เครื่องคิดเลขการแจกแจงพอยซง

บทนำ

การแจกแจงพอยซงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่แสดงความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหรือพื้นที่ที่กำหนด โดยสมมติว่าเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นด้วยอัตราเฉลี่ยที่ทราบและเป็นอิสระจากเวลาที่ผ่านมา นับตั้งแต่เหตุการณ์สุดท้าย เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เฉพาะเจาะจงตามอัตราเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์

สูตร

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงพอยซงมีดังนี้:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

โดยที่:

• $\lambda$ (แลมบ์ดา) คือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อช่วงเวลา
• $k$ คือจำนวนเหตุการณ์ที่เรากำลังคำนวณความน่าจะเป็น
• $e$ คือเลขออยเลอร์ (ประมาณ 2.71828)

วิธีการใช้เครื่องคิดเลขนี้

1. ป้อนอัตราเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์ ($\lambda$)
2. ป้อนจำนวนเหตุการณ์ที่คุณสนใจ ($k$)
3. คลิกปุ่ม "คำนวณ" เพื่อรับความน่าจะเป็น
4. ผลลัพธ์จะแสดงเป็นทศนิยมระหว่าง 0 ถึง 1

หมายเหตุ: ทั้ง $\lambda$ และ $k$ จะต้องเป็นหมายเลขที่ไม่เป็นลบ นอกจากนี้ $k$ จะต้องเป็นจำนวนเต็ม

การตรวจสอบข้อมูลนำเข้า

เครื่องคิดเลขจะทำการตรวจสอบต่อไปนี้เกี่ยวกับข้อมูลนำเข้าของผู้ใช้:

• $\lambda$ จะต้องเป็นหมายเลขบวก
• $k$ จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
• สำหรับค่าที่ใหญ่เกินไปของ $\lambda$ หรือ $k$ อาจมีการแสดงคำเตือนเกี่ยวกับความไม่เสถียรทางตัวเลข

หากตรวจพบข้อมูลนำเข้าที่ไม่ถูกต้อง จะมีข้อความแสดงข้อผิดพลาดปรากฏขึ้น และการคำนวณจะไม่ดำเนินการจนกว่าจะมีการแก้ไข

การคำนวณ

เครื่องคิดเลขใช้สูตรการแจกแจงพอยซงในการคำนวณความน่าจะเป็นตามข้อมูลนำเข้าของผู้ใช้ นี่คือคำอธิบายทีละขั้นตอนของการคำนวณ:

1. คำนวณ $e^{-\lambda}$
2. คำนวณ $\lambda^k$
3. คำนวณ $k!$ (แฟกทอเรียลของ $k$)
4. คูณผลลัพธ์จากขั้นตอนที่ 1 และ 2
5. แบ่งผลลัพธ์จากขั้นตอนที่ 4 ด้วยผลลัพธ์จากขั้นตอนที่ 3

ผลลัพธ์สุดท้ายคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $k$ ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์คือ $\lambda$

กรณีการใช้งาน

การแจกแจงพอยซงมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา:

1. การจัดการศูนย์บริการโทรศัพท์: คาดการณ์จำนวนการโทรที่ได้รับในช่วงเวลาที่กำหนด

2. การควบคุมคุณภาพ: ประเมินจำนวนข้อบกพร่องในชุดการผลิต

3. ชีววิทยา: โมเดลจำนวนการกลายพันธุ์ในลำดับดีเอ็นเอ

4. ประกันภัย: คำนวณความน่าจะเป็นของการเรียกร้องในช่วงเวลาหนึ่ง

5. การไหลของการจราจร: ประเมินจำนวนรถยนต์ที่มาถึงที่สี่แยกในช่วงเวลา

6. การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี: คาดการณ์จำนวนอนุภาคที่ปล่อยออกมาในช่วงเวลาที่กำหนด

ทางเลือก

ในขณะที่การแจกแจงพอยซงมีประโยชน์สำหรับหลายสถานการณ์ แต่ก็มีการแจกแจงอื่น ๆ ที่อาจเหมาะสมกว่าในบางสถานการณ์:

1. การแจกแจงแบบไบนอม: เมื่อมีจำนวนการทดลองที่แน่นอนพร้อมความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่คงที่

2. การแจกแจงแบบไบนอมลบ: เมื่อคุณสนใจในจำนวนความสำเร็จก่อนที่จะเกิดความล้มเหลวที่กำหนด

3. การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล: สำหรับการสร้างแบบจำลองเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่แจกแจงพอยซง

4. การแจกแจงแบบแกมมา: การทั่วไปของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองเวลารอ

ประวัติศาสตร์

การแจกแจงพอยซงถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Siméon Denis Poisson และตีพิมพ์ในปี 1838 ในงานของเขา "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (การวิจัยเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการตัดสินในเรื่องอาญาและเรื่องแพ่ง)

ในตอนแรก งานของพอยซงไม่ได้รับความสนใจมากนัก จนกระทั่งต้นศตวรรษที่ 20 การแจกแจงนี้ได้รับความนิยม โดยเฉพาะผ่านผลงานของนักสถิติอย่าง Ronald Fisher ที่นำไปใช้กับปัญหาทางชีวภาพ

ในปัจจุบัน การแจกแจงพอยซงถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขา ตั้งแต่ฟิสิกส์ควอนตัมไปจนถึงการวิจัยการดำเนินงาน แสดงให้เห็นถึงความหลากหลายและความสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ

ตัวอย่าง

นี่คือตัวอย่างโค้ดเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงพอยซง:

1' ฟังก์ชัน VBA ใน Excel สำหรับความน่าจะเป็นของการแจกแจงพอยซง
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' การใช้งาน:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## ตัวอย่างการใช้งาน:
7lambda_param = 2  # อัตราเฉลี่ย
8k = 3  # จำนวนเหตุการณ์
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"ความน่าจะเป็น: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// ตัวอย่างการใช้งาน:
7const lambda = 2; // อัตราเฉลี่ย
8const k = 3; // จำนวนเหตุการณ์
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`ความน่าจะเป็น: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // อัตราเฉลี่ย
13        int k = 3; // จำนวนเหตุการณ์
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("ความน่าจะเป็น: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงพอยซงสำหรับภาษาการเขียนโปรแกรมต่าง ๆ คุณสามารถปรับฟังก์ชันเหล่านี้ให้เหมาะสมกับความต้องการเฉพาะของคุณหรือรวมเข้ากับระบบการวิเคราะห์ทางสถิติที่ใหญ่กว่า

ตัวอย่างเชิงตัวเลข

1. สถานการณ์ศูนย์บริการโทรศัพท์:

   • จำนวนการโทรเฉลี่ยต่อชั่วโมง ($\lambda$) = 5
   • ความน่าจะเป็นของการโทร 3 ครั้งในชั่วโมง ($k$ = 3)
   • ความน่าจะเป็น ≈ 0.140373

2. การควบคุมคุณภาพการผลิต:

   • จำนวนข้อบกพร่องเฉลี่ยต่อชุด ($\lambda$) = 1.5
   • ความน่าจะเป็นของไม่มีข้อบกพร่องในชุด ($k$ = 0)
   • ความน่าจะเป็น ≈ 0.223130

3. การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี:

   • จำนวนการปล่อยเฉลี่ยต่อนาที ($\lambda$) = 3.5
   • ความน่าจะเป็นของการปล่อย 6 ครั้งในนาที ($k$ = 6)
   • ความน่าจะเป็น ≈ 0.116422

4. การไหลของการจราจร:

   • จำนวนรถยนต์เฉลี่ยต่อนาที ($\lambda$) = 2
   • ความน่าจะเป็นของรถยนต์ 5 คันในนาที ($k$ = 5)
   • ความน่าจะเป็น ≈ 0.036288

กรณีขอบและข้อจำกัด

1. ค่าของ $\lambda$ ที่ใหญ่: สำหรับ $\lambda$ ที่ใหญ่เกินไป (เช่น $\lambda > 100$) การคำนวณอาจไม่เสถียรทางตัวเลขเนื่องจากสมาชิกในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและแฟกทอเรียล ในกรณีเช่นนี้ การประมาณค่าด้วยการแจกแจงแบบปกติอาจเหมาะสมกว่า

2. ค่าของ $k$ ที่ใหญ่: คล้ายกับ $\lambda$ ที่ใหญ่ ค่าของ $k$ ที่ใหญ่เกินไปอาจทำให้เกิดความไม่เสถียรทางตัวเลข เครื่องคิดเลขควรเตือนผู้ใช้เมื่อใกล้ถึงขีดจำกัดเหล่านี้

3. $k$ ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม: การแจกแจงพอยซงถูกกำหนดเฉพาะสำหรับ $k$ ที่เป็นจำนวนเต็ม เครื่องคิดเลขควรบังคับใช้ข้อกำหนดนี้

4. ความน่าจะเป็นที่เล็ก: สำหรับการรวมกันของ $\lambda$ ที่ใหญ่และ $k$ ที่เล็ก (หรือในทางกลับกัน) ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นอาจเล็กมาก ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาการล้นในบางภาษาการเขียนโปรแกรม

5. สมมติฐานความเป็นอิสระ: การแจกแจงพอยซงสมมติว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างอิสระ ในสถานการณ์จริง สมมติฐานนี้อาจไม่ถูกต้องเสมอไป ซึ่งจะจำกัดการนำไปใช้ของการแจกแจงนี้

6. สมมติฐานอัตราคงที่: การแจกแจงพอยซงสมมติว่าอัตราเฉลี่ยคงที่ ในหลายสถานการณ์จริง อัตราอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา หรือพื้นที่

7. ความเท่าเทียมของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน: ในการแจกแจงพอยซง ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับความแปรปรวน ($\lambda$) คุณสมบัตินี้เรียกว่า equidispersion อาจไม่เป็นจริงในข้อมูลจริงบางชุด ซึ่งอาจนำไปสู่การกระจายเกินหรือไม่ถึง

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขการแจกแจงพอยซง สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงข้อจำกัดเหล่านี้และพิจารณาว่าการแจกแจงนี้เหมาะสมสำหรับสถานการณ์เฉพาะที่อยู่ในมือหรือไม่

อ้างอิง

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.