസ്റ്റൽ ലാറ്റിസിൽ പ്ലെയിന്റെ ദിശാനിർദ്ദേശം മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

4. ഫലങ്ങൾ പകർപ്പിക്കുക: കണക്കാക്കിയ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ മറ്റ് ആപ്ലിക്കേഷനിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ "Copy to Clipboard" ബട്ടൺ ഉപയോഗിക്കുക.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കണക്കാക്കൽ ഉദാഹരണം

ഒരു ഉദാഹരണം വഴി നമുക്ക് കടക്കാം:

ഒരു പ്ലെയിൻ x, y, z ആക്സിസ്-കളിൽ 2, 3, 6 എന്ന പോയിന്റുകളിൽ ഇന്റർസെപ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.

1. ഇന്റർസെപ്റ്റുകൾ (2, 3, 6) ആണ്.
2. പ്രത്യകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു: (1/2, 1/3, 1/6).
3. സമാന അനുപാതം നിലനിർത്തുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ കണ്ടെത്താൻ, ന്യായമായ പൊതുവായ ഗുണകത്തിന്റെ (LCM of 2, 3, 6 = 6) ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുക: (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
4. അതിനാൽ, മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ (3,2,1) ആണ്.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ സയൻസ് ആൻഡ് എഞ്ചിനീയറിങ്ങിൽ ഉപയോഗങ്ങൾ

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ വിവിധ ശാസ്ത്രവും എഞ്ചിനീയറിങ്ങും മേഖലകളിൽ നിരവധി ഉപയോഗങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ കാൽക്കുലേറ്റർ അനിവാര്യമാണ്:

ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫി ആൻഡ് എക്സ്-റേ ഡിഫ്രാക്ഷൻ

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ എക്സ്-റേ ഡിഫ്രാക്ഷൻ പാറ്റേൺ-കൾ വ്യാഖ്യാനിക്കാൻ അനിവാര്യമാണ്. മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയുന്ന ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-കൾക്കിടയിലെ അകലം, എക്സ്-റേ-കൾ എങ്ങനെ ഡിഫ്രാക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു, ബ്രാഗിന്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

എവിടെ:

• $n$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്
• $\lambda$ എക്സ്-റേ-കളുടെ തരംഗദൈർഘ്യം
• $d_{hkl}$ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ (h,k,l) ഉള്ള പ്ലെയിൻ-കൾക്കിടയിലെ അകലം
• $\theta$ പ്രവേശന കോണാണ്

മെറ്റീരിയൽ സയൻസ് ആൻഡ് എഞ്ചിനീയറിങ്ങ്

1. സർഫേസ് എനർജി വിശകലനം: വ്യത്യസ്ത ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് പ്ലെയിൻ-കൾക്ക് വ്യത്യസ്ത സർഫേസ് എനർജികൾ ഉണ്ട്, ഇത് ക്രിസ്റ്റൽ വളർച്ച, കാറ്റലിസിസ്, അടുക്കൽ എന്നിവയെ ബാധിക്കുന്നു.

2. മെക്കാനിക്കൽ ഗുണങ്ങൾ: ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-കളുടെ ദിശാനിർദ്ദേശം സ്ലിപ്പ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, ക്ലീവേജ് പ്ലെയിൻ-കൾ, തകർച്ച പെരുമാറ്റം എന്നിവ പോലുള്ള മെക്കാനിക്കൽ ഗുണങ്ങളെ ബാധിക്കുന്നു.

3. സെമികണ്ടക്ടർ നിർമ്മാണം: സെമികണ്ടക്ടർ നിർമ്മാണത്തിൽ, പ്രത്യേക ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-കൾ ഇലക്ട്രോണിക് ഗുണങ്ങൾ കാരണം എപിറ്റാക്സിയൽ വളർച്ചയ്ക്കും ഉപകരണം നിർമ്മാണത്തിനും തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു.

4. ടെക്സ്ചർ വിശകലനം: മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ പോളിക്രിസ്റ്റലിന്‍റെ മെറ്റീരിയലുകളിൽ മുൻഗണനയുള്ള ദിശകൾ (ടെക്സ്ചർ) വിശകലനം ചെയ്യാൻ സഹായിക്കുന്നു, ഇത് അവയുടെ ഭൗതിക ഗുണങ്ങളെ ബാധിക്കുന്നു.

ഖനിജശാസ്ത്രം ആൻഡ് ഭൂശാസ്ത്രം

ഭൂശാസ്ത്രജ്ഞർ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഖനിജങ്ങളിൽ ക്രിസ്റ്റൽ മുഖങ്ങൾ, ക്ലീവേജ് പ്ലെയിൻ-കൾ എന്നിവ വിവരണം നൽകുന്നു, ഇത് തിരിച്ചറിയാനും രൂപീകരണ സാഹചര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാനും സഹായിക്കുന്നു.

വിദ്യാഭ്യാസ ഉപയോഗങ്ങൾ

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ മെറ്റീരിയൽ സയൻസ്, ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫി, സോളിഡ്-സ്റ്റേറ്റ് ഫിസിക്സ് കോഴ്സുകളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളാണ്, അതിനാൽ ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ ഒരു വിലപ്പെട്ട വിദ്യാഭ്യാസ ഉപകരണം ആണ്.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾക്കുള്ള പ്രത്യയശാസ്ത്രങ്ങൾ

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ ക്രിസ്റ്റൽ പ്ലെയിൻ-കൾക്കായുള്ള ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നോട്ടേഷൻ ആണെങ്കിലും, നിരവധി പ്രത്യയശാസ്ത്രങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്:

1. മില്ലർ-ബ്രാവൈസ് ഇൻഡിസുകൾ: ഹെക്സഗണൽ ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കായുള്ള നാല്-ഇൻഡക്സ് നോട്ടേഷൻ (h,k,i,l), ഇവിടെ i = -(h+k). ഈ നോട്ടേഷൻ ഹെക്സഗണൽ ഘടനകളുടെ സമമിതിയെ കൂടുതൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

2. വെബർ സിംബോളുകൾ: പ്രധാനമായും പഴയ സാഹിത്യത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് ക്യൂബിക് ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ ദിശകൾ വിവരണം നൽകാൻ.

3. ഡയറക്ട് ലാറ്റീസ് വെക്ടറുകൾ: ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, പ്ലെയിൻ-കൾ മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾക്കുപകരം ഡയറക്ട് ലാറ്റീസ് വെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവരണം നൽകുന്നു.

4. വൈക്കോഫ് സ്ഥാനങ്ങൾ: ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനകളിൽ ആറ്റം സ്ഥാനങ്ങൾ വിവരണം നൽകാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, പ്ലെയിൻ-കൾക്കല്ല.

ഈ പ്രത്യയശാസ്ത്രങ്ങൾക്കു മുകളിൽ, മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ അവരുടെ ലളിതത്വവും എല്ലാ ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള സർവദേശീയ പ്രയോഗവും കാരണം മാനദണ്ഡമായ നോട്ടേഷനായി തുടരുന്നു.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകളുടെ ചരിത്രം

മില്ലർ ഇൻഡിസുകൾ സിസ്റ്റം ബ്രിട്ടീഷ് ഖനിജശാസ്ത്രജ്ഞനും ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫറുമായ വില്യം ഹലോവസ് മില്ലർ 1839-ൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ്, "A Treatise on Crystallography" എന്ന തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. മില്ലറിന്റെ നോട്ടേഷൻ മുൻകാലത്തെ ഓഗസ്റ്റ് ബ്രാവൈസ് എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ സമാന്തര പ്ലെയിൻ-കളുടെ പ്രതിനിധാനം കൂടുതൽ മനോഹരവും ഗണിതപരമായി സുസ്ഥിരവുമായ സമീപനം നൽകുന്നു.

മില്ലറിന്റെ സിസ്റ്റത്തിന് മുമ്പ്, ക്രിസ്റ്റൽ മുഖങ്ങൾ വിവരണം നൽകാൻ വിവിധ നോട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, അതിൽ വൈസ്സ് പാരാമീറ്ററുകളും നോമാൻ സിംബോളുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. മില്ലറിന്റെ നവീകരണം ഇന്റർസെപ്റ്റുകളുടെ പ്രത്യകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്, ഇത് നിരവധി ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് കണക്കുകൾ ലളിതമാക്കുകയും സമാന്തര പ്ലെയിൻ-കളുടെ പ്രതിനിധാനം കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുകയും ചെയ്തു.

മില്ലർ ഇൻഡിസുകളുടെ സ്വീകരണം 1912-ൽ മാക്‌സ് വോൺ ലൗയു