गॅमा वितरण कॅल्क्युलेटर

परिचय

गॅमा वितरण हे एक सतत संभाव्यता वितरण आहे जे विज्ञान, अभियांत्रिकी आणि वित्ताच्या विविध क्षेत्रांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते. हे दोन पॅरामीटर्सने वर्णन केले जाते: आकार पॅरामीटर (k किंवा α) आणि स्केल पॅरामीटर (θ किंवा β). हा कॅल्क्युलेटर तुम्हाला या इनपुट पॅरामीटर्सच्या आधारे गॅमा वितरणाच्या विविध गुणधर्मांची गणना करण्याची परवानगी देतो.

सूत्र

गॅमा वितरणाचा संभाव्यता घनता कार्य (PDF) खालीलप्रमाणे दिला आहे:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

जिथे:

• x > 0 हा यादृच्छिक चल आहे
• k > 0 हा आकार पॅरामीटर आहे
• θ > 0 हा स्केल पॅरामीटर आहे
• Γ(k) हा गॅमा फंक्शन आहे

संचयी वितरण कार्य (CDF) आहे:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

जिथे γ(k, x/θ) हा कमी अपूर्ण गॅमा फंक्शन आहे.

गॅमा वितरणाची मुख्य गुणधर्मे खालीलप्रमाणे आहेत:

1. अर्थ: $E[X] = k\theta$
2. विविधता: $Var[X] = k\theta^2$
3. असमानता: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. कर्टोसिस: $3 + \frac{6}{k}$

या कॅल्क्युलेटरचा वापर कसा करावा

1. आकार पॅरामीटर (k किंवा α) प्रविष्ट करा
2. स्केल पॅरामीटर (θ किंवा β) प्रविष्ट करा
3. "गणना करा" वर क्लिक करा जेणेकरून गॅमा वितरणाचे विविध गुणधर्म गणना करता येतील
4. परिणामांमध्ये अर्थ, विविधता, असमानता, कर्टोसिस आणि इतर संबंधित माहिती प्रदर्शित केली जाईल
5. संभाव्यता घनता कार्याचे एक दृश्य दाखवले जाईल

गणना

हा कॅल्क्युलेटर वरील सूत्रांचा वापर करून गॅमा वितरणाचे विविध गुणधर्म गणना करतो. येथे एक टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरण आहे:

1. इनपुट पॅरामीटर्सची वैधता तपासा (k आणि θ दोन्ही सकारात्मक असणे आवश्यक आहे)
2. अर्थाची गणना करा: $k\theta$
3. विविधतेची गणना करा: $k\theta^2$
4. असमानतेची गणना करा: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. कर्टोसिसची गणना करा: $3 + \frac{6}{k}$
6. मोडची गणना करा: $(k-1)\theta$ साठी k ≥ 1, अन्यथा 0
7. वरील दिलेल्या सूत्राचा वापर करून PDF वक्रासाठी बिंदू तयार करा
8. PDF वक्राचे प्लॉट करा

संख्यात्मक विचार

गॅमा वितरणाच्या गणनांचा कार्यान्वयन करताना, अनेक संख्यात्मक विचारांचा विचार केला पाहिजे:

1. खूप लहान आकार पॅरामीटर्ससाठी (k < 1), PDF x 0 च्या जवळ जाताना अनंतता जवळ जातो, ज्यामुळे संख्यात्मक अस्थिरता होऊ शकते.
2. मोठ्या आकार पॅरामीटर्ससाठी, गॅमा फंक्शन Γ(k) खूप मोठा होऊ शकतो, ज्यामुळे ओव्हरफ्लो होऊ शकतो. अशा परिस्थितीत, गॅमा फंक्शनच्या लॉगरिदमसह काम करणे शिफारसीय आहे.
3. CDFची गणना करताना, PDF च्या थेट समाकलनाऐवजी अपूर्ण गॅमा फंक्शनसाठी विशेषित अल्गोरिदम वापरणे अधिक संख्यात्मक स्थिर असते.
4. अत्यधिक पॅरामीटर मूल्यांसाठी, अचूकता राखण्यासाठी विस्तारित अचूकता अंकगणित वापरण्याची आवश्यकता असू शकते.

वापर प्रकरणे

गॅमा वितरणाचे विविध क्षेत्रांमध्ये अनेक अनुप्रयोग आहेत:

1. वित्त: उत्पन्न वितरण, विमा दाव्यांची रक्कम, आणि मालमत्तेच्या परताव्यांचे मॉडेलिंग
2. हवामानशास्त्र: पाऊस वितरणाचे विश्लेषण आणि इतर हवामान-संबंधित घटना
3. अभियांत्रिकी: विश्वसनीयता विश्लेषण आणि अपयश वेळेचे मॉडेलिंग
4. भौतिकशास्त्र: रेडियोधर्मी विघटन घटनांमधील प्रतीक्षा वेळांचे वर्णन
5. जीवशास्त्र: प्रजातींच्या प्रचुरतेचे आणि जीन व्यक्तिमत्व स्तरांचे मॉडेलिंग
6. ऑपरेशन्स संशोधन: क्यूइंग थिओरी आणि इन्व्हेंटरी व्यवस्थापन

पर्याय

गॅमा वितरण बहुपरकार आहे, तरीही काही विशिष्ट परिस्थितीत अधिक योग्य असलेले संबंधित वितरणे आहेत:

1. एक्स्पोनेंशियल वितरण: जेव्हा k = 1 असते तेव्हा गॅमा वितरणाचा एक विशेष केस
2. ची-स्क्वेर्ड वितरण: जेव्हा k = n/2 आणि θ = 2 असते तेव्हा गॅमा वितरणाचा एक विशेष केस
3. वेइबुल वितरण: विश्वसनीयता विश्लेषणात पर्यायी म्हणून वापरले जाते
4. लॉग-नॉर्मल वितरण: वक्र, सकारात्मक डेटा मॉडेलिंगसाठी आणखी एक सामान्य निवड

पॅरामीटर अंदाज

वास्तविक जगातील डेटा वापरताना, गॅमा वितरणाचे पॅरामीटर्स अंदाज लावणे आवश्यक असते. सामान्य पद्धतींमध्ये समाविष्ट आहेत:

1. क्षणांची पद्धत: नमुना क्षणांना सैद्धांतिक क्षणांशी समरूप करणे
2. जास्तीत जास्त संभाव्यता अंदाज (MLE): डेटा पाहण्याची संभाव्यता वाढविणारे पॅरामीटर्स शोधणे
3. बायेसियन अंदाज: पॅरामीटर्सबद्दलच्या पूर्वज्ञानाचा समावेश करणे

हायपॉथेसिस चाचणी

गॅमा वितरण विविध हायपॉथेसिस चाचण्या मध्ये वापरले जाऊ शकते, ज्यामध्ये समाविष्ट आहे:

1. डेटा गॅमा वितरणाचे अनुसरण करतो का हे ठरवण्यासाठी चांगलेपणाची चाचणी
2. दोन गॅमा वितरणांमधील स्केल पॅरामीटर्सची समानता चाचणी
3. दोन गॅमा वितरणांमधील आकार पॅरामीटर्सची समानता चाचणी

इतिहास

गॅमा वितरणाचे गणित आणि सांख्यिकीमध्ये एक समृद्ध इतिहास आहे:

• 18व्या शतक: लिओनहार्ड यूलरने गॅमा फंक्शनची ओळख करून दिली, जी गॅमा वितरणाशी जवळून संबंधित आहे
• 1836: सिमेऑन डेनिस पोइसनने संभाव्यता सिद्धांतावर आपल्या कामात गॅमा वितरणाचा एक विशेष केस वापरला
• 1920च्या दशकात: रोनाल्ड फिशरने सांख्यिकी विश्लेषणात गॅमा वितरणाचा वापर लोकप्रिय केला
• 20व्या शतकाच्या मध्यभागी: गॅमा वितरण विश्वसनीयता अभियांत्रिकी आणि जीवन चाचणीमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाऊ लागले
• 20व्या शतकाच्या उत्तरार्धात ते वर्तमान: संगणकीय शक्तीमध्ये वाढीमुळे विविध अनुप्रयोगांमध्ये गॅमा वितरणावर काम करणे सोपे झाले आहे

उदाहरणे

गॅमा वितरणाच्या गुणधर्मांची गणना करण्यासाठी येथे काही कोड उदाहरणे आहेत:

1' Excel VBA फंक्शन गॅमा वितरण PDF साठी
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' वापर:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'गॅमा वितरण (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('संभाव्यता घनता')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## उदाहरण वापर:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## गुणधर्मांची गणना करा
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"अर्थ: {mean}")
29print(f"विविधता: {variance}")
30print(f"असमानता: {skewness}")
31print(f"कर्टोसिस: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`अर्थ: ${mean}`);
19    console.log(`विविधता: ${variance}`);
20    console.log(`असमानता: ${skewness}`);
21    console.log(`कर्टोसिस: ${kurtosis}`);
22}
23
24// उदाहरण वापर:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF प्लॉट करा (एक काल्पनिक प्लॉटिंग लायब्ररीचा वापर करून)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

हे उदाहरणे गॅमा वितरणाच्या गुणधर्मांची गणना करण्यासाठी आणि विविध प्रोग्रामिंग भाषांचा वापर करून संभाव्यता घनता कार्याचे दृश्य दर्शविण्यासाठी कसे वापरावे हे दर्शवतात. तुम्ही या फंक्शन्सना तुमच्या विशिष्ट गरजांनुसार अनुकूलित करू शकता किंवा त्यांना मोठ्या सांख्यिकी विश्लेषण प्रणालींमध्ये समाकलित करू शकता.

संदर्भ

1. "गॅमा वितरण." विकिपीडिया, विकिमीडिया फाउंडेशन, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2 ऑगस्ट 2024 रोजी प्रवेश केला.
2. जॉन्सन, एन. एल., कोट्झ, एस., & बालकृष्णन, एन. (1994). सतत एककृत वितरण, खंड 1 (खंड 1). जॉन विले आणि पुत्र.
3. फोर्ब्स, सी., इव्हान्स, एम., हेस्टिंग्ज, एन., & पीकॉक, बी. (2011). सांख्यिकी वितरण. जॉन विले आणि पुत्र.
4. थॉम, एच. सी. एस. (1958). गॅमा वितरणावर एक नोट. मासिक हवामान पुनरावलोकन, 86(4), 117-122.
5. स्टेसी, ई. डब्ल्यू. (1962). गॅमा वितरणाचे एक सामान्यीकरण. द अन्नल्स ऑफ मॅथेमॅटिकल स्टॅटिस्टिक्स, 33(3), 1187-1192.