Kikokotoo cha Mkononi wa Mduara

Hesabu ya Mkononi wa Mkononi

Utangulizi

Mkononi wa mduara wa kulia ni umbo la jiometri la tatu ambalo linapungua kwa urahisi kutoka kwa msingi wa mduara wa gorofa hadi sehemu ya juu inayoitwa kilele au kona. Inaitwa "kulia" kwa sababu sehemu ya mstari (mhimili) inayounganisha kilele na katikati ya msingi ni perpendicular kwa msingi. Hesabu hii inakusaidia kupata mali muhimu za mkononi wa mduara wa kulia:

Eneo la Jumla la Uso (A): Jumla ya eneo la msingi na eneo la uso wa upande.
Jumla ya Nafasi (V): Kiasi cha nafasi kilichozungukwa ndani ya mkononi.
Eneo la Uso wa Kando (Aₗ): Eneo la uso wa upande wa mkononi.
Eneo la Uso wa Msingi (A_b): Eneo la msingi wa mduara.

Kuelewa mali hizi ni muhimu katika nyanja kama uhandisi, usanifu, na sayansi mbalimbali za kimwili.

Fomula

Maelezo

Kuweka:

r = Radius ya msingi
h = Kimo cha mkononi (kiasi cha perpendicular kutoka kwa msingi hadi kilele)
l = Urefu wa slant wa mkononi

Urefu wa slant (l) unaweza kuhesabiwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Hesabu

Eneo la Uso wa Msingi (A_b):

Eneo la msingi wa mduara linatolewa na:
$A_b = \pi r^2$
Eneo la Uso wa Kando (Aₗ):

Eneo la uso wa kando ni eneo la uso wa upande wa mkononi:
$Aₗ = \pi r l$
Eneo la Jumla la Uso (A):

Jumla ya eneo la msingi na eneo la uso wa kando:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Jumla ya Nafasi (V):

Nafasi iliyo ndani ya mkononi:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Mambo ya Kando

Radius Sifuri (r = 0): Ikiwa radius ni sifuri, mkononi unakua mstari, na kusababisha nafasi na maeneo yote kuwa sifuri.
Kimo Sifuri (h = 0): Ikiwa kimo ni sifuri, mkononi unakuwa diski gorofa (msingi), na nafasi ni sifuri. Eneo la jumla la uso ni sawa na eneo la msingi.
Thamani Mbaya: Thamani hasi za radius au kimo si za kimwili katika muktadha huu. Hesabu inasisitiza kuwa r ≥ 0 na h ≥ 0.

Matumizi

Uhandisi na Ubunifu

Utengenezaji: Kubuni sehemu za mkononi kama vile funnels, koni za ulinzi, na sehemu za mashine.
Ujenzi: Kuamua vifaa vinavyohitajika kwa paa za mkononi, minara, au miundo ya msaada.

Sayansi za Kimwili

Optics: Kuelewa kueneza kwa mwanga katika miundo ya mkononi.
Jiolojia: Kuweka mfano wa koni za volkano na kuhesabu kiasi cha chumba cha magma.

Elimu ya Hisabati

Kufundisha Jiometri: Kuonyesha kanuni za jiometri ya tatu na hesabu.
Kutatua Matatizo: Kutoa matumizi halisi ya dhana za kihesabu.

Mbadala

Hesabu za Silinda: Kwa umbo zenye sehemu za msalaba sawa, fomula za silinda zinaweza kuwa bora zaidi.
Frustum ya Mkononi: Ikiwa mkononi umekatwa (ukakatwa), hesabu za frustum ya mkononi zinahitajika.

Historia

Utafiti wa makoni ulianza nyuma ya wanajiometri wa kale wa Kigiriki kama Euclid na Apollonius wa Perga, ambao walijifunza kwa mfumo wa sehemu za conic. Makoni yamekuwa muhimu katika maendeleo ya jiometri, hesabu, na yana matumizi katika astronomia na fizikia.

Vipengele vya Euclid: Maanani ya mapema na mali za makoni.
Sehemu za Conic za Apollonius: Utafiti wa kina wa curves zinazoundwa kwa kukutana kwa mkononi na ndege.
Maendeleo ya Hesabu: Hesabu ya nafasi na maeneo ilichangia katika hesabu ya kiintegrali.

Mifano

Mfano wa Nambari

Kutoa mkononi wenye radius r = 5 vitengo na kimo h = 12 vitengo.

Hesabu urefu wa slant (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ vitengo}$
Eneo la Uso wa Msingi (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ vitengo}^2$
Eneo la Uso wa Kando (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ vitengo}^2$
Eneo la Jumla la Uso (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ vitengo}^2$
Jumla ya Nafasi (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ vitengo}^3$

Mifano ya Kode

Excel

' Hesabu mali za mkononi wa mduara wa kulia katika Excel VBA
Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
    If r < 0 Or h < 0 Then
        ConeProperties = "Radius na kimo lazima viwe na thamani zisizo hasi."
        Exit Function
    End If
    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
    ConeProperties = "Eneo la Msingi: " & A_b & vbCrLf & _
                     "Eneo la Kando: " & A_l & vbCrLf & _
                     "Eneo la Jumla la Uso: " & A & vbCrLf & _
                     "Jumla ya Nafasi: " & V
End Function
' Matumizi katika seli ya Excel:
' =ConeProperties(5, 12)

Python

import math

def cone_properties(r, h):
    if r < 0 or h < 0:
        return "Radius na kimo lazima viwe na thamani zisizo hasi."
    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
    A_b = math.pi * r ** 2
    A_l = math.pi * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
    return {
        'Eneo la Msingi': A_b,
        'Eneo la Kando': A_l,
        'Eneo la Jumla la Uso': A,
        'Jumla ya Nafasi': V
    }

## Matumizi ya mfano
result = cone_properties(5, 12)
for key, value in result.items():
    print(f"{key}: {value:.4f}")

JavaScript

function coneProperties(r, h) {
  if (r < 0 || h < 0) {
    return "Radius na kimo lazima viwe na thamani zisizo hasi.";
  }
  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
  const A_b = Math.PI * r ** 2;
  const A_l = Math.PI * r * l;
  const A = A_b + A_l;
  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
  return {
    eneoMsingi: A_b,
    eneoKando: A_l,
    eneoJumla: A,
    jumlaNafasi: V,
  };
}

// Matumizi ya mfano
const result = coneProperties(5, 12);
for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
}

Java

public class RightCircularCone {
    public static void main(String[] args) {
        double r = 5;
        double h = 12;
        String result = coneProperties(r, h);
        System.out.println(result);
    }

    public static String coneProperties(double r, double h) {
        if (r < 0 || h < 0) {
            return "Radius na kimo lazima viwe na thamani zisizo hasi.";
        }
        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
        double A_l = Math.PI * r * l;
        double A = A_b + A_l;
        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
        return String.format("Eneo la Msingi: %.4f\nEneo la Kando: %.4f\nEneo la Jumla la Uso: %.4f\nJumla ya Nafasi: %.4f",
                A_b, A_l, A, V);
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>

std::string coneProperties(double r, double h) {
    if (r < 0 || h < 0) {
        return "Radius na kimo lazima viwe na thamani zisizo hasi.";
    }
    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
    double A_b = M_PI * r * r;
    double A_l = M_PI * r * l;
    double A = A_b + A_l;
    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
    char buffer[256];
    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Eneo la Msingi: %.4f\nEneo la Kando: %.4f\nEneo la Jumla la Uso: %.4f\nJumla ya Nafasi: %.4f",
             A_b, A_l, A, V);
    return std::string(buffer);
}

int main() {
    double r = 5;
    double h = 12;
    std::string result = coneProperties(r, h);
    std::cout << result << std::endl;
    return 0;
}

Mchoro

Mchoro wa SVG wa Mkononi wa Mduara wa Kulia

Maelezo ya Mchoro

Umbo la Mkononi: Mkononi umeonyeshwa kwa njia ya njia ya upande na ellipse ya msingi ili kuwakilisha umbo la tatu.
Kimo (h): Imeonyeshwa kama mstari wa dashed kutoka kilele hadi katikati ya msingi.
Radius (r): Imeonyeshwa kama mstari wa dashed kutoka katikati ya msingi hadi mwisho wake.
Makaratasi: Yanadhihirisha vipimo vya mkononi.

Marejeo

Hesabu ya Hydraulic - Wikipedia
Kihesabu cha Maji ya Wazi
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.

Kumbuka: Hesabu inasisitiza kwamba radius (r) na kimo (h) lazima viwe na thamani zisizo hasi. Ingizo hasi linachukuliwa kuwa halali na litatoa ujumbe wa kosa.

Zana Zinazohusiana

Kihesabu cha Eneo la Pembeni la Koni la Mzunguko wa Kulia

Kikokotoo cha Kipenyo cha Mkonoo kwa Urefu na Mduara

Kikokotoo cha Kimo cha Coni Haraka na Rahisi

Kikokotoo cha Sehemu za Conic za Kuvutia na Eccentricity

Circle Radius Calculator: Diameter, Circumference, Area

Kihesabu Urefu wa Mkononi wa Coni ya Mzunguko wa Kulia