מחשבון קצב פיזור: חישוב פיזור גז באמצעות חוק גרהאם

מבוא

פיזור הוא התהליך שבו מולקולות גז בורחות דרך חור קטן במיכל לתוך ואקום או אזור של לחץ נמוך יותר. המחשבון לקצב פיזור הוא כלי חזק שנועד לחשב את קצב הפיזור היחסי בין שני גזים בהתבסס על חוק גרהאם לפיזור. עיקרון יסוד זה בתיאוריה הקינטית קובע כי קצב הפיזור של גז הוא הפוך לפרופורציה לשורש הריבועי של המסה המולרית שלו (משקל מולקולרי). המחשבון שלנו מרחיב עיקרון זה על ידי כך שהוא לוקח בחשבון גם הבדלים בטמפרטורה בין גזים, ומספק פתרון מקיף לסטודנטים לכימיה, חוקרים ומקצועני תעשייה.

בין אם אתה לומד למבחן, עורך ניסויים במעבדה או פותר בעיות של הפרדת גזים בתעשייה, המחשבון הזה מציע דרך מהירה ומדויקת לקבוע כמה מהר גז אחד יתפזר ביחס לאחר בתנאים שנבחרו.

נוסחת חוק גרהאם לפיזור

חוק גרהאם לפיזור מתבטא מתמטית כך:

$\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

איפה:

• $\text{Rate}_1$ = קצב הפיזור של גז 1
• $\text{Rate}_2$ = קצב הפיזור של גז 2
• $M_1$ = מסה מולרית של גז 1 (גרם/מול)
• $M_2$ = מסה מולרית של גז 2 (גרם/מול)
• $T_1$ = טמפרטורה של גז 1 (קלווין)
• $T_2$ = טמפרטורה של גז 2 (קלווין)

נגזרות מתמטיות

חוק גרהאם נגזר מתיאוריה קינטית של גזים. קצב הפיזור פרופורציונלי למהירות המולקולרית הממוצעת של חלקיקי הגז. לפי התיאוריה הקינטית, האנרגיה הקינטית הממוצעת של מולקולות גז היא:

$\text{KE}_{\text{avg}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}kT$

איפה:

• $m$ = מסה של מולקולה
• $v$ = מהירות ממוצעת
• $k$ = קבוע בולצמן
• $T$ = טמפרטורה מוחלטת

פתרון עבור מהירות:

$v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

מאחר שקצב הפיזור פרופורציונלי למהירות זו, והמסה המולקולרית פרופורציונלית למסה המולרית, אנו יכולים לגזור את הקשר בין קצבי הפיזור של שני גזים:

$\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

מקרים מיוחדים

1. טמפרטורות שוות: אם שני הגזים נמצאים באותה טמפרטורה ($T_1 = T_2$), הנוסחה מתפשטת ל:

   $\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$

2. מסות מולריות שוות: אם לשני הגזים יש את אותה מסה מולרית ($M_1 = M_2$), הנוסחה מתפשטת ל:

   $\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

3. מסות מולריות וטמפרטורות שוות: אם לשני הגזים יש את אותה מסה מולרית ואת אותה טמפרטורה, קצבי הפיזור שווים:

   $\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = 1$

כיצד להשתמש במחשבון קצב הפיזור

המחשבון שלנו מקל על קביעת קצבי הפיזור היחסיים של שני גזים. עקוב אחרי הצעדים הפשוטים האלה:

1. הזן מידע על גז 1:

   • הכנס את המסה המולרית (בגרם/מול)
   • הכנס את הטמפרטורה (בקלווין)

2. הזן מידע על גז 2:

   • הכנס את המסה המולרית (בגרם/מול)
   • הכנס את הטמפרטורה (בקלווין)

3. צפה בתוצאות:

   • המחשבון מחשב אוטומטית את קצב הפיזור היחסי (Rate₁/Rate₂)
   • התוצאה מראה כמה פעמים גז 1 מתפזר מהר יותר מגז 2

4. העתק תוצאות (אופציונלי):

   • השתמש בכפתור "העתק תוצאה" כדי להעתיק את הערך המחושב ללוח שלך

דרישות קלט

• מסה מולרית: חייבת להיות מספר חיובי גדול מאפס (גרם/מול)
• טמפרטורה: חייבת להיות מספר חיובי גדול מאפס (קלווין)

הבנת התוצאות

הערך המחושב מייצג את יחס קצבי הפיזור בין גז 1 לגז 2. לדוגמה:

• אם התוצאה היא 2.0, גז 1 מתפזר פעמיים מהר יותר מגז 2
• אם התוצאה היא 0.5, גז 1 מתפזר חצי מהר מגז 2
• אם התוצאה היא 1.0, שני הגזים מתפזרים באותו קצב

מסות מולריות של גזים נפוצים

לנוחותכם, הנה המסות המולריות של כמה גזים נפוצים:

יישומים מעשיים ומקרים

חוק גרהאם לפיזור יש יישומים מעשיים רבים במדע ובתעשייה:

1. הפרדת איזוטופים

אחת מהיישומים ההיסטוריים המשמעותיים של חוק גרהאם הייתה בפרויקט מנהטן להפרדת אורניום. תהליך הפיזור הגזי מפריד בין אורניום-235 לאורניום-238 בהתבסס על ההבדל הקטן במסה המולרית שלהם, שמשפיע על קצבי הפיזור שלהם.

2. כרומטוגרפיה גזית

בכימיה אנליטית, עקרונות הפיזור עוזרים בהפרדה וזיהוי של תרכובות בכרומטוגרפיה גזית. מולקולות שונות נעות דרך עמוד הכרומטוגרפי בקצבים שונים בחלקן בגלל המסות המולריות שלהן.

3. גילוי דליפות

מגלה דליפות הליום משתמשים בעיקרון שלהליום, עם מסה מולרית נמוכה, יש קצב פיזור מהיר דרך דליפות קטנות. זה הופך אותו לגז מעקב מצוין לגילוי דליפות במערכות ואקום, מכלי לחץ ובמיכלים אטומים אחרים.

4. פיזיולוגיה נשימתית

הבנת פיזור הגזים עוזרת להסביר כיצד גזים נעים דרך ממברנת האלוואולר-קפילר בריאות, תורמת להבנתנו את הפיזיולוגיה הנשימתית והחלפת הגזים.

5. הפרדת גזים בתעשייה

תהליכים תעשייתיים שונים משתמשים בטכנולוגיית ממברנות שמתבססת על עקרונות הפיזור כדי להפריד תערובות גזים או לטהר גזים ספציפיים.

חלופות לחוק גרהאם

בעוד שחוק גרהאם הוא יסודי להבנת הפיזור, ישנן גישות חלופיות לניתוח התנהגות גזים:

1. פיזור קנודסן: מתאים יותר למדיומים נקבוביים שבהם גודל הנקבוביות דומה לאורך החופשי הממוצע של מולקולות הגז.

2. פיזור מקסוול-סטפן: מתאים יותר לתערובות גזים מרובות שבהן האינטראקציות בין מיני גזים שונים משמעותיות.

3. דינמיקה של נוזלים חישובית (CFD): עבור גיאומטריות מורכבות ותנאי זרימה, סימולציות מספריות עשויות לספק תוצאות מדויקות יותר מאשר נוסחאות אנליטיות.

4. חוקי פיק לפיזור: מתאימים יותר לתיאור תהליכי פיזור מאשר פיזור.

התפתחות היסטורית

תומס גרהאם וגילוייו

תומס גרהאם (1805-1869), כימאי סקוטי, ניסח לראשונה את החוק לפיזור בשנת 1846. באמצעות ניסויים מדוקדקים, גרהאם מדד את הקצבים שבהם גזים שונים ברחו דרך חורים קטנים וצפה כי קצבים אלה היו הפוכים לפרופורציה לשורש הריבועי של הצפיפות שלהם.

עבודתו של גרהאם הייתה פורצת דרך מכיוון שהיא סיפקה ראיות ניסיוניות שתמכו בתיאוריה הקינטית של גזים, שעדיין הייתה בתהליך פיתוח באותו זמן. ניסוייו הראו כי גזים קלים מתפזרים מהר יותר מגזים כבדים, מה שתאם את הרעיון כי חלקיקי הגז נמצאים בתנועה מתמדת עם מהירויות שתלויות במסות שלהם.

התפתחות ההבנה

לאחר עבודתו הראשונית של גרהאם, ההבנה של פיזור גזים התפתחה משמעותית:

1. שנות ה-1860-1870: ג'יימס קלארק מקסוול ולודוויג בולצמן פיתחו את התיאוריה הקינטית של גזים, שסיפקה בסיס תיאורטי לתצפיות האמפיריות של גרהאם.

2. תחילת המאה ה-20: פיתוח מכניקת הקוונטום שיפר עוד יותר את ההבנה שלנו על התנהגות מולקולרית ודינמיקת גזים.

3. שנות ה-1940: פרויקט מנהטן יישם את חוק גרהאם בקנה מידה תעשייתי להפרדת איזוטופים של אורניום, והדגים את משמעותו המעשית.

4. עידן מודרני: שיטות חישוב מתקדמות וטכניקות ניסיוניות אפשרו למדענים לחקור פיזור במערכות מורכבות יותר ובתנאים קיצוניים יותר.

דוגמאות קוד לחישוב קצבי פיזור

הנה דוגמאות כיצד לחשב את קצב הפיזור היחסי בשפות תכנות שונות:

1' פונקציית VBA של Excel לחישוב קצב הפיזור
2Function EffusionRateRatio(MolarMass1 As Double, MolarMass2 As Double, Temperature1 As Double, Temperature2 As Double) As Double
3    ' בדוק קלטים תקפים
4    If MolarMass1 <= 0 Or MolarMass2 <= 0 Then
5        EffusionRateRatio = CVErr(xlErrValue)
6        Exit Function
7    End If
8    
9    If Temperature1 <= 0 Or Temperature2 <= 0 Then
10        EffusionRateRatio = CVErr(xlErrValue)
11        Exit Function
12    End If
13    
14    ' חישוב באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה
15    EffusionRateRatio = Sqr(MolarMass2 / MolarMass1) * Sqr(Temperature1 / Temperature2)
16End Function
17
18' שימוש בתא Excel:
19' =EffusionRateRatio(4, 16, 298, 298)
20

1import math
2
3def calculate_effusion_rate_ratio(molar_mass1, molar_mass2, temperature1, temperature2):
4    """
5    חישוב הקצב הפיזור היחסי באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה.
6    
7    פרמטרים:
8    molar_mass1 (float): מסה מולרית של גז 1 בגרם/מול
9    molar_mass2 (float): מסה מולרית של גז 2 בגרם/מול
10    temperature1 (float): טמפרטורה של גז 1 בקלווין
11    temperature2 (float): טמפרטורה של גז 2 בקלווין
12    
13    מחזיר:
14    float: יחס קצבי הפיזור (Rate1/Rate2)
15    """
16    # בדוק קלטים
17    if molar_mass1 <= 0 or molar_mass2 <= 0:
18        raise ValueError("ערכי המסה המולרית חייבים להיות חיוביים")
19    
20    if temperature1 <= 0 or temperature2 <= 0:
21        raise ValueError("ערכי הטמפרטורה חייבים להיות חיוביים")
22    
23    # חישוב באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה
24    molar_mass_ratio = math.sqrt(molar_mass2 / molar_mass1)
25    temperature_ratio = math.sqrt(temperature1 / temperature2)
26    
27    return molar_mass_ratio * temperature_ratio
28
29# דוגמת שימוש
30try:
31    # הליום מול מתאן באותה טמפרטורה
32    result = calculate_effusion_rate_ratio(4.0, 16.0, 298, 298)
33    print(f"קצב הפיזור היחסי: {result:.4f}")
34except ValueError as e:
35    print(f"שגיאה: {e}")
36

1/**
2 * חישוב הקצב הפיזור היחסי באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה.
3 * 
4 * @param {number} molarMass1 - מסה מולרית של גז 1 בגרם/מול
5 * @param {number} molarMass2 - מסה מולרית של גז 2 בגרם/מול
6 * @param {number} temperature1 - טמפרטורה של גז 1 בקלווין
7 * @param {number} temperature2 - טמפרטורה של גז 2 בקלווין
8 * @returns {number} יחס קצבי הפיזור (Rate1/Rate2)
9 */
10function calculateEffusionRateRatio(molarMass1, molarMass2, temperature1, temperature2) {
11  // בדוק קלטים
12  if (molarMass1 <= 0 || molarMass2 <= 0) {
13    throw new Error("ערכי המסה המולרית חייבים להיות חיוביים");
14  }
15  
16  if (temperature1 <= 0 || temperature2 <= 0) {
17    throw new Error("ערכי הטמפרטורה חייבים להיות חיוביים");
18  }
19  
20  // חישוב באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה
21  const molarMassRatio = Math.sqrt(molarMass2 / molarMass1);
22  const temperatureRatio = Math.sqrt(temperature1 / temperature2);
23  
24  return molarMassRatio * temperatureRatio;
25}
26
27// דוגמת שימוש
28try {
29  // הליום מול חמצן באותה טמפרטורה
30  const result = calculateEffusionRateRatio(4.0, 32.0, 298, 298);
31  console.log(`קצב הפיזור היחסי: ${result.toFixed(4)}`);
32} catch (error) {
33  console.error(`שגיאה: ${error.message}`);
34}
35

1public class EffusionRateCalculator {
2    /**
3     * חישוב הקצב הפיזור היחסי באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה.
4     * 
5     * @param molarMass1 מסה מולרית של גז 1 בגרם/מול
6     * @param molarMass2 מסה מולרית של גז 2 בגרם/מול
7     * @param temperature1 טמפרטורה של גז 1 בקלווין
8     * @param temperature2 טמפרטורה של גז 2 בקלווין
9     * @return יחס קצבי הפיזור (Rate1/Rate2)
10     * @throws IllegalArgumentException אם כל קלט הוא אפס או שלילי
11     */
12    public static double calculateEffusionRateRatio(
13            double molarMass1, double molarMass2, 
14            double temperature1, double temperature2) {
15        
16        // בדוק קלטים
17        if (molarMass1 <= 0 || molarMass2 <= 0) {
18            throw new IllegalArgumentException("ערכי המסה המולרית חייבים להיות חיוביים");
19        }
20        
21        if (temperature1 <= 0 || temperature2 <= 0) {
22            throw new IllegalArgumentException("ערכי הטמפרטורה חייבים להיות חיוביים");
23        }
24        
25        // חישוב באמצעות חוק גרהאם עם תיקון טמפרטורה
26        double molarMassRatio = Math.sqrt(molarMass2 / molarMass1);
27        double temperatureRatio = Math.sqrt(temperature1 / temperature2);
28        
29        return molarMassRatio * temperatureRatio;
30    }
31    
32    public static void main(String[] args) {
33        try {
34            // מימן מול חנקן באותה טמפרטורה
35            double result = calculateEffusionRateRatio(2.02, 28.01, 298, 298);
36            System.out.printf("קצב הפיזור היחסי: %.4f%n", result);
37        } catch (IllegalArgumentException e) {
38            System.err.println("שגיאה: " + e.getMessage());
39        }
40    }
41}
42

דוגמאות מספריות

בואו נבחן כמה דוגמאות מעשיות כדי להבין טוב יותר כיצד המחשבון לקצב הפיזור עובד:

דוגמה 1: הליום מול מתאן באותה טמפרטורה

• גז 1: הליום (He)
  • מסה מולרית: 4.0 גרם/מול
  • טמפרטורה: 298 קלווין (25°C)
• גז 2: מתאן (CH₄)
  • מסה מולרית: 16.0 גרם/מול
  • טמפרטורה: 298 קלווין (25°C)

חישוב: $\frac{\text{Rate}_{\text{He}}}{\text{Rate}_{\text{CH}_4}} = \sqrt{\frac{16.0}{4.0}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4} \times 1 = 2.0$

תוצאה: הליום מתפזר פעמיים מהר יותר ממתאן באותה טמפרטורה.

דוגמה 2: מימן מול חמצן עם טמפרטורות שונות

• גז 1: מימן (H₂)
  • מסה מולרית: 2.02 גרם/מול
  • טמפרטורה: 400 קלווין (127°C)
• גז 2: חמצן (O₂)
  • מסה מולרית: 32.00 גרם/מול
  • טמפרטורה: 300 קלווין (27°C)

חישוב: $\frac{\text{Rate}_{\text{H}_2}}{\text{Rate}_{\text{O}_2}} = \sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \times \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{15.84} \times \sqrt{1.33} = 3.98 \times 1.15 = 4.58$

תוצאה: מימן ב-400 קלווין מתפזר בערך 4.58 פעמים מהר יותר מחמצן ב-300 קלווין.

שאלות נפוצות (שאלות ותשובות)

מה ההבדל בין פיזור לפיזור?

פיזור מתייחס לתהליך שבו מולקולות גז בורחות דרך חור קטן במיכל לתוך ואקום או אזור של לחץ נמוך יותר. החור חייב להיות קטן יותר מהמרחק החופשי הממוצע של מולקולות הגז.

פיזור הוא תנועת מולקולות גז דרך גז או חומר אחר עקב גרדיאנטים של ריכוז. בפיזור, מולקולות אינן מתקשרות זו עם זו בעת תנועתן.

בעוד ששני התהליכים כרוכים בתנועה מולקולרית, פיזור מתייחס במיוחד לגזים העוברים דרך פתחים קטנים, בעוד שפיזור הוא מושג רחב יותר של ערבוב מולקולות.

עד כמה מדויק חוק גרהאם בתנאים בעולם האמיתי?

חוק גרהאם מדויק למדי עבור גזים אידיאליים בתנאים שבהם:

• הפתח קטן בהשוואה לאורך החופשי הממוצע של מולקולות הגז
• הגזים מתנהגים באופן אידיאלי (לחץ נמוך, טמפרטורה מתונה)
• הזרימה היא מולקולרית ולא צמיגה

בלחצים גבוהים או עם גזים מאוד מגיבים, עשויות להתרחש סטיות עקב התנהגות גז לא אידיאלית ואינטראקציות מולקולריות.

האם ניתן ליישם את חוק גרהאם על נוזלים?

לא, חוק גרהאם חל ספציפית על גזים. לנוזלים יש דינמיקה מולקולרית fundamentally שונה עם כוחות בין-מולקולריים הרבה יותר חזקים ואורכי חופשי הרבה יותר קטנים. עקרונות ונוסחאות שונות שולטות בתנועת נוזלים דרך פתחים קטנים.

מדוע אנו צריכים להשתמש בטמפרטורה מוחלטת (קלווין) בחישובים?

טמפרטורה מוחלטת (קלווין) משמשת מכיוון שהאנרגיה הקינטית של מולקולות גז פרופורציונלית ישירות לטמפרטורה מוחלטת. השימוש בצלזיוס או פרנהייט יביא לתוצאות שגויות מכיוון שסולמות אלה לא מתחילים באפס מוחלט, שהוא הנקודה של אפס תנועה מולקולרית.

כיצד הלחץ משפיע על קצבי הפיזור?

מעניין, קצבי הפיזור היחסיים של שני גזים אינם תלויים בלחץ כל עוד שני הגזים נמצאים באותו לחץ. זאת מכיוון שלחץ משפיע על שני הגזים באופן שווה. עם זאת, הקצב הפיזור האבסולוטי של כל גז עולה עם הלחץ.

האם יש גבול כמה מהר גז יכול להתפזר?

אין גבול תיאורטי עליון לקצבי הפיזור, אך גבולות מעשיים קיימים. כאשר הטמפרטורות עולות, גזים עשויים להתיינן או להתפרק, מה שמשנה את המסה המולרית ואת ההתנהגות שלהם. בנוסף, בטמפרטורות גבוהות מאוד, חומרים המכילים את הגז עשויים להיכשל.

כיצד חוק גרהאם משמש בתעשייה כיום?

יישומים מודרניים כוללים:

• ייצור חצי מוליכים (טיהור גז)
• ייצור מכשירים רפואיים (בדיקות דליפות)
• תעשיית הגרעין (הפרדת איזוטופים)
• ניטור סביבתי (דגימת גזים)
• אריזת מזון (שליטה על קצבי חדירת גזים)

מקורות

1. אטקינס, פ. וו., & דה פאולה, ג'. (2014). כימיה פיזיקלית של אטקינס (מהדורה 10). הוצאת אוקספורד.

2. לוין, א. נ. (2009). כימיה פיזיקלית (מהדורה 6). הוצאת מקגרו-היל.

3. גרהאם, ת. (1846). "על תנועת גזים." טרנסאקציות פילוסופיות של החברה המלכותית של לונדון, 136, 573-631.

4. ליידלר, ק. ג'יי., מייזר, ג'. ה., & סנקטוארי, ב. ס. (2003). כימיה פיזיקלית (מהדורה 4). הוצאת הוטון מיפלין.

5. צ'אנג, ר. (2010). כימיה (מהדורה 10). הוצאת מקגרו-היל.

6. סילבי, ר. ג'יי., אלברטי, ר. א., & באוונדי, מ. ג. (2004). כימיה פיזיקלית (מהדורה 4). ויילי.

נסה את מחשבון קצב הפיזור שלנו היום כדי לקבוע במהירות ובדיוק את קצבי הפיזור היחסיים של גזים בהתבסס על חוק גרהאם. בין אם אתה סטודנט, חוקר או מקצוען בתעשייה, הכלי הזה יעזור לך להבין וליישם את עקרונות הפיזור בגזים בעבודתך.