गामा वितरण कॅल्क्युलेटर - सांख्यिकीय विश्लेषण साधन

गॅमा वितरण कॅल्क्युलेटर म्हणजे काय?

गॅमा वितरण कॅल्क्युलेटर दोन इनपुटमधून गॅमा वितरणाची सरासरी, विचरण, विषमता, कुर्टोसिस आणि बहुलक शोधतो: आकारमान पॅरामीटर आणि स्केल पॅरामीटर. तो वितरणाचे संभाव्यता घनता फलन वक्राच्या रूपातही रेखाटतो.

गॅमा वितरण म्हणजे काय?

गॅमा वितरण हे धनात्मक मूल्यांसाठीचे सातत्यपूर्ण संभाव्यता वितरण आहे. ते दोन पॅरामीटरने परिभाषित केले जाते: आकारमान पॅरामीटर, जो सामान्यतः k असा लिहिला जातो, आणि स्केल पॅरामीटर, जो सामान्यतः θ (थीटा) असा लिहिला जातो. दोन्ही शून्यापेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे. पर्जन्यमानाची एकूण मात्रा, विमा दाव्यांची रक्कम आणि यंत्राच्या एखाद्या भागाच्या बिघाडापर्यंतचा कालावधी यांसारख्या ऋण नसणाऱ्या राशींचे मॉडेल करण्यासाठी गॅमा वितरण वापरले जाते.

गॅमा वितरणाचे सूत्र

गॅमा वितरणाचे संभाव्यता घनता फलन (PDF) असे आहे:

f(x; k, θ) = x^(k−१) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

येथे x हे घनता मोजली जाणारी किंमत आहे आणि Γ(k) हे गॅमा फलन आहे, जे पूर्णांक नसलेल्या संख्यांसाठी फॅक्टोरियलचे सामान्यीकरण आहे. हे सूत्र केवळ x > ० साठी लागू होते; इतर सर्व ठिकाणी घनता शून्य असते.

गॅमा वितरणाचे गुणधर्म कसे मोजावेत

आकारमान पॅरामीटर k आणि स्केल पॅरामीटर θ यांपासून कॅल्क्युलेटर पुढील राशी शोधतो:

• सरासरी: k × θ
• विचरण: k × θ²
• विषमता: २ / √k
• कुर्टोसिस: ३ + ६ / k
• बहुलक: k ≥ १ असताना (k − १) × θ, अन्यथा ०

विषमता वक्र किती एका बाजूला झुकलेला आहे हे मोजते. k चे लहान मूल्य उजवीकडील लांब शेपटी निर्माण करते. सामान्य वितरणाच्या तुलनेत शेपट्या किती जड आहेत हे कुर्टोसिस मोजते; सामान्य वितरणाचा कुर्टोसिस ३ असतो. बहुलक म्हणजे वक्र सर्वोच्च बिंदूवर पोहोचते ते x-मूल्य. k चे मूल्य १ पेक्षा कमी असताना x ० च्या जवळ जातो तसे घनता वाढतच राहते. त्यामुळे अंतर्गत सर्वोच्च बिंदू नसतो आणि कॅल्क्युलेटर बहुलकाचे मूल्य ० दाखवतो.

सोडवलेले उदाहरण

आकारमान पॅरामीटर k = २ आणि स्केल पॅरामीटर θ = ३ घ्या.

• सरासरी = २ × ३ = ६
• विचरण = २ × ३² = १८
• विषमता = २ / √२ ≈ १.४१४२
• कुर्टोसिस = ३ + ६ / २ = ६
• बहुलक = (२ − १) × ३ = ३

बहुलकावर x = ३ असताना घनता f(३; २, ३) = ३¹ · e^(−१) / (३² · Γ(२)) = (३ × ०.३६७९) / ९ ≈ ०.१२२६ इतकी येते. दोन्ही पॅरामीटर नोंदवल्यानंतर कॅल्क्युलेटर आपोआप संपूर्ण वक्राचा आलेख काढतो.

गॅमा वितरण कॅल्क्युलेटर कसे वापरावे

1. आकारमान पॅरामीटर (k), म्हणजेच धनात्मक संख्या, नोंदवा.
2. स्केल पॅरामीटर (θ), म्हणजेच धनात्मक संख्या, नोंदवा.
3. दोन्ही क्षेत्रांत वैध संख्या भरताच सरासरी, विचरण, विषमता, कुर्टोसिस आणि बहुलक दिसतात. स्वतंत्र गणना बटण नाही; संख्या नोंदवल्या जाताच परिणाम अद्ययावत होतात.
4. परिणामांखालील आलेख संभाव्यता घनता फलन दाखवतो. तो x = ० पेक्षा किंचित मोठ्या मूल्यापासून सुरू होऊन, सरासरीच्या तीन पट किंवा स्केल पॅरामीटरच्या पाच पट यांपैकी जे मोठे असेल तेथपर्यंत रेखाटला जातो.

दोन्ही पॅरामीटर ० पेक्षा मोठ्या, परिमित संख्या असणे आवश्यक आहे आणि कोणतेही पॅरामीटर १००० पेक्षा मोठे नसावे. सुमारे 2 × 10⁻¹⁶ पेक्षा लहान मूल्येही नाकारली जातात, कारण त्या आकारमानावर सारांशातील संख्या अर्थपूर्ण राहत नाहीत. स्वीकारलेल्या मर्यादेबाहेरील मूल्य दिल्यास परिणामांऐवजी त्रुटी संदेश दिसतो.

गॅमा वितरणाचा वापर कुठे केला जातो

गॅमा वितरण नेहमी धनात्मक आणि अनेकदा उजवीकडे विषम असलेल्या अनेक वास्तव राशींचे मॉडेल करते:

• विमा: दाव्यांच्या रकमा आणि भरपाईच्या रकमा
• हवामानशास्त्र: निश्चित कालावधीतील पर्जन्यमानाची एकूण मात्रा
• अभियांत्रिकी: एखादा घटक बिघडेपर्यंतचा कालावधी
• रांगा सिद्धांत: अनेक घातांकीय टप्प्यांनी बनलेल्या प्रतीक्षा वेळा
• जीवशास्त्र: जनुक अभिव्यक्तीची पातळी आणि प्रजाती-संख्येची आकडेवारी

संबंधित वितरणे

दोन प्रसिद्ध वितरणे ही गॅमा वितरणाची विशेष प्रकरणे आहेत:

• घातांकीय वितरण: k = १ असलेले गॅमा वितरण
• काई-वर्ग वितरण: k = n/2 आणि θ = २ असलेले गॅमा वितरण, येथे n म्हणजे स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या

धनात्मक, विषम आकडेवारीचे मॉडेल करण्यासाठी वायबुल आणि लॉग-सामान्य वितरणे हे सामान्य पर्याय आहेत.

वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न

गॅमा वितरणाचा वापर कशासाठी केला जातो? हे प्रतीक्षा वेळा, पर्जन्यमान आणि विमा दाव्यांसारख्या सातत्यपूर्ण, धनात्मक राशींचे मॉडेल करते, विशेषतः जेव्हा आकडेवारी मोठ्या मूल्यांकडे झुकते.

गॅमा वितरणाची सरासरी कशी शोधतात? आकारमान पॅरामीटरचा स्केल पॅरामीटरने गुणाकार करा: सरासरी = k × θ. k = २ आणि θ = ३ असल्यास सरासरी ६ असते.

आकारमान आणि स्केल पॅरामीटरमध्ये काय फरक आहे? आकारमान पॅरामीटर (k) वक्राचा आकार, त्यातील विषमतेसह, नियंत्रित करतो. स्केल पॅरामीटर (θ) वक्राचा मूलभूत आकार न बदलता x-अक्षाच्या दिशेने तो ताणतो किंवा संकुचित करतो.

गॅमा वितरणाचा घातांकीय वितरणाशी काय संबंध आहे? आकारमान पॅरामीटर k = १ असलेले गॅमा वितरण म्हणजे घातांकीय वितरण.

गॅमा वितरण ऋण मूल्ये घेऊ शकते का? नाही. ते केवळ x > ० साठी परिभाषित केलेले आहे. ऋण मूल्ये असू शकणाऱ्या आकडेवारीसाठी सामान्य वितरणासारखे वेगळे वितरण आवश्यक आहे.

हा कॅल्क्युलेटर संचयी वितरण फलन मोजतो का? नाही. तो सरासरी, विचरण, विषमता, कुर्टोसिस आणि बहुलक मोजतो आणि संभाव्यता घनता फलनाचा आलेख काढतो. तो संचयी संभाव्यतेची मूल्ये देत नाही.

संदर्भ

1. "Gamma distribution." विकिपीडिया, विकिमीडिया फाउंडेशन. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (१९९४). Continuous Univariate Distributions, Volume १. John Wiley & Sons.