Buekalkulator - Beregn radius, spenn og høyde

Hva er en buekalkulator?

En buekalkulator finner dimensjonene til en sirkelformet bue – radius, spennvidde og pilhøyde – ut fra to av disse verdiene. Den beregner også buelengden og buearealet. Arkitekter, byggere og hobbyentusiaster bruker den til å planlegge døråpninger, vinduer, broer og hageelementer med kurvet form.

Viktige buedimensjoner

En sirkelformet bue er et stykke skåret ut fra kanten av en sirkel. Fem mål beskriver formen:

• Radius: avstanden fra sentrum av sirkelen til et punkt på buens kurve.
• Spennvidde: den rette horisontale avstanden mellom buens to nedre ender, også kalt bredden.
• Pilhøyde: den vertikale avstanden fra vederlagslinjen (den rette linjen som forbinder de to endene) opp til buens høyeste punkt.
• Buelengde: avstanden langs buens kurvede linje, fra den ene enden til den andre.
• Bueareal: arealet av det kurvede området som er avgrenset av buen og vederlagslinjen.

Formler for buedimensjoner

Disse formlene gjelder for en sirkelformet bue, altså en bue som er bygget opp av et segment fra én enkelt sirkel. De gjelder for enhver pilhøyde opptil to ganger radiusen. Dette omfatter dør-, vindus- og brobuer som de fleste beregner, og også hesteskobuer, der kurven fortsetter forbi en halvsirkel.

Formel for pilhøyde (fra radius og spennvidde)

$\text{Høyde} = \text{Radius} - \sqrt{\text{Radius}^2 - \left(\frac{\text{Spennvidde}}{2}\right)^2}$

Gjelder når radius og spennvidde er positive, og spennvidden ≤ 2 × radius.

Formel for radius (fra spennvidde og pilhøyde)

$\text{Radius} = \frac{\text{Spennvidde}^2}{8 \times \text{Høyde}} + \frac{\text{Høyde}}{2}$

Gjelder når spennvidde og pilhøyde er positive.

Formel for spennvidde (fra radius og pilhøyde)

$\text{Spennvidde} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radius} \times \text{Høyde} - \text{Høyde}^2}$

Gjelder når radius og pilhøyde er positive, og pilhøyden ≤ 2 × radius.

Formel for buelengde

$\text{Buelengde} = \text{Radius} \times \theta$

Her er θ (theta) sentralvinkelen, i radianer, som buens kurve avtegner ved sirkelens sentrum. Når pilhøyden ikke er større enn radiusen, er buen høyst en halvsirkel, og θ er:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spennvidde}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Når pilhøyden er større enn radiusen, er buen større enn en halvsirkel, og θ er resten av veien rundt:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spennvidde}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Kalkulatoren dekker begge tilfellene i ett trinn: θ = 2 × atan2(Spennvidde ÷ 2, Radius − Pilhøyde), som også forblir nøyaktig for en halvsirkel.

Formel for bueareal

$\text{Bueareal} = \frac{1}{2} \times \text{Radius}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Spennvidde} \times (\text{Radius} - \text{Høyde})$

Slik bruker du buekalkulatoren

Kalkulatoren har tre moduser, én for hver dimensjon som kan mangle.

Beregn pilhøyde, når radius og spennvidde er kjent: angi radius og spennvidde. Verktøyet returnerer pilhøyde, buelengde og bueareal.

Beregn radius, når spennvidde og pilhøyde er kjent: angi spennvidde og pilhøyde. Verktøyet returnerer radius, buelengde og bueareal.

Beregn spennvidde, når radius og pilhøyde er kjent: angi radius og pilhøyde. Verktøyet returnerer spennvidde, buelengde og bueareal.

Kalkulatoren avviser verdier som ikke kan danne en reell bue. Spennvidden kan ikke være større enn to ganger radiusen, pilhøyden kan ikke være større enn to ganger radiusen, og alle dimensjoner må være positive tall. Den viser en feilmelding når en verdi bryter en av disse reglene.

Regneeksempel

Eksempel 1: Dørbue

En dørbue har en spennvidde på 36 tommer (91,4 cm) og en pilhøyde på 12 tommer (30,5 cm).

Radius = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 tommer (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianer

Buelengde = 19,5 × 2,352 = 45,86 tommer (116 cm)

Bueareal = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 kvadrattommer (2 010 cm²)

Eksempel 2: Hagebue

En hagebue har en radius på 4 fot (1,2 m) og en spennvidde på 6 fot (1,8 m).

Pilhøyde = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 fot (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianer

Buelengde = 4 × 1,696 = 6,78 fot (2,07 m)

Bueareal = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kvadratfot (0,523 m²)

Eksempel 3: Brobue

En brobue har en spennvidde på 50 fot (15 m) og en pilhøyde på 15 fot (4,57 m).

Radius = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 fot (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianer

Buelengde = 28,33 × 2,162 = 61,25 fot (18,7 m)

Bueareal = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kvadratfot (49,6 m²)

Vanlige bruksområder for bueberegninger

Byggere bruker buedimensjoner til å skjære forskaling for betongbuer, lage maler for murbuer av tegl eller stein og planlegge krumningen på hvelvede tak. Brokonstruktører bruker spennvidde, pilhøyde og radius for å avveie lastfordeling mot fri høyde. Ved restaurering brukes de samme formlene for å gjenskape den nøyaktige geometrien til en historisk bue ved reparasjon eller gjenoppbygging. Gartnere og gjør-det-selv-byggere bruker dem til buede espalierer, portåpninger og dekorative åpninger.

Denne kalkulatoren gjelder bare sirkelformede buer, altså buer som er dannet av en bue fra én enkelt sirkel. Elliptiske, parabolske, gotiske og kjedelinjebuer følger andre kurver og krever andre formler.

En kort historie om buen

Byggere i det gamle Mesopotamia brukte tidlige bueaktige former så langt tilbake som 2500 f.Kr., selv om de fleste ble bygd med utkraging – ved å stable steiner slik at hvert lag stakk lenger ut enn laget under – i stedet for som ekte kurvede buer. Romerne utviklet halvsirkelformede buer til en standard byggemetode og brukte dem i akvedukter, broer og bygninger som Colosseum. Middelalderens byggere i Europa utviklet den spissbuede gotiske buen, som gjorde det mulig å bygge høyere og lettere konstruksjoner. Senere vendte arkitektene tilbake til halvsirkelformer basert på nøyaktige proporsjoner, og moderne materialer som stål og armert betong gjør det nå mulig for buer å spenne over langt større avstander.

Ofte stilte spørsmål

Hva er forskjellen mellom pilhøyde og høyde i en bue?

Pilhøyde er den vertikale avstanden fra vederlagslinjen til toppen av buens kurve. Høyde kan noen ganger vise til den totale høyden på en åpning, inkludert en eventuell rett vegg under vederlagslinjen.

Fungerer denne kalkulatoren for alle buetyper?

Nei. Den fungerer bare for sirkelformede buer, altså buer som har form som et segment av en sirkel. Elliptiske, parabolske, gotiske og kjedelinjebuer følger andre kurver og krever egne formler.

Hva er forholdet mellom spennvidde og radius i en halvsirkelformet bue?

I en halvsirkelformet bue er radiusen lik halve spennvidden, og pilhøyden er lik radiusen. Buen utgjør nøyaktig halvparten av en sirkel.

Hvorfor kan ikke spennvidden være større enn to ganger radiusen?

En spennvidde lik to ganger radiusen danner allerede en halvsirkel, den bredeste mulige buen for denne radiusen. En større spennvidde ville ikke få plass på sirkelen.

Hvorfor kan ikke pilhøyden være større enn to ganger radiusen (i modusen for å beregne spennvidde)?

Pilhøyden måles fra vederlagslinjen opp til buens høyeste punkt på den samme sirkelen. To ganger radiusen er sirkelens fulle høyde, så en større pilhøyde ville plassere toppen av buen utenfor sirkelen. En pilhøyde mellom radiusen og to ganger radiusen er mulig. Buen blir da større enn en halvsirkel, slik formen på hesteskobuer er.

Hvilke enheter bruker kalkulatoren?

Alle konsistente enheter fungerer – tommer, fot, meter eller centimeter. Angi alle verdiene i samme enhet, så blir resultatene oppgitt i den samme enheten, mens arealet oppgis i den samme enheten opphøyd i andre.