Calculadora de Curva Vertical - Ferramenta de Projeto de Rodovias e Estradas

O que é uma calculadora de curva vertical?

Uma calculadora de curva vertical determina as cotas, o valor K e os pontos principais de uma curva vertical, a curva parabólica usada pelos engenheiros para unir suavemente dois greides rodoviários. Em vez de a estrada se encontrar em um ângulo acentuado, onde a inclinação muda bruscamente, uma curva vertical combina as duas inclinações em uma única curva contínua. Isso torna o percurso mais suave, permite que os motoristas enxerguem uma distância suficiente à frente para parar com segurança e ajuda a drenar a água adequadamente.

Os engenheiros usam curvas verticais no projeto de rodovias, ruas, ferrovias, pistas de aeroportos e terrenos nivelados, como estacionamentos. Sempre que uma estrada ou via férrea precisa mudar de inclinação, uma curva vertical realiza essa transição.

Curvas convexas e curvas côncavas

Uma curva vertical é de um de dois tipos, dependendo de como os greides (inclinações) se comparam antes e depois da curva. Um greide é escrito como porcentagem: um greide de 3% sobe 3 metros a cada 100 metros percorridos.

• Curva convexa: o greide inicial é maior que o greide final (g₁ > g₂). A estrada sobe, passa por um ponto alto e depois desce — como o topo de uma colina.
• Curva côncava: o greide inicial é menor que o greide final (g₁ < g₂). A estrada desce, passa por um ponto baixo e depois sobe — como o fundo de uma depressão.
• Se os dois greides forem iguais, nenhuma curva será necessária. A estrada já é uma linha reta.

As curvas convexas são mais importantes para a distância de visibilidade de parada: o motorista precisa enxergar uma distância suficiente à frente para parar antes de atingir um obstáculo. As curvas côncavas são mais importantes para a distância de visibilidade proporcionada pelos faróis à noite e para a drenagem, pois a água se acumula no ponto baixo.

Termos principais

• PVI (Ponto de Interseção Vertical): o ponto onde as duas linhas retas dos greides se encontrariam se não houvesse uma curva.
• PVC (ponto de curva vertical): onde a curva começa.
• PVT (ponto de tangência vertical): onde a curva termina.
• Valor K: o comprimento da curva dividido pela variação da rampa. Mede quão suave é a curva.
• Estaca: uma medida de distância ao longo do eixo da estrada, usada em vez de coordenadas simples. Nesta calculadora, a estaca e a cota são inseridas em metros.

Normalmente, uma curva é simétrica: o PVC fica à metade do comprimento da curva antes do PVI, e o PVT fica à metade do comprimento da curva depois dele.

Fórmula da curva vertical

A cota em qualquer ponto da curva segue uma equação quadrática (parabólica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = cota à distância $x$ do PVC
• $y_{PVC}$ = cota no PVC
• $g_1$ = greide inicial, na forma decimal (um greide de 3% é 0,03)
• $A$ = diferença algébrica entre os greides, $g_2 - g_1$ (na forma decimal)
• $L$ = comprimento da curva

Fórmula do valor K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Aqui, $g_1$ e $g_2$ são porcentagens. Um K maior indica uma curva mais plana e gradual. Manuais de projeto, como o "A Policy on Geometric Design of Highways and Streets", da AASHTO, estabelecem valores K mínimos para rodovias com base na velocidade de projeto e no fato de a curva ser convexa ou côncava.

Se $g_1$ é igual a $g_2$, a variação de rampa é zero e K é indefinido (a calculadora o informa como infinito).

PVC e PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ e $g_2$ são porcentagens aqui; dividir por 200 converte a porcentagem em decimal e aplica o resultado à metade do comprimento da curva.)

Ponto alto ou ponto baixo

Um ponto alto (curva convexa) ou um ponto baixo (curva côncava) existe dentro da curva sempre que as duas rampas têm sinais opostos. Sua distância ao PVC é:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Some $x$ à estaca do PVC para obter a estaca do ponto alto ou baixo e, em seguida, use a fórmula da cota acima para encontrar a cota desse ponto.

Como calcular uma curva vertical

1. Insira o greide inicial e o greide final, em porcentagem. Use um número positivo para uma inclinação ascendente e um número negativo para uma inclinação descendente.
2. Insira o comprimento da curva, em metros.
3. Insira a estaca do PVI e a cota do PVI, ambas em metros.
4. Consulte o tipo de curva (convexa, côncava ou nenhuma), o valor K e as estacas e cotas do PVC e do PVT.
5. Se as rampas têm sinais opostos, a calculadora também informa o ponto alto ou baixo.
6. Para encontrar a cota em qualquer outro ponto, informe uma estaca de consulta. Se essa estaca estiver fora da curva, a calculadora informa que ela está fora da curva, em vez de mostrar um número.

Exemplo resolvido: curva convexa

Uma estrada sobe com um greide de 3% e depois desce com −2%. O PVI está na estaca 1000,00 m, com cota 150,00 m. O comprimento da curva é 400 m.

Valor K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: estaca $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; cota $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: estaca $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; cota $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Ponto alto: como 3 e −2 têm sinais opostos, existe um ponto alto. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m a partir do PVC, portanto sua estaca é $800 + 240 = 1040.00$ m. Sua cota é $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Exemplo resolvido: curva côncava

Uma estrada desce com −3% e depois sobe com 2%. O PVI está na estaca 500,00 m, com cota 85,00 m. O comprimento da curva é 200 m.

Valor K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: estaca $= 400.00$ m; cota $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: estaca $= 600.00$ m; cota $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Ponto baixo: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m a partir do PVC, portanto sua estaca é $400 + 120 = 520.00$ m. Sua cota é $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Esse ponto baixo é onde a água superficial se acumula; portanto, é nele que o projetista instala uma boca de lobo, e não no PVI.

Perguntas frequentes

O que é o valor K no projeto de curvas verticais? O valor K é o comprimento da curva dividido pela diferença absoluta entre as duas rampas. Mostra quantos metros de curva produzem uma variação de rampa de 1%. Um valor K maior significa uma curva mais plana e mais suave.

Como saber se preciso de uma curva convexa ou côncava? Compare as duas rampas. Se a rampa inicial for maior que a final, a curva é convexa. Se a rampa inicial for menor que a final, a curva é côncava. Rampas iguais não precisam de curva alguma.

O que acontece se a rampa inicial e a final forem iguais? Não é necessária nenhuma curva vertical, pois a via já é reta. O valor K é indefinido porque exigiria dividir por uma variação de rampa igual a zero.

Como encontrar o ponto alto ou baixo de uma curva? Ele só existe quando as duas rampas têm sinais opostos. Sua distância ao PVC é $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Some esse valor à estaca do PVC para obter sua posição e, em seguida, use a fórmula da cota da curva para obter sua altura.

Por que o ponto baixo de uma curva côncava importa para a drenagem? A água que escorre pelos dois lados da curva côncava se acumula no ponto baixo. Se uma boca de lobo for colocada no PVI em vez de no ponto baixo real, a água pode empoçar na via, já que os dois pontos raramente coincidem.

Uma estaca de consulta pode ficar fora da curva? Sim. A fórmula da cota só vale entre o PVC e o PVT. Uma estaca fora desse intervalo não tem cota definida na curva, e por isso a calculadora a informa como fora da curva.

Referências

1. Texas Department of Transportation. Roadway Design Manual, 4.8.2 Vertical Curves. Manual de projeto rodoviário do TxDOT: curvas verticais — as curvas verticais são parábolas simples; comprimento da curva L = KA, em que A é a diferença algébrica das rampas em porcentagem.
2. Levinson, D., et al. Fundamentals of Transportation, 7,5 Curvas verticais (Engineering LibreTexts). Fundamentos de transporte: curvas verticais — cota y = y_PVC + g₁x + (g₂ − g₁)x²/2 L; ponto alto ou baixo em x = g₁L/(g₁ − g₂); PVC e PVT ficam cada um a L/2 do PVI.