लाप्लास वितरण गणक

परिचय

लाप्लास वितरण, ज्याला डबल एक्स्पोनेंशियल वितरण असेही म्हणतात, हा एक सततचा संभाव्य वितरण आहे ज्याचे नाव पियरे-सायमन लाप्लास यांच्या नावावर ठेवले गेले आहे. हे वितरण त्याच्या अर्थाभोवती सममित आहे (स्थान पॅरामीटर) आणि सामान्य वितरणाच्या तुलनेत जड टोकांमुळे ओळखले जाते. हा गणक तुम्हाला दिलेल्या पॅरामीटर्ससाठी लाप्लास वितरणाचा संभाव्य घनता कार्य (PDF) गणना करण्यास आणि त्याचा आकार दृश्यात दाखविण्यास अनुमती देतो.

या गणकाचा वापर कसा करावा

1. स्थान पॅरामीटर (μ) प्रविष्ट करा, जो वितरणाचा अर्थ दर्शवितो.
2. स्केल पॅरामीटर (b) प्रविष्ट करा, जो वितरणाचा प्रसार निश्चित करतो (b > 0).
3. गणक x = 0 वर संभाव्य घनता कार्य (PDF) मूल्य दर्शवेल आणि वितरणाचा ग्राफ दर्शवेल.

टीप: स्केल पॅरामीटर कठोरपणे सकारात्मक असावा (b > 0).

सूत्र

लाप्लास वितरणाचा संभाव्य घनता कार्य (PDF) खालीलप्रमाणे दिला जातो:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

जिथे:

• x हा चल आहे
• μ (म्यू) हा स्थान पॅरामीटर आहे
• b हा स्केल पॅरामीटर आहे (b > 0)

गणना

गणक वापरकर्त्याच्या इनपुटवर आधारित x = 0 वर PDF मूल्य गणना करण्यासाठी या सूत्राचा वापर करतो. येथे एक टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरण दिले आहे:

1. इनपुटची पडताळणी करा: स्केल पॅरामीटर b सकारात्मक आहे याची खात्री करा.
2. |x - μ| गणना करा: या प्रकरणात, हे फक्त |0 - μ| = |μ| आहे.
3. एक्स्पोनेंशियल टर्मची गणना करा: $\exp(-|μ| / b)$
4. अंतिम परिणामाची गणना करा: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

कडवट प्रकरणे विचारात घेण्यासारखी:

• जर b ≤ 0 असेल, तर एक त्रुटी संदेश दर्शवा.
• खूप मोठ्या |μ| किंवा खूप लहान b साठी, परिणाम अत्यंत शून्याच्या जवळ असू शकतो.
• μ = 0 साठी, PDF x = 0 वर 1/(2b) च्या उच्चतम मूल्यावर पोहोचेल.

वापर प्रकरणे

लाप्लास वितरणाचे विविध क्षेत्रांमध्ये अनेक अनुप्रयोग आहेत:

1. सिग्नल प्रक्रिया: ऑडिओ आणि इमेज सिग्नलचे मॉडेलिंग आणि विश्लेषण करण्यासाठी वापरले जाते.

2. वित्त: वित्तीय परतावा आणि जोखमीच्या मूल्यमापनामध्ये मॉडेलिंगसाठी वापरले जाते.

3. मशीन लर्निंग: भिन्न गोपनीयतेसाठी लाप्लास यांत्रिकीमध्ये आणि काही बायेसियन अनुमान मॉडेलमध्ये वापरले जाते.

4. नैसर्गिक भाषा प्रक्रिया: भाषा मॉडेल आणि मजकूर वर्गीकरण कार्यात लागू केले जाते.

5. भूविज्ञान: भूकंपाच्या तीव्रतेचे वितरण मॉडेलिंगमध्ये वापरले जाते (गुटेनबर्ग-रिच्टर कायदा).

पर्याय

जरी लाप्लास वितरण अनेक परिस्थितींमध्ये उपयुक्त आहे, तरी काही परिस्थितींमध्ये इतर संभाव्य वितरण अधिक योग्य असू शकतात:

1. सामान्य (गॉसियन) वितरण: नैसर्गिक घटना आणि मापन त्रुटींचे मॉडेलिंग करण्यासाठी अधिक सामान्यतः वापरले जाते.

2. काउची वितरण: लाप्लास वितरणाच्या तुलनेत अधिक जड टोकांमुळे ओळखले जाते, आउट्लायर-प्रवण डेटा मॉडेलिंगसाठी उपयुक्त.

3. एक्स्पोनेंशियल वितरण: पोइसन प्रक्रियेत घटनांमधील वेळ मॉडेलिंगसाठी वापरले जाते.

4. स्टुडंट्स t-वितरण: हायपोथेसिस चाचणी आणि वित्तीय परताव्यांचे मॉडेलिंग करण्यासाठी वापरले जाते.

5. लॉजिस्टिक वितरण: सामान्य वितरणासारखेच आहे परंतु जड टोकांमुळे ओळखले जाते.

इतिहास

लाप्लास वितरण पियरे-सायमन लाप्लास यांनी 1774 च्या "घटनांच्या कारणांची संभाव्यता" या मेमोरँडममध्ये सादर केले. तथापि, 20 व्या शतकाच्या सुरुवातीस गणितीय सांख्यिकीच्या विकासासह या वितरणाला अधिक महत्त्व मिळाले.

लाप्लास वितरणाच्या इतिहासातील मुख्य टप्पे:

1. 1774: पियरे-सायमन लाप्लास वितरणाची ओळख करून देतात त्यांच्या संभाव्यता सिद्धांताच्या कामात.
2. 1930 च्या दशकात: वितरण पुन्हा शोधले जाते आणि विविध क्षेत्रांमध्ये लागू केले जाते, अर्थशास्त्र आणि अभियांत्रिकीसह.
3. 1960 च्या दशकात: लाप्लास वितरण सामान्य वितरणाच्या पर्याय म्हणून मजबूत सांख्यिकीमध्ये महत्त्व प्राप्त करते.
4. 1990 च्या दशकापासून: मशीन लर्निंग, सिग्नल प्रक्रिया, आणि वित्तीय मॉडेलिंगमध्ये वाढलेले वापर.

उदाहरणे

येथे लाप्लास वितरण PDF गणना करण्यासाठी काही कोड उदाहरणे आहेत:

1' Excel VBA कार्य लाप्लास वितरण PDF साठी
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' वापर:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("स्केल पॅरामीटर सकारात्मक असावा")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## उदाहरण वापर:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"x={x वर PDF मूल्य: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("स्केल पॅरामीटर सकारात्मक असावा");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// उदाहरण वापर:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`x=${x वर PDF मूल्य: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("स्केल पॅरामीटर सकारात्मक असावा");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("x=%.1f वर PDF मूल्य: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

हे उदाहरणे दिलेल्या पॅरामीटर्ससाठी लाप्लास वितरण PDF कसे गणना करायचे हे दर्शवतात. तुम्ही या कार्यांना तुमच्या विशिष्ट गरजांसाठी अनुकूलित करू शकता किंवा मोठ्या सांख्यिकी विश्लेषण प्रणालींमध्ये समाकलित करू शकता.

संख्यात्मक उदाहरणे

1. मानक लाप्लास वितरण:

   • स्थान (μ) = 0
   • स्केल (b) = 1
   • x = 0 वर PDF: 0.500000

2. हलवलेले लाप्लास वितरण:

   • स्थान (μ) = 2
   • स्केल (b) = 1
   • x = 0 वर PDF: 0.183940

3. स्केल केलेले लाप्लास वितरण:

   • स्थान (μ) = 0
   • स्केल (b) = 3
   • x = 0 वर PDF: 0.166667

4. हलवलेले आणि स्केल केलेले लाप्लास वितरण:

   • स्थान (μ) = -1
   • स्केल (b) = 0.5
   • x = 0 वर PDF: 0.367879

संदर्भ

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.