Poisson Fordelingskalkulator - Beregn Hendelsessannsynligheter

Hva er en kalkulator for Poisson-fordelingen?

En kalkulator for Poisson-fordelingen finner sannsynligheten for at et bestemt antall hendelser skjer i løpet av en fast tidsperiode eller i et avgrenset område, gitt hvor ofte hendelsene i gjennomsnitt skjer. Den brukes når hendelser skjer én om gangen, uavhengig av hverandre, med en jevn gjennomsnittlig rate. Typiske eksempler er antallet telefonsamtaler et kundesenter mottar i løpet av en time, eller antallet skrivefeil på en side.

Formel for Poisson-fordelingen

Poisson-fordelingen angir sannsynligheten for nøyaktig k hendelser når gjennomsnittsraten er λ (den greske bokstaven lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Hvert symbol betyr:

• λ (lambda) — det gjennomsnittlige antallet hendelser per intervall. Dette er fordelingens eneste parameter.
• k — det nøyaktige antallet hendelser som sannsynligheten beregnes for. Det må være et helt tall, 0 eller høyere.
• e — Eulers tall, en fast konstant lik omtrent 2,71828.
• k! — «k-fakultet», produktet av alle hele tall fra 1 til og med k. For eksempel er 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per definisjon er 0! = 1.

Formelen trenger bare λ og k. Den trenger ikke et totalt antall forsøk, i motsetning til binomisk fordeling.

Slik beregnes en Poisson-sannsynlighet

1. Velg λ, det gjennomsnittlige antallet hendelser i intervallet som undersøkes.
2. Velg k, det nøyaktige antallet hendelser som sannsynligheten skal beregnes for.
3. Opphøy e i potensen −λ: dette gir e^(−λ).
4. Opphøy λ i potensen k: dette gir λ^k.
5. Finn k!, altså fakultetet av k.
6. Multipliser resultatene fra trinn 3 og 4, og divider deretter med resultatet fra trinn 5.

Tallet som kommer ut, er en sannsynlighet mellom 0 og 1. Multipliser det med 100 for å uttrykke det som en prosentandel.

Regneeksempel

Et kundesenter mottar i gjennomsnitt 5 samtaler per time (λ = 5). Hva er sannsynligheten for at det mottar nøyaktig 3 samtaler i løpet av en bestemt time (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multipliser: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Divider med 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Sannsynligheten for nøyaktig 3 samtaler i løpet av den timen er omtrent 0,140, eller 14 %.

Flere eksempler

Hvor Poisson-fordelingen brukes

Poisson-fordelingen modellerer tellinger av sjeldne, uavhengige hendelser. Vanlige bruksområder omfatter:

• Kundesentre og kundeservice: å forutsi hvor mange samtaler eller chatter som kommer inn per time.
• Produksjon: å anslå antallet defekter i et parti produkter.
• Forsikring: å anslå hvor mange skademeldinger som kommer inn i en bestemt periode.
• Biologi og medisin: å modellere antallet mutasjoner eller spredningen av sjeldne sykdommer.
• Fysikk: å beskrive radioaktivt henfall, der hvert atom henfaller uavhengig med en konstant gjennomsnittlig rate.
• Trafikk- og nettverksteknikk: å anslå kjøretøyankomster i et kryss eller forespørsler som treffer en server.

Betingelser for bruk av Poisson-fordelingen

Poisson-fordelingen passer bare når alle disse betingelsene er oppfylt:

• Hendelser skjer én om gangen; to hendelser kan ikke skje på nøyaktig samme tidspunkt.
• Hendelser skjer uavhengig av hverandre — én hendelse gjør ikke den neste mer eller mindre sannsynlig.
• Gjennomsnittsraten, λ, forblir konstant gjennom intervallet som undersøkes.

Hvis raten endres over tid, eller hendelser har en tendens til å samle seg, vil den enkle Poisson-fordelingen ikke beskrive dataene godt.

Poisson-fordelingen sammenlignet med beslektede fordelinger

• Binomisk fordeling: brukes når det er et fast antall forsøk og en kjent sannsynlighet for suksess i hvert av dem, for eksempel når en mynt kastes 20 ganger. Poisson-fordelingen er det binomisk fordeling nærmer seg når antallet forsøk blir svært stort og sannsynligheten for suksess per forsøk nærmer seg null, samtidig som produktet deres holder seg rundt λ.
• Normalfordeling: for stor λ, omtrent over 20, ligner Poisson-fordelingen en klokkeformet normalfordeling med forventning λ og varians λ.
• Eksponentialfordeling: mens Poisson-fordelingen teller hvor mange hendelser som skjer i et fast intervall, beskriver eksponentialfordelingen ventetiden mellom disse hendelsene.

En historisk merknad

Den franske matematikeren Siméon Denis Poisson introduserte fordelingen i 1837, i en bok om bruk av sannsynlighet i rettsavgjørelser. Den fikk liten oppmerksomhet til å begynne med. Bruken økte tidlig på 20-tallet, etter at statistikere som Ladislaus Bortkiewicz og Ronald Fisher anvendte den på reelle telledata, blant annet i en berømt studie av prøyssiske soldater som ble drept av hestespark.

Ofte stilte spørsmål

Hva betyr lambda (λ) i en Poisson-fordeling? Lambda er det gjennomsnittlige antallet hendelser som forventes i intervallet som undersøkes. Det er også fordelingens varians, så en større λ betyr både et høyere gjennomsnittlig antall og større spredning i mulige utfall.

Kan k eller λ være negativ eller en brøk? λ må være større enn 0, men kan være et desimaltall, for eksempel 2,5 hendelser per time. k må være et helt tall på 0 eller mer, siden det teller faktiske hendelser; det kan ikke være negativt eller en brøk.

Hvordan skiller Poisson-fordelingen seg fra binomisk fordeling? Binomisk fordeling trenger et fast antall forsøk og en fast sannsynlighet for suksess per forsøk. Poisson-fordelingen trenger bare en gjennomsnittlig rate og fungerer for hendelser som i prinsippet kan skje et hvilket som helst antall ganger.

Når bør normalfordelingen brukes i stedet? For stor λ, vanligvis over omtrent 20, gir en normalfordeling med samme forventning og varians en god tilnærming til Poisson-fordelingen og er ofte enklere å regne med for hånd.

Hvorfor viser kalkulatoren noen ganger et tall i vitenskapelig notasjon? Resultatene vises vanligvis med seks desimaler. Når en sannsynlighet er mindre enn 0,0001, vil seks desimaler runde den av til 0,000000 og skjule hvor liten den faktisk er, så kalkulatoren går i stedet over til vitenskapelig notasjon. For λ = 20 og k = 1 viser den 4.122307e-8, som betyr 0,00000004122307.

Finnes det grenser for verdiene kalkulatoren godtar? Ja. λ må være større enn 0 og ikke større enn 700, og k må være et helt tall fra 0 til 1000. Utenfor disse grensene viser kalkulatoren en feil. Grensene holder resultatet innenfor området av tall en datamaskin kan lagre, og sørger for at diagrammet har et lesbart antall søyler.

Tillater Poisson-fordelingen mer enn én hendelse om gangen? Nei. Modellen antar at hendelser skjer én om gangen. Hvis to hendelser regelmessig skjer samtidig, passer en annen fordeling bedre til dataene.

Referanser

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, seksjon 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp og Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.