Binomisk Fordelingskalkulator - Gratis Sannsynlighetsverktøy

Hva er en kalkulator for binomisk fordeling?

En kalkulator for binomisk fordeling finner sannsynligheten for å få et nøyaktig antall suksesser i et fast antall uavhengige forsøk når hvert forsøk har samme sannsynlighet for suksess. Den brukes i statistikk, kvalitetskontroll, medisin og alle fagområder som studerer gjentatte ja- eller nei-hendelser.

Den underliggende ideen er den binomiske fordelingen, en sannsynlighetsmodell for å telle suksesser i gjentatte forsøk som hvert bare har to utfall, vanligvis kalt suksess og fiasko.

Formel for binomisk fordeling

Sannsynligheten for å få nøyaktig k suksesser i n forsøk er:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Hvert symbol betyr:

• n — antall forsøk.
• k — antallet suksesser som sannsynligheten skal finnes for.
• p — sannsynligheten for suksess i ett enkelt forsøk, et tall mellom 0 og 1.
• $\binom{n}{k}$ — den binomiske koeffisienten, antallet ulike måter å velge k suksesser blant n forsøk på. Den er lik $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Alle forsøk må være uavhengige, det vil si at utfallet av ett forsøk ikke endrer sannsynligheten for et annet, og sannsynligheten for suksess p må være den samme i alle forsøk. Ett enkelt forsøk med to mulige utfall, som et enkelt myntkast, kalles et Bernoulli-forsøk. En binomisk fordeling får man ved å summere n Bernoulli-forsøk.

Slik beregnes binomisk sannsynlighet

1. Skriv ned n, k og p.
2. Beregn den binomiske koeffisienten $\binom{n}{k}$, altså antallet måter å plassere k suksesser blant n forsøk på.
3. Opphøy p i k-te potens.
4. Opphøy (1 − p) i potensen (n − k).
5. Multipliser de tre tallene med hverandre.

Kalkulatoren på denne siden utfører disse trinnene automatisk. Skriv inn n, p og k, så returnerer den P(X = k) sammen med et stolpediagram som viser sannsynligheten for hvert mulig utfall fra 0 til n suksesser.

Regneeksempel

Eksempel 1: myntkast

Kast en rettferdig mynt 10 ganger. Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig 3 kron?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, eller omtrent 11,72 %

Eksempel 2: kvalitetskontroll

En fabrikk kontrollerer 100 varer. Hver vare har 2 % sannsynlighet for å være defekt. Hva er sannsynligheten for at ingen av de 100 varene er defekte?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Siden k = 0, blir formelen $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultat: ≈ 0,1326, eller omtrent 13,26 %

Eksempel 3: sykdomstesting

En by tester 1 000 personer for en sykdom som smitter 0,1 % av befolkningen (p = 0,001). Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 5 av de 1 000 personene er smittet?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultat: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, eller omtrent 0,30 % (nøyaktig verdi 0,0030488, det vil si 0,30488 %)

Forventning og varians

For en binomisk fordeling med parametrene n og p:

• Forventning (forventet verdi): E(X) = np
• Varians: Var(X) = np(1 − p)
• Standardavvik: σ = √[np(1 − p)]

Forventningen angir det gjennomsnittlige antallet suksesser som forventes over mange gjentakelser. I eksempel 1 er forventningen 10 × 0,5 = 5 kron.

Hva kalkulatoren godtar

• n må være et helt tall på 1 eller mer. Et desimaltall avrundes til nærmeste hele antall forsøk, slik at 10,9 behandles som 11.
• p må være mellom 0 og 1, inkludert begge endepunktene.
• k må være et helt tall på 0 eller mer, og kan ikke være større enn n. Det er umulig å få 8 suksesser i 5 forsøk, så kalkulatoren viser en feilmelding i stedet for et tall.

Hvis et felt står tomt, viser kalkulatoren verken resultat eller diagram, i stedet for å gjette en verdi.

Når binomisk fordeling kan brukes

Den binomiske fordelingen passer bare når alle fire betingelsene er oppfylt:

1. Antallet forsøk, n, er fastsatt på forhånd.
2. Hvert forsøk har bare to utfall: suksess eller fiasko.
3. Sannsynligheten for suksess, p, er den samme i hvert forsøk.
4. Forsøkene er uavhengige av hverandre.

Å trekke kort fra en kortstokk uten tilbakelegging bryter med kravet om uavhengighet, fordi fjerning av et kort endrer sannsynligheten for det neste trekket. Da brukes den hypergeometriske fordelingen i stedet.

Beslektede fordelinger

• Poisson-fordeling: brukes til å tilnærme den binomiske fordelingen når n er stor og p er liten, slik at det gjennomsnittlige antallet suksesser (np) holder seg moderat. Den brukes ofte til å modellere sjeldne hendelser, som sykdomstilfellet i eksempel 3.
• Normalfordeling: for stor n, og når p ikke ligger for nær 0 eller 1, ser den binomiske fordelingen omtrent klokkeformet ut og kan tilnærmes med en normalfordeling med forventning np og varians np(1 − p).
• Hypergeometrisk fordeling: brukes i stedet for den binomiske fordelingen når utvalget gjøres uten tilbakelegging fra en endelig populasjon.

Ofte stilte spørsmål

Hva gjør en kalkulator for binomisk fordeling?

Den beregner sannsynligheten for å få nøyaktig k suksesser i n uavhengige forsøk, der hvert forsøk har sannsynligheten p for suksess, ved hjelp av formelen P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Hva er forskjellen mellom binomisk fordeling og normalfordeling?

Den binomiske fordelingen er diskret, det vil si at den bare gir heltallige antall suksesser. Normalfordelingen er kontinuerlig. For stor n kan en binomisk fordeling tilnærmes med en normalkurve med forventning np og varians np(1 − p).

Kan p være 0 eller 1?

Ja. Hvis p = 0, kan ingen forsøk lykkes, så P(X = 0) = 1. Hvis p = 1, lykkes hvert forsøk, så P(X = n) = 1. Alle andre verdier av k har sannsynlighet 0 i disse tilfellene.

Hva er forholdet mellom binomisk fordeling og Bernoulli-fordeling?

En Bernoulli-fordeling beskriver ett enkelt forsøk med to utfall (n = 1). En binomisk fordeling er summen av n uavhengige Bernoulli-forsøk, så en Bernoulli-fordeling er ganske enkelt en binomisk fordeling med n = 1.

Hvor stor kan n være før kalkulatoren blir unøyaktig?

Kalkulatoren bruker standard dobbeltpresisjonsaritmetikk. Den multipliserer de tre delene av formelen direkte og går over til logaritmer når den binomiske koeffisienten blir større enn det største tallet en double kan lagre. Dette skjer nær n = 1 000 når k ligger nær n/2. Resultatene forblir korrekte også over dette punktet. En sannsynlighet som er mindre enn omtrent 1e-308, rapporteres som 0, fordi ingen double kan lagre den.

Hvordan beregnes den binomiske koeffisienten?

Den binomiske koeffisienten C(n, k) teller antallet måter å velge k elementer blant n elementer på, uavhengig av rekkefølgen. Den er lik n! / (k! × (n − k)!). Kalkulatoren bygger den opp trinn for trinn ved å multiplisere med én faktor og dividere med den neste, slik at den aldri trenger å lagre en hel fakultet. For svært stor n summerer den i stedet logaritmene til disse faktorene.

Referanser

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. med flere. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.