Calculadora de Curva Vertical - Ferramenta de Projeto de Rodovias e Estradas

O que é uma calculadora de curva vertical?

Uma calculadora de curva vertical determina as cotas, o valor K e os pontos principais de uma curva vertical, a curva parabólica usada pelos engenheiros para unir suavemente dois greides rodoviários. Em vez de a estrada se encontrar em um ângulo acentuado, onde a inclinação muda bruscamente, uma curva vertical combina as duas inclinações em uma única curva contínua. Isso torna o percurso mais suave, permite que os motoristas enxerguem uma distância suficiente à frente para parar com segurança e ajuda a drenar a água adequadamente.

Os engenheiros usam curvas verticais no projeto de rodovias, ruas, ferrovias, pistas de aeroportos e terrenos nivelados, como estacionamentos. Sempre que uma estrada ou via férrea precisa mudar de inclinação, uma curva vertical realiza essa transição.

Curvas convexas e curvas côncavas

Uma curva vertical é de um de dois tipos, dependendo de como os greides (inclinações) se comparam antes e depois da curva. Um greide é escrito como porcentagem: um greide de 3% sobe 3 metros a cada 100 metros percorridos.

• Curva convexa: o greide inicial é maior que o greide final (g₁ > g₂). A estrada sobe, passa por um ponto alto e depois desce — como o topo de uma colina.
• Curva côncava: o greide inicial é menor que o greide final (g₁ < g₂). A estrada desce, passa por um ponto baixo e depois sobe — como o fundo de uma depressão.
• Se os dois greides forem iguais, nenhuma curva será necessária. A estrada já é uma linha reta.

As curvas convexas são mais importantes para a distância de visibilidade de parada: o motorista precisa enxergar uma distância suficiente à frente para parar antes de atingir um obstáculo. As curvas côncavas são mais importantes para a distância de visibilidade proporcionada pelos faróis à noite e para a drenagem, pois a água se acumula no ponto baixo.

Termos principais

• PVI (Ponto de Interseção Vertical): o ponto onde as duas linhas retas dos greides se encontrariam se não houvesse uma curva.
• PVC (Ponto de Curva Vertical): onde a curva começa.
• PVT (Ponto de Tangência Vertical): onde a curva termina.
• Valor K: o comprimento da curva dividido pela variação do greide. Mede o quão gradual é a curva.
• Estaca: uma medida de distância ao longo do eixo da estrada, usada em vez de coordenadas simples. Nesta calculadora, a estaca e a cota são inseridas em metros.

Normalmente, uma curva é simétrica: o PVC fica à metade do comprimento da curva antes do PVI, e o PVT fica à metade do comprimento da curva depois dele.

Fórmula da curva vertical

A cota em qualquer ponto da curva segue uma equação quadrática (parabólica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = cota à distância $x$ do PVC
• $y_{PVC}$ = cota no PVC
• $g_1$ = greide inicial, na forma decimal (um greide de 3% é 0,03)
• $A$ = diferença algébrica entre os greides, $g_2 - g_1$ (na forma decimal)
• $L$ = comprimento da curva

Fórmula do valor K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Aqui, $g_1$ e $g_2$ são porcentagens. Um K maior indica uma curva mais plana e gradual. Manuais de projeto, como o "A Policy on Geometric Design of Highways and Streets", da AASHTO, estabelecem valores K mínimos para rodovias com base na velocidade de projeto e no fato de a curva ser convexa ou côncava.

Se $g_1$ for igual a $g_2$, a variação do greide será zero e K será indefinido. Nesse caso, a calculadora mostra um traço no lugar do valor K. Greides que diferem por menos de 0,0001% são considerados iguais.

PVC e PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ e $g_2$ são porcentagens aqui; dividir por 200 converte a porcentagem em decimal e aplica o resultado à metade do comprimento da curva.)

Ponto alto ou ponto baixo

Um ponto alto (curva convexa) ou ponto baixo (curva côncava) situa-se na curva quando os dois greides têm sinais opostos ou quando um deles é exatamente zero. Sua distância do PVC é:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Some $x$ à estaca do PVC para obter a estaca do ponto alto ou baixo e, em seguida, use a fórmula da cota acima para encontrar sua cota. Quando os dois greides têm o mesmo sinal, esse ponto fica fora do intervalo entre o PVC e o PVT; portanto, a estrada continua subindo ou continua descendo em toda a curva, e a calculadora informa que não há ponto alto ou baixo. Quando um greide é zero, o ponto fica exatamente no PVC ou no PVT.

Como calcular uma curva vertical

1. Insira o greide inicial e o greide final, em porcentagem. Use um número positivo para uma inclinação ascendente e um número negativo para uma inclinação descendente.
2. Insira o comprimento da curva, em metros.
3. Insira a estaca do PVI e a cota do PVI, ambas em metros.
4. Consulte o tipo de curva (convexa, côncava ou nenhuma), o valor K e as estacas e cotas do PVC e do PVT.
5. Se os greides tiverem sinais opostos ou se um deles for zero, a calculadora também informará o ponto alto ou baixo.
6. Para encontrar a cota em qualquer outro ponto, insira uma estaca de consulta. Se essa estaca estiver fora da curva, a calculadora informará isso em vez de fornecer um número, pois a fórmula só se aplica entre o PVC e o PVT.

Exemplo resolvido: curva convexa

Uma estrada sobe com um greide de 3% e depois desce com -2%. O PVI está na estaca 1000,00 m, com cota 150,00 m. O comprimento da curva é 400 m.

Valor K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: estaca $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; cota $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: estaca $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; cota $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Ponto alto: como 3 e −2 têm sinais opostos, existe um ponto alto. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m a partir do PVC; portanto, sua estaca é $800 + 240 = 1040.00$ m. Sua cota é $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Exemplo resolvido: curva côncava

Uma estrada desce com -3% e depois sobe com 2%. O PVI está na estaca 500,00 m, com cota 85,00 m. O comprimento da curva é 200 m.

Valor K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: estaca $= 400.00$ m; cota $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: estaca $= 600.00$ m; cota $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Ponto baixo: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m a partir do PVC; portanto, sua estaca é $400 + 120 = 520.00$ m. Sua cota é $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Esse ponto baixo é onde a água superficial se acumula; portanto, é nele que o projetista instala uma boca de lobo, e não no PVI.

Perguntas frequentes

O que é um valor K no projeto de curvas verticais? O valor K é o comprimento da curva dividido pela diferença absoluta entre os dois greides. Ele indica quantos metros de curva correspondem a uma variação de 1% no greide. Um valor K maior indica uma curva mais plana e gradual.

Como saber se preciso de uma curva convexa ou côncava? Compare os dois greides. Se o greide inicial for maior que o final, trata-se de uma curva convexa. Se o greide inicial for menor que o final, trata-se de uma curva côncava. Greides iguais não precisam de curva.

O que acontece se os greides inicial e final forem iguais? Nenhuma curva vertical será necessária, pois a estrada já é reta. O valor K será indefinido porque exigiria uma divisão por uma variação de greide igual a zero; por isso, a calculadora mostra um traço em vez de um número.

Como encontrar o ponto alto ou baixo de uma curva? Ele existe quando os dois greides têm sinais opostos ou quando um deles é zero. Sua distância do PVC é $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Some esse valor à estaca do PVC para determinar sua localização e, em seguida, use a fórmula da cota da curva para determinar sua altura. Greides com o mesmo sinal colocam esse ponto fora da curva; portanto, ele não existe.

Por que o ponto baixo de uma curva côncava é importante para a drenagem? A água que desce pelos dois lados da curva côncava se acumula no ponto baixo. Se uma boca de lobo for instalada no PVI em vez de ser instalada no verdadeiro ponto baixo, a água poderá empoçar na estrada, pois os dois pontos raramente coincidem.

Uma estaca de consulta pode ficar fora da curva? Sim. A fórmula da cota só se aplica entre o PVC e o PVT. Uma estaca fora desse intervalo não tem uma cota definida na curva; por isso, a calculadora informa que ela está fora da curva.