Rješavač kvadratnih jednadžbi

Uvod

Kvadratna jednadžba je polinomijalna jednadžba drugog stupnja u jednoj varijabli. U svom standardnom obliku, kvadratna jednadžba se piše kao:

$ax^2 + bx + c = 0$

gdje su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi i $a \neq 0$. Izraz $ax^2$ se naziva kvadratni član, $bx$ je linearni član, a $c$ je konstantni član.

Ovaj kalkulator omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi unosom koeficijenata $a$, $b$ i $c$. Koristi kvadratnu formulu za pronalaženje korijena (rješenja) jednadžbe i pruža jasan, formatiran ishod rezultata.

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Unesite koeficijent $a$ (mora biti različit od nule)
2. Unesite koeficijent $b$
3. Unesite koeficijent $c$
4. Odaberite željenu preciznost za rezultate (broj decimalnih mjesta)
5. Kliknite na gumb "Riješi"
6. Kalkulator će prikazati korijene (ako postoje) i dodatne informacije o prirodi rješenja

Formula

Kvadratna formula se koristi za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Za jednadžbu u obliku $ax^2 + bx + c = 0$, rješenja su dana s:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Izraz ispod kvadratnog korijena, $b^2 - 4ac$, naziva se diskriminanta. Ona određuje prirodu korijena:

• Ako je $b^2 - 4ac > 0$, postoje dva različita realna korijena
• Ako je $b^2 - 4ac = 0$, postoji jedan realni korijen (ponovljeni korijen)
• Ako je $b^2 - 4ac < 0$, nema realnih korijena (dva kompleksna konjugirana korijena)

Izračun

Kalkulator provodi sljedeće korake za rješavanje kvadratne jednadžbe:

1. Validacija unosa:

   • Osigurati da $a$ nije nula
   • Provjeriti jesu li koeficijenti unutar valjanog raspona (npr. između -1e10 i 1e10)

2. Izračunati diskriminantu: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. Odrediti prirodu korijena na temelju diskriminante

4. Ako postoje realni korijeni, izračunati ih koristeći kvadratnu formulu: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. Zaokružiti rezultate na navedenu preciznost

6. Prikazati rezultate, uključujući:

   • Prirodu korijena
   • Vrijednosti korijena (ako su realni)
   • Jednadžbu u standardnom obliku

Validacija unosa i rukovanje greškama

Kalkulator provodi sljedeće provjere:

• Koeficijent $a$ mora biti različit od nule. Ako je $a = 0$, prikazuje se poruka o grešci.
• Svi koeficijenti moraju biti valjani brojevi. Ne-numerički unosi se odbacuju.
• Koeficijenti moraju biti unutar razumnog raspona (npr. između -1e10 i 1e10) kako bi se izbjegle greške preljeva.

Primjene

Kvadratne jednadžbe imaju brojne primjene u raznim područjima:

1. Fizika: Opisivanje projektilnog kretanja, izračunavanje vremena pada objekata i analiza jednostavnog harmonijskog gibanja.

2. Inženjerstvo: Projektiranje parabolskih reflektora za osvjetljenje ili telekomunikacije, optimizacija površine ili volumena u građevinskim projektima.

3. Ekonomija: Modeliranje krivulja ponude i potražnje, optimizacija funkcija profita.

4. Računalna grafika: Prikaz parabolskih krivulja i površina, izračunavanje presjeka između geometrijskih oblika.

5. Financije: Izračunavanje složenih kamata, modeli cijena opcija.

6. Biologija: Modeliranje rasta populacije s ograničavajućim faktorima.

Alternativa

Iako je kvadratna formula moćan alat za rješavanje kvadratnih jednadžbi, postoje alternativne metode koje mogu biti prikladnije u određenim situacijama:

1. Faktorizacija: Za jednadžbe s cijelim koeficijentima i jednostavnim racionalnim korijenima, faktorizacija može biti brža i pružiti više uvida u strukturu jednadžbe.

2. Dovršavanje kvadrata: Ova metoda je korisna za izvođenje kvadratne formule i za transformaciju kvadratnih funkcija u oblik vrha.

3. Grafičke metode: Prikazivanje kvadratne funkcije i pronalaženje njenih x-presjeka može pružiti vizualno razumijevanje korijena bez eksplicitnog izračuna.

4. Numeričke metode: Za vrlo velike koeficijente ili kada je potrebna velika preciznost, numeričke metode poput Newton-Raphsonove metode mogu biti stabilnije.

Povijest

Povijest kvadratnih jednadžbi datira još iz drevnih civilizacija:

• Babilonci (c. 2000 pr. Kr.): Rješavali su specifične kvadratne jednadžbe koristeći tehnike koje su ekvivalentne dovršavanju kvadrata.
• Drevni Grci (c. 400 pr. Kr.): Geometrijski su rješavali kvadratne jednadžbe.
• Indijski matematičari (c. 600. n. e.): Brahmagupta je pružio prvu eksplicitnu formulu za rješavanje kvadratnih jednadžbi.
• Islamsko zlatno doba (c. 800. n. e.): Al-Khwarizmi je sustavno rješavao kvadratne jednadžbe koristeći algebarske metode.
• Renesansa u Europi: Opća algebarska rješenja (kvadratna formula) postala su široko poznata i korištena.

Moderni oblik kvadratne formule dovršen je u 16. stoljeću, iako su njeni sastavni dijelovi bili poznati mnogo ranije.

Primjeri

Evo primjera koda za rješavanje kvadratnih jednadžbi u raznim programskim jezicima:

1' Excel VBA funkcija za rješavač kvadratne jednadžbe
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "Dva realna korijena: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "Jedan realni korijen: x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "Nema realnih korijena"
17    End If
18End Function
19' Upotreba:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"Dva realna korijena: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"Jedan realni korijen: x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "Nema realnih korijena"
14
15# Primjer upotrebe:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `Dva realna korijena: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `Jedan realni korijen: x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "Nema realnih korijena";
12  }
13}
14
15// Primjer upotrebe:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("Dva realna korijena: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("Jedan realni korijen: x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "Nema realnih korijena";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

Numerički primjeri

1. Dva realna korijena:

   • Jednadžba: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • Koeficijenti: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • Rezultat: Dva realna korijena: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. Jedan realni korijen (ponovljeni):

   • Jednadžba: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • Koeficijenti: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • Rezultat: Jedan realni korijen: $x = -2.00$

3. Nema realnih korijena:

   • Jednadžba: $x^2 + x + 1 = 0$
   • Koeficijenti: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • Rezultat: Nema realnih korijena

4. Veliki koeficijenti:

   • Jednadžba: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • Koeficijenti: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • Rezultat: Dva realna korijena: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Grafičko prikazivanje kvadratnih funkcija

Graf kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ je parabola. Korijeni kvadratne jednadžbe odgovaraju x-presjecima ove parabole. Ključne točke na grafu uključuju:

• Vrh: Najviša ili najniža točka parabole, dana s $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$
• Os simetrije: Vertikalna linija koja prolazi kroz vrh, dana s $x = -b/(2a)$
• y-presjek: Točka gdje parabola presijeca y-os, dana s $(0, c)$

Smjer i širina parabole određeni su koeficijentom $a$:

• Ako je $a > 0$, parabola se otvara prema gore
• Ako je $a < 0$, parabola se otvara prema dolje
• Veće apsolutne vrijednosti $a$ rezultiraju užim parabolama

Razumijevanje grafa može pružiti uvid u prirodu i vrijednosti korijena bez eksplicitnog izračuna.

Reference

1. Weisstein, Eric W. "Kvadratna jednadžba." Iz MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Kvadratna jednadžba." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Larson, Ron, i Bruce Edwards. Calculus. 10. izd., Cengage Learning, 2014.
4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8. izd., Cengage Learning, 2015.
5. "Povijest kvadratne jednadžbe." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340