പോയ്സൺ വിതരണ കണക്കുകൂട്ടി

पोइसन वितरण कॅल्क्युलेटर

परिचय

पोइसन वितरण एक विवक्षित संभाव्यता वितरण आहे जो निश्चित वेळ किंवा जागेत दिलेल्या घटनांची संख्या होण्याची संभाव्यता व्यक्त करतो, हे मान्य करून की या घटनांचा ज्ञात स्थिर सरासरी दर आहे आणि मागील घटनेपासूनच्या वेळेवर अवलंबून नाही. हा कॅल्क्युलेटर तुम्हाला घडणाऱ्या घटनांच्या विशिष्ट संख्येची संभाव्यता निर्धारित करण्यास अनुमती देतो.

सूत्र

पोइसन वितरण संभाव्यता वस्तुमान कार्य खालीलप्रमाणे दिलेले आहे:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

जिथे:

• $\lambda$ (लॅम्ब्डा) म्हणजे प्रत्येक अंतरालामध्ये घटनांची सरासरी संख्या
• $k$ म्हणजे घटनांची संख्या ज्यासाठी आपण संभाव्यता गणना करत आहोत
• $e$ म्हणजे यूलरचा संख्या (सुमारे 2.71828)

या कॅल्क्युलेटरचा वापर कसा करावा

1. घटनांची सरासरी दर ($\lambda$) प्रविष्ट करा
2. तुम्हाला आवडणाऱ्या घटनांची संख्या ($k$) प्रविष्ट करा
3. संभाव्यता मिळवण्यासाठी "गणना" बटणावर क्लिक करा
4. परिणाम 0 आणि 1 च्या दरम्यान दशांश म्हणून प्रदर्शित केला जाईल

टीप: दोन्ही $\lambda$ आणि $k$ गैर-नकारात्मक संख्या असाव्यात. याव्यतिरिक्त, $k$ एक पूर्णांक असावा.

इनपुट वैधता

कॅल्क्युलेटर वापरकर्त्याच्या इनपुटवर खालील तपासणी करतो:

• $\lambda$ एक सकारात्मक संख्या असावी
• $k$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक असावा
• खूप मोठ्या $\lambda$ किंवा $k$ मूल्यांसाठी, संभाव्य संख्यात्मक अस्थिरतेबद्दल एक चेतावणी प्रदर्शित केली जाऊ शकते

जर अमान्य इनपुट आढळले, तर एक त्रुटी संदेश प्रदर्शित केला जाईल, आणि सुधारित होईपर्यंत गणना पुढे जाणार नाही.

गणना

कॅल्क्युलेटर वापरकर्त्याच्या इनपुटवर आधारित संभाव्यता गणना करण्यासाठी पोइसन वितरण सूत्राचा वापर करतो. गणनेचा एक टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरण:

1. $e^{-\lambda}$ गणना करा
2. $\lambda^k$ गणना करा
3. $k!$ (k चा गुणांक) गणना करा
4. टप्पा 1 आणि 2 च्या परिणामांचे गुणाकार करा
5. टप्पा 4 चा परिणाम टप्पा 3 च्या परिणामाने भागा

अंतिम परिणाम म्हणजे $\lambda$ सरासरी घटनांची संख्या असलेल्या अंतरालामध्ये अचूक $k$ घटनांचे होण्याची संभाव्यता.

उपयोग प्रकरणे

पोइसन वितरण विविध क्षेत्रांमध्ये विविध अनुप्रयोग आहेत:

1. कॉल सेंटर व्यवस्थापन: दिलेल्या वेळेत प्राप्त कॉल्सची संख्या भाकीत करणे.

2. गुणवत्ता नियंत्रण: उत्पादन बॅचमधील दोषांची संख्या अंदाजित करणे.

3. जीवशास्त्र: डीएनए अनुक्रमामध्ये उत्परिवर्तनांची संख्या मॉडेलिंग करणे.

4. विमा: एका कालावधीत विशिष्ट संख्या दाव्यांची संभाव्यता गणना करणे.

5. ट्रॅफिक फ्लो: दिलेल्या वेळेत एक चौरसात येणाऱ्या वाहनांची संख्या अंदाजित करणे.

6. रेडिओधर्मी विघटन: निश्चित वेळ अंतरालामध्ये उत्सर्जित कणांची संख्या भाकीत करणे.

पर्याय

पोइसन वितरण अनेक परिस्थितींसाठी उपयुक्त असले तरी, काही परिस्थितींमध्ये अधिक योग्य असलेल्या इतर वितरणांचा विचार केला जाऊ शकतो:

1. बायनॉमिअल वितरण: जेव्हा निश्चित चाचण्यांची संख्या असते आणि यशाची स्थिर संभाव्यता असते.

2. नकारात्मक बायनॉमिअल वितरण: जेव्हा तुम्हाला विशिष्ट संख्या अपयश होईपर्यंत यशाची संख्या जाणून घ्यायची असते.

3. एक्सपोनेंशियल वितरण: पोइसन-वितरित घटनांमधील वेळ मॉडेलिंगसाठी.

4. गॅमा वितरण: एक्सपोनेंशियल वितरणाचा सामान्यीकरण, जे प्रतीक्षा वेळांचे मॉडेलिंग करण्यासाठी उपयुक्त आहे.

इतिहास

पोइसन वितरण फ्रेंच गणितज्ञ सिमेओन डेनिस पोइसनने शोधले आणि 1838 मध्ये "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (गैरकायदेशीर आणि नागरी बाबींमध्ये निर्णयांच्या संभाव्यतेवर संशोधन) या कार्यात प्रकाशित केले.

प्रारंभिक काळात पोइसनच्या कामाला फारसा लक्ष मिळाला नाही. 20 व्या शतकाच्या सुरुवातीस, विशेषतः रोनाल्ड फिशरच्या कामामुळे, वितरणाला महत्त्व प्राप्त झाले, ज्याने ते जैविक समस्यांवर लागू केले.

आज, पोइसन वितरण विविध क्षेत्रांमध्ये, क्वांटम भौतिकीपासून ऑपरेशन्स संशोधनापर्यंत, त्याच्या बहुपरकारता आणि संभाव्यता सिद्धांत व सांख्यिकीमध्ये महत्त्व दर्शवित आहे.

उदाहरणे

पोइसन वितरण संभाव्यता गणना करण्यासाठी काही कोड उदाहरणे येथे आहेत:

' Excel VBA कार्य पोइसन वितरण संभाव्यता
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' वापर:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## उदाहरण वापर:
lambda_param = 2  # सरासरी दर
k = 3  # घटनांची संख्या
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"संभाव्यता: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// उदाहरण वापर:
const lambda = 2; // सरासरी दर
const k = 3; // घटनांची संख्या
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`संभाव्यता: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // सरासरी दर
        int k = 3; // घटनांची संख्या

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("संभाव्यता: %.6f%n", probability);
    }
}

हे उदाहरणे विविध प्रोग्रामिंग भाषांसाठी पोइसन वितरण संभाव्यता गणना कशी करावी हे दर्शवितात. तुम्ही या कार्यांना तुमच्या विशिष्ट गरजांसाठी अनुकूलित करू शकता किंवा मोठ्या सांख्यिकी विश्लेषण प्रणालीमध्ये समाकलित करू शकता.

संख्यात्मक उदाहरणे

1. कॉल सेंटर परिस्थिती:

   • प्रति तास सरासरी कॉल ($\lambda$) = 5
   • एका तासात अचूक 3 कॉल्सची संभाव्यता ($k$ = 3)
   • संभाव्यता ≈ 0.140373

2. उत्पादन गुणवत्ता नियंत्रण:

   • प्रति बॅच सरासरी दोष ($\lambda$) = 1.5
   • एका बॅचमध्ये एकही दोष नाही ($k$ = 0)
   • संभाव्यता ≈ 0.223130

3. रेडिओधर्मी विघटन:

   • प्रति मिनिट सरासरी उत्सर्जन ($\lambda$) = 3.5
   • एका मिनिटात अचूक 6 उत्सर्जनांची संभाव्यता ($k$ = 6)
   • संभाव्यता ≈ 0.116422

4. ट्रॅफिक फ्लो:

   • प्रति मिनिट सरासरी कार ($\lambda$) = 2
   • एका मिनिटात अचूक 5 कारांची संभाव्यता ($k$ = 5)
   • संभाव्यता ≈ 0.036288

कडव्या प्रकरणे आणि मर्यादा

1. मोठ्या $\lambda$ मूल्ये: खूप मोठ्या $\lambda$ (उदा. $\lambda > 100$) साठी, गणना संख्यात्मक अस्थिरतेमुळे अस्थिर होऊ शकते. अशा परिस्थितीत, सामान्य वितरणासारख्या अचूकतेचा विचार करणे अधिक योग्य असू शकते.

2. मोठ्या $k$ मूल्ये: मोठ्या $\lambda$ प्रमाणेच, खूप मोठ्या $k$ मूल्यांमुळे संख्यात्मक अस्थिरता उद्भवू शकते. कॅल्क्युलेटरने वापरकर्त्यांना या मर्यादांच्या जवळ जाताना चेतावणी देणे आवश्यक आहे.

3. नॉन-इंटिजर $k$: पोइसन वितरण फक्त पूर्णांक $k$ साठी परिभाषित आहे. कॅल्क्युलेटरने या अटीचे पालन करणे आवश्यक आहे.

4. लहान संभाव्यता: मोठ्या $\lambda$ आणि लहान $k$ (किंवा उलट) यांच्यातील संयोजनांसाठी, परिणामी संभाव्यता अत्यंत लहान असू शकते, ज्यामुळे काही प्रोग्रामिंग भाषांमध्ये अंडरफ्लो समस्या उद्भवू शकते.

5. स्वतंत्रतेची गृहितके: पोइसन वितरण मानते की घटनांचा स्वतंत्रपणे होतो. वास्तविक जगातील परिस्थितींमध्ये, ही गृहितके नेहमीच लागू होत नाहीत, ज्यामुळे वितरणाची उपयुक्तता मर्यादित होते.

6. स्थिर दराची गृहितके: पोइसन वितरण एक स्थिर सरासरी दर मानते. अनेक वास्तविक जगातील परिस्थितींमध्ये, दर वेळोवेळी किंवा जागेत बदलू शकतो.

7. सरासरी आणि वैरिएन्सची समानता: पोइसन वितरणात, सरासरी वैरिएन्सला समान आहे ($\lambda$). या गुणधर्माला समतुल्यता म्हणतात, जो काही वास्तविक जगातील डेटा मध्ये लागू होत नाही, ज्यामुळे अधिक किंवा कमी वितरण होऊ शकते.

पोइसन वितरण कॅल्क्युलेटर वापरताना, या मर्यादा लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे आणि विशिष्ट परिस्थितीच्या संदर्भात वितरण उपयुक्त आहे का हे विचारात घेणे आवश्यक आहे.

संदर्भ

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.