a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plane

Miller Indices (3,2,1) Crystal Plane

การแสดงภาพ 3D ของระนาบผลึกที่มี Miller indices (3,2,1) ระนาบตัดขวางที่แกน x, y, และ z ที่จุด 2, 3, และ 6 ตามลำดับ ส่งผลให้ได้ Miller indices (3,2,1) หลังจากการกลับค่าและหาชุดของจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มีอัตราส่วนเดียวกัน

สูตรและวิธีการคำนวณ Miller Indices

ในการ คำนวณ Miller indices (h,k,l) ของ ระนาบผลึก ให้ทำตามขั้นตอนทางคณิตศาสตร์เหล่านี้โดยใช้ เครื่องคำนวณ Miller indices ของเรา:

1. กำหนดการตัดขวางของระนาบกับแกนพิกัด x, y, และ z โดยให้ค่า a, b, และ c
2. กลับค่าของการตัดขวางเหล่านี้: 1/a, 1/b, 1/c
3. แปลงค่ากลับเหล่านี้เป็นชุดของจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่รักษาอัตราส่วนเดียวกัน
4. จำนวนเต็มสามตัวที่ได้คือ Miller indices (h,k,l)

ทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ว่า:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

โดยที่:

• (h,k,l) คือ Miller indices
• a, b, c คือการตัดขวางของระนาบกับแกน x, y, และ z ตามลำดับ

กรณีพิเศษและข้อตกลง

มีกรณีพิเศษและข้อตกลงหลายประการที่สำคัญในการเข้าใจ:

1. การตัดขวางที่ไม่มีที่สิ้นสุด: หากระนาบขนานกับแกน การตัดขวางจะถือว่าไม่มีที่สิ้นสุด และ Miller index ที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นศูนย์

2. ดัชนีเชิงลบ: หากระนาบตัดขวางแกนในด้านลบของจุดกำเนิด Miller index ที่เกี่ยวข้องจะเป็นเชิงลบ โดยมีบาร์เหนือหมายเลขในบันทึกคริสตัลโลกราฟี เช่น (h̄kl)

3. การตัดขวางเชิงเศษส่วน: หากการตัดขวางเป็นเศษส่วน จะถูกแปลงเป็นจำนวนเต็มโดยการคูณด้วยตัวหารร่วมที่น้อยที่สุด

4. การทำให้เรียบง่าย: Miller indices จะถูกลดให้เป็นชุดของจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่รักษาอัตราส่วนเดียวกัน

วิธีการใช้เครื่องคำนวณ Miller Indices: คู่มือทีละขั้นตอน

เครื่องมือ เครื่องคำนวณ Miller indices ของเราให้วิธีที่ตรงไปตรงมาในการกำหนด Miller indices สำหรับ ระนาบผลึก ใดๆ นี่คือวิธีการใช้ เครื่องคำนวณ Miller indices:

1. ป้อนการตัดขวาง: ป้อนค่าที่ระนาบตัดขวางกับแกน x, y, และ z

   • ใช้หมายเลขบวกสำหรับการตัดขวางที่อยู่ด้านบวกของจุดกำเนิด
   • ใช้หมายเลขลบสำหรับการตัดขวางที่อยู่ด้านลบ
   • ป้อน "0" สำหรับระนาบที่ขนานกับแกน (การตัดขวางที่ไม่มีที่สิ้นสุด)

2. ดูผลลัพธ์: เครื่องคำนวณจะคำนวณและแสดง Miller indices (h,k,l) สำหรับระนาบที่ระบุโดยอัตโนมัติ

3. แสดงภาพระนาบ: เครื่องคำนวณรวมการแสดงภาพ 3D เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจการจัดเรียงของระนาบภายในตารางผลึก

4. คัดลอกผลลัพธ์: ใช้ปุ่ม "คัดลอกไปยังคลิปบอร์ด" เพื่อถ่ายโอน Miller indices ที่คำนวณได้ไปยังแอปพลิเคชันอื่นๆ ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างการคำนวณ Miller Indices

มาดูตัวอย่างกัน:

สมมติว่าระนาบตัดขวางที่แกน x, y, และ z ที่จุด 2, 3, และ 6 ตามลำดับ

1. การตัดขวางคือ (2, 3, 6)
2. การกลับค่า: (1/2, 1/3, 1/6)
3. เพื่อหาชุดของจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มีอัตราส่วนเดียวกัน คูณด้วยตัวหารร่วมที่น้อยที่สุดของตัวส่วน (LCM ของ 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1)
4. ดังนั้น Miller indices คือ (3,2,1)

การใช้งาน Miller Indices ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม

Miller indices มีการใช้งานมากมายในหลายสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ทำให้ เครื่องคำนวณ Miller indices เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ:

คริสตัลโลกราฟีและการกระเจิงของรังสีเอกซ์

Miller indices เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการตีความรูปแบบการกระเจิงของรังสีเอกซ์ ระยะห่างระหว่างระนาบผลึกที่ระบุโดย Miller indices จะกำหนดมุมที่รังสีเอกซ์ถูกกระเจิง ตามกฎของ Bragg:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

โดยที่:

• $n$ คือจำนวนเต็ม
• $\lambda$ คือความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์
• $d_{hkl}$ คือระยะห่างระหว่างระนาบที่มี Miller indices (h,k,l)
• $\theta$ คือมุมการเข้ามา

วิทยาศาสตร์วัสดุและวิศวกรรม

1. การวิเคราะห์พลังงานผิว: ระนาบคริสตัลที่แตกต่างกันมีพลังงานผิวที่แตกต่างกัน ส่งผลต่อคุณสมบัติเช่นการเติบโตของผลึก การเร่งปฏิกิริยา และการยึดเกาะ

2. คุณสมบัติทางกล: การจัดเรียงของระนาบผลึกมีอิทธิพลต่อคุณสมบัติทางกล เช่น ระบบการเลื่อน ระนาบการแตก และพฤติกรรมการแตกหัก

3. การผลิตเซมิคอนดักเตอร์: ในการผลิตเซมิคอนดักเตอร์ ระนาบผลึกเฉพาะจะถูกเลือกสำหรับการเติบโตแบบ epitaxial และการผลิตอุปกรณ์เนื่องจากคุณสมบัติทางอิเล็กทรอนิกส์ของพวกมัน

4. การวิเคราะห์เนื้อสัมผัส: Miller indices ช่วยในการจำแนกการจัดเรียงที่ต้องการ (เนื้อสัมผัส) ในวัสดุที่เป็นผลึกหลายตัว ซึ่งมีผลต่อคุณสมบัติทางกายภาพของพวกมัน

แร่ธาตุและธรณีวิทยา

นักธรณีวิทยาใช้ Miller indices เพื่ออธิบายหน้าผลึกและระนาบการแตกในแร่ธาตุ ซึ่งช่วยในการระบุและเข้าใจสภาพการก่อตัว

การใช้งานทางการศึกษา

Miller indices เป็นแนวคิดพื้นฐานที่สอนในหลักสูตรวิทยาศาสตร์วัสดุ คริสตัลโลกราฟี และฟิสิกส์ของสถานะของแข็ง ทำให้เครื่องมือคำนวณนี้เป็นเครื่องมือการศึกษาที่มีค่า

ทางเลือกสำหรับ Miller Indices

ในขณะที่ Miller indices เป็นการบันทึกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดสำหรับระนาบผลึก แต่มีระบบทางเลือกหลายระบบที่มีอยู่:

1. Miller-Bravais Indices: การบันทึกสี่ดัชนี (h,k,i,l) ที่ใช้สำหรับระบบผลึกหกเหลี่ยม โดยที่ i = -(h+k) การบันทึกนี้สะท้อนถึงความสมมาตรของโครงสร้างหกเหลี่ยมได้ดีกว่า

2. Weber Symbols: ใช้ในวรรณกรรมเก่าเป็นหลัก โดยเฉพาะสำหรับการอธิบายทิศทางในผลึกลูกบาศก์

3. เวกเตอร์ตารางตรง: ในบางกรณี ระนาบจะถูกอธิบายโดยใช้เวกเตอร์ตารางตรงแทนที่จะเป็น Miller indices

4. ตำแหน่ง Wyckoff: สำหรับการอธิบายตำแหน่งของอะตอมภายในโครงสร้างผลึกแทนที่จะเป็นระนาบ

แม้จะมีทางเลือกเหล่านี้ แต่ Miller indices ยังคงเป็นการบันทึกมาตรฐานเนื่องจากความเรียบง่ายและการใช้งานทั่วไปในทุกระบบผลึก

ประวัติของ Miller Indices

ระบบ Miller indices ถูกพัฒนาขึ้นโดยนักแร่ธาตุและนักคริสตัลโลกราฟีชาวอังกฤษ William Hallowes Miller ในปี 1839 ซึ่งเผยแพร่ในหนังสือ "A Treatise on Crystallography" การบันทึกของ Miller สร้างขึ้นจากงานก่อนหน้านี้โดย Auguste Bravais และคนอื่นๆ แต่ให้วิธีการที่สวยงามและสอดคล้องทางคณิตศาสตร์มากขึ้น

ก่อนที่ระบบของ Miller จะมีการใช้การบันทึกที่หลากหลายเพื่ออธิบายหน้าผลึก รวมถึงพารามิเตอร์ Weiss และสัญลักษณ์ Naumann นวัตกรรมของ Miller คือการใช้การกลับค่าของการตัดขวาง ซึ่งทำให้การคำนวณทางคริสตัลโลกราฟีหลายอย่างง่ายขึ้นและให้การแสดงผลที่เข้าใจได้มากขึ้นของระนาบขนาน

การนำ Miller indices มาใช้เพิ่มขึ้นเมื่อมีการค้นพบการกระเจิงของรังสีเอกซ์โดย Max von Laue ในปี 1912 และการทำงานต่อมาของ William Lawrence Bragg และ William Henry Bragg งานวิจัยของพวกเขาแสดงให้เห็นถึงการใช้งานจริงของ Miller indices ในการตีความรูปแบบการกระเจิงและการกำหนดโครงสร้างผลึก

ตลอดศตวรรษที่ 20 เมื่อคริสตัลโลกราฟีมีความสำคัญมากขึ้นในวิทยาศาสตร์วัสดุ ฟิสิกส์ของสถานะของแข็ง และชีวเคมี Miller indices ได้ถูกกำหนดให้เป็นการบันทึกมาตรฐาน วันนี้พวกเขายังคงมีความสำคัญในเทคนิคการจำแนกวัสดุสมัยใหม่ คริสตัลโลกราฟีเชิงคอมพิวเตอร์ และการออกแบบวัสดุนาโน

ตัวอย่างโค้ดสำหรับการคำนวณ Miller Indices

import math
import numpy as np

def calculate_miller_indices(intercepts):
    """
    คำนวณ Miller indices จากการตัดขวาง
    
    Args:
        intercepts: รายการของการตัดขวางสามตัว [a, b, c]
        
    Returns:
        รายการของ Miller indices สามตัว [h, k, l]
    """
    # จัดการกับการตัดขวางที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ขนานกับแกน)
    reciprocals = []
    for intercept in intercepts:
        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
            reciprocals.append(0)
        else:
            reciprocals.append(1 / intercept)
    
    # หาค่าที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับการคำนวณ GCD
    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
    
    if not non_zero:
        return [0, 0, 0]
    
    # ปรับขนาดเป็นจำนวนเต็มที่เหมาะสม (หลีกเลี่ยงปัญหาจุดทศนิยม)
    scale = 1000
    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
    
    # หาค่า GCD
    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
    
    # แปลงกลับเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุด
    miller_indices = []
    for r in reciprocals:
        if r ==