Калькулятор площади поверхности

Q: Какова формула площади поверхности сферы?

$SA = 4\pi r²$, где r — радиус. Площадь поверхности сферы радиусом 5 м составляет примерно 314,16 м².

Площадь поверхности трёхмерной фигуры — это общая площадь всех граней и криволинейных поверхностей, покрывающих её снаружи, измеряемая в квадратных единицах, например квадратных метрах или квадратных футах. Этот калькулятор вычисляет площадь поверхности семи распространённых тел: шара, куба, цилиндра, пирамиды, конуса, прямоугольной призмы и треугольной призмы.

Что означает площадь поверхности

Площадь поверхности — это сумма площадей всех внешних поверхностей тела. Площадь поверхности куба — это общая площадь его шести плоских квадратных граней. Площадь поверхности шара — это площадь его единственной внешней криволинейной поверхности. Площадь поверхности отличается от объёма, который измеряет пространство внутри тела, а не площадь его границы. Эти величины измеряются в разных единицах: площадь поверхности — в квадратных единицах (м²), объём — в кубических единицах (м³).

Как вычислить площадь поверхности

Выберите фигуру из семи вариантов.
Введите необходимые для фигуры размеры:
- Шар: радиус
- Куб: длина ребра
- Цилиндр: радиус и высота
- Пирамида: длина основания, ширина основания и наклонная высота
- Конус: радиус и высота
- Прямоугольная призма: длина, ширина и высота
- Треугольная призма: длина основания, высота треугольной грани и длина призмы
Результат появляется автоматически после заполнения всех обязательных полей.
Считайте площадь поверхности в квадратных единицах. Кнопка копирования рядом с результатом копирует его в буфер обмена.

Пока обязательное поле остаётся пустым, калькулятор показывает короткую подсказку вместо результата. После заполнения всех полей число, равное нулю или отрицательное, вызывает сообщение об ошибке.

Для пирамиды действует дополнительное правило, применимое к любому основанию — квадратному или прямоугольному: введённая наклонная высота должна быть больше половины ширины основания. Половина ширины основания — это расстояние от центра основания до середины ребра основания, имеющего длину основания. Наклонная высота, равная этой величине или меньшая её, не оставляет места для вертикальной высоты, поэтому такой пирамиды не существует и калькулятор возвращает ошибку.

Формулы площади поверхности

В приведённых ниже формулах r — радиус, h — высота, l — длина, w — ширина, b — длина основания, а s — наклонная высота.

Сфера: $SA = 4\pi r²$
Куб: $SA = 6a²$ , где a — длина ребра
Цилиндр: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ — площадь двух круглых оснований плюс площадь боковой поверхности
Конус: $SA = \pi r² + \pi rs$ , где наклонная высота $s = \sqrt{r² + h²}$
Пирамида с квадратным основанием: $SA = l² + 2ls$ , где l — длина основания, а s — наклонная высота треугольной грани
Прямоугольный параллелепипед: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Треугольная призма (треугольное сечение с основанием b, высотой h и двумя равными наклонными сторонами $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , где L — длина призмы, а для симметричного (равнобедренного) треугольника $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$

Пирамида с прямоугольным основанием имеет две разные наклонные высоты — по одной для каждой пары треугольных граней. В поле «Наклонная высота» указывается наклонная высота s двух граней, опирающихся на рёбра основания, равные длине. Затем калькулятор вычисляет вертикальную высоту h по формуле $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ и находит параметры другой пары граней:

Пирамида с прямоугольным основанием: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , где l — длина основания, w — ширина основания, а h — вертикальная высота, вычисленная по s.

Приведённая выше формула для квадратного основания является частным случаем этой формулы, когда длина и ширина основания равны с точностью до 0,001 введённых единиц.

Пример расчёта

Шар, радиус 5 м: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 м²

Куб, длина ребра 3 м: SA = 6(3)² = 54 м²

Цилиндр, радиус 2 м, высота 5 м: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 м²

Конус, радиус 3 м, высота 4 м: апофема = √(3² + 4²) = 5 м, поэтому SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 м²

Пирамида с квадратным основанием, длина основания 4 м, апофема 5 м: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 м²

Пирамида с прямоугольным основанием, длина основания 6 м, ширина основания 8 м, апофема 5 м: половина ширины основания равна 4 м, поэтому вертикальная высота равна √(5² − 4²) = 3 м. Апофема второй пары граней равна √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 м. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 м²

Прямоугольная призма, длина 4 м, ширина 3 м, высота 5 м: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 м²

Треугольная призма, основание 3 м, высота треугольника 4 м, длина призмы 5 м: две равные боковые стороны равны √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 м. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 м²

Единицы измерения и точность

Все введённые размеры должны быть указаны в одной и той же единице, например в метрах, футах или сантиметрах. Результат выражается в квадрате этой единицы. Калькулятор выполняет внутренние вычисления с полной плавающей точностью и отображает результат, округлённый до двух знаков после запятой.

Зачем нужна площадь поверхности

Площадь поверхности используют для оценки количества краски или покрытия, необходимого для стены или предмета, материала для упаковки, а также листового металла или ткани для изготовления контейнера. В биологии и химии площадь поверхности клетки или частицы катализатора влияет на скорость обмена веществами с окружающей средой, поскольку обмен происходит через поверхность. В инженерном деле площадь поверхности радиатора или теплообменника влияет на скорость передачи тепла.

Часто задаваемые вопросы

Что такое площадь поверхности? Площадь поверхности — это общая площадь всех внешних граней или криволинейных поверхностей трёхмерного объекта, выраженная в квадратных единицах.

Какова формула площади поверхности сферы? $SA = 4\pi r²$ , где r — радиус. Площадь поверхности сферы радиусом 5 м составляет примерно 314,16 м².

Как найти площадь поверхности цилиндра? Сложите площадь двух круглых оснований с площадью боковой поверхности: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , где r — радиус, а h — высота.

В чём разница между площадью поверхности и объёмом? Площадь поверхности измеряет внешнюю границу фигуры в квадратных единицах. Объём измеряет пространство, ограниченное этой границей, в кубических единицах. Площадь поверхности и объём фигуры обычно увеличиваются с разной скоростью при увеличении её размера.

Может ли этот калькулятор работать с пирамидой с прямоугольным основанием? Да. Введите длину и ширину основания, которые различаются, а также наклонную высоту двух граней, опирающихся на рёбра основания, имеющие длину основания. По этим трём числам калькулятор вычисляет вертикальную высоту и вторую наклонную высоту.

Почему для пирамиды иногда отображается ошибка? Наклонная высота должна быть больше половины ширины основания. При этом значении или меньшем значении высота пирамиды была бы нулевой или мнимой, поэтому такого тела не существует и площадь поверхности не может быть вычислена.

Какие фигуры поддерживает этот калькулятор? Шар, куб, цилиндр, пирамида, конус, прямоугольная призма и треугольная призма.

Источники

"Surface Area." Wikipedia, Фонд Викимедиа. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Вайсштейн, Эрик У. "Surface Area." MathWorld — веб-ресурс Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Калькулятор площади поверхности - Бесплатный инструмент для всех 3D-фигур