เยoung-Laplace Equation Solver: คำนวณความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโค้ง

บทนำ

สมการเยoung-Laplace เป็นสูตรพื้นฐานในกลศาสตร์ของของไหลที่อธิบายความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโค้งระหว่างของไหลสองชนิด เช่น ขอบเขตของของเหลว-ก๊าซหรือของเหลว-ของเหลว ความแตกต่างของความดันนี้เกิดจากแรงตึงผิวและความโค้งของขอบเขต เครื่องมือ Young-Laplace Equation Solver ของเราให้วิธีที่ง่ายและแม่นยำในการคำนวณความแตกต่างของความดันนี้โดยการป้อนแรงตึงผิวและรัศมีหลักของความโค้ง ไม่ว่าคุณจะศึกษาเกี่ยวกับหยดน้ำ ฟองอากาศ การกระทำของหลอดดูด หรือปรากฏการณ์พื้นผิวอื่น ๆ เครื่องมือนี้ให้การแก้ปัญหาที่รวดเร็วสำหรับปัญหาแรงตึงผิวที่ซับซ้อน

สมการนี้ตั้งชื่อตาม Thomas Young และ Pierre-Simon Laplace ซึ่งพัฒนาขึ้นในต้นศตวรรษที่ 19 เป็นสิ่งจำเป็นในหลายแอปพลิเคชันทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ตั้งแต่ไมโครฟลูอิดิกส์และวิทยาศาสตร์วัสดุไปจนถึงระบบชีวภาพและกระบวนการอุตสาหกรรม โดยการเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างแรงตึงผิว ความโค้ง และความแตกต่างของความดัน นักวิจัยและวิศวกรสามารถออกแบบและวิเคราะห์ระบบที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตของของไหลได้ดีขึ้น

อธิบายสมการ Young-Laplace

สูตร

สมการ Young-Laplace เชื่อมโยงความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตของของไหลกับแรงตึงผิวและรัศมีหลักของความโค้ง:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

โดยที่:

• $\Delta P$ คือความแตกต่างของความดันที่ขอบเขต (Pa)
• $\gamma$ คือแรงตึงผิว (N/m)
• $R_1$ และ $R_2$ คือรัศมีหลักของความโค้ง (m)

สำหรับขอบเขตทรงกลม (เช่น หยดน้ำหรือฟองอากาศ) ซึ่ง $R_1 = R_2 = R$ สมการจะเรียบง่ายขึ้นเป็น:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

อธิบายตัวแปร

1. แรงตึงผิว ($\gamma$):

   • วัดเป็นนิวตันต่อเมตร (N/m) หรือเทียบเท่าในจูลต่อเมตร² (J/m²)
   • แสดงถึงพลังงานที่ต้องใช้ในการเพิ่มพื้นที่ผิวของของเหลวให้มากขึ้นหนึ่งหน่วย
   • เปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิและของเหลวเฉพาะที่เกี่ยวข้อง
   • ค่าทั่วไป:
     • น้ำที่ 20°C: 0.072 N/m
     • เอทานอลที่ 20°C: 0.022 N/m
     • ปรอทที่ 20°C: 0.485 N/m

2. รัศมีหลักของความโค้ง ($R_1$ และ $R_2$):

   • วัดเป็นเมตร (m)
   • แสดงถึงรัศมีของวงกลมสองวงที่ตั้งฉากกันซึ่งพอดีกับความโค้งที่จุดบนพื้นผิว
   • ค่าบวกแสดงถึงศูนย์กลางของความโค้งในด้านที่ปกติมุ่งไป
   • ค่าลบแสดงถึงศูนย์กลางของความโค้งในด้านตรงข้าม

3. ความแตกต่างของความดัน ($\Delta P$):

   • วัดเป็นปาสกาล (Pa)
   • แสดงถึงความแตกต่างของความดันระหว่างด้านโค้งและด้านนูนของขอบเขต
   • ตามธรรมเนียม $\Delta P = P_{inside} - P_{outside}$ สำหรับพื้นผิวที่ปิดเช่น หยดน้ำหรือฟองอากาศ

กฎเกณฑ์ของสัญญาณ

กฎเกณฑ์ของสัญญาณสำหรับสมการ Young-Laplace เป็นสิ่งสำคัญ:

• สำหรับพื้นผิวที่นูน (เช่น ด้านนอกของหยดน้ำ) รัศมีจะเป็นค่าบวก
• สำหรับพื้นผิวที่โค้ง (เช่น ด้านในของฟองอากาศ) รัศมีจะเป็นค่าลบ
• ความดันจะสูงกว่าตลอดเวลาบนด้านโค้งของขอบเขต

กรณีขอบเขตและข้อพิจารณาพิเศษ

1. พื้นผิวเรียบ: เมื่อรัศมีใด ๆ เข้าใกล้อนันต์ การมีส่วนร่วมของมันในความแตกต่างของความดันจะเข้าใกล้ศูนย์ สำหรับพื้นผิวที่เรียบโดยสิ้นเชิง ($R_1 = R_2 = \infty$) จะมี $\Delta P = 0$.

2. พื้นผิวทรงกระบอก: สำหรับพื้นผิวทรงกระบอก (เช่น ของเหลวในหลอดดูด) รัศมีหนึ่งมีค่าจำกัด ($R_1$) ในขณะที่อีกอันหนึ่งเป็นอนันต์ ($R_2 = \infty$) ทำให้ $\Delta P = \gamma/R_1$.

3. รัศมีที่เล็กมาก: ที่ระดับจุลภาค (เช่น หยดน้ำขนาดนาโน) ผลกระทบเพิ่มเติมเช่นแรงตึงเส้นอาจมีความสำคัญ และสมการ Young-Laplace คลาสสิกอาจต้องการการปรับแก้ไข

4. ผลกระทบจากอุณหภูมิ: แรงตึงผิวมักจะลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งส่งผลต่อความแตกต่างของความดัน ใกล้จุดวิกฤติ แรงตึงผิวจะเข้าใกล้ศูนย์

5. สารลดแรงตึงผิว: การมีอยู่ของสารลดแรงตึงผิวจะลดแรงตึงผิวและดังนั้นความแตกต่างของความดันที่ขอบเขต

วิธีการใช้ Young-Laplace Equation Solver

เครื่องคำนวณของเรามีวิธีที่ตรงไปตรงมาในการกำหนดความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตของของไหลโค้ง ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ:

คู่มือทีละขั้นตอน

1. ป้อนแรงตึงผิว ($\gamma$):

   • ป้อนค่าของแรงตึงผิวใน N/m
   • ค่าดีฟอลต์คือ 0.072 N/m (น้ำที่ 25°C)
   • สำหรับของเหลวอื่น ๆ ให้ดูจากตารางมาตรฐานหรือข้อมูลเชิงทดลอง

2. ป้อนรัศมีหลักแรกของความโค้ง ($R_1$):

   • ป้อนรัศมีแรกในเมตร
   • สำหรับขอบเขตทรงกลม นี่จะเป็นรัศมีของทรงกลม
   • สำหรับขอบเขตทรงกระบอก นี่จะเป็นรัศมีของทรงกระบอก

3. ป้อนรัศมีหลักที่สองของความโค้ง ($R_2$):

   • ป้อนรัศมีที่สองในเมตร
   • สำหรับขอบเขตทรงกลม นี่จะเหมือนกับ $R_1$
   • สำหรับขอบเขตทรงกระบอก ให้ใช้ค่าที่ใหญ่มากหรืออนันต์

4. ดูผลลัพธ์:

   • เครื่องคำนวณจะคำนวณความแตกต่างของความดันโดยอัตโนมัติ
   • ผลลัพธ์จะแสดงในปาสกาล (Pa)
   • การแสดงผลจะอัปเดตเพื่อสะท้อนการป้อนข้อมูลของคุณ

5. คัดลอกหรือแชร์ผลลัพธ์:

   • ใช้ปุ่ม "คัดลอกผลลัพธ์" เพื่อคัดลอกค่าที่คำนวณได้ไปยังคลิปบอร์ดของคุณ
   • มีประโยชน์สำหรับการรวมไว้ในรายงาน เอกสาร หรือการคำนวณเพิ่มเติม

เคล็ดลับสำหรับการคำนวณที่แม่นยำ

• ใช้หน่วยที่สอดคล้องกัน: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าการวัดทั้งหมดอยู่ในหน่วย SI (N/m สำหรับแรงตึงผิว, m สำหรับรัศมี)
• พิจารณาอุณหภูมิ: แรงตึงผิวเปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิ ดังนั้นให้ใช้ค่าที่เหมาะสมกับสภาพของคุณ
• ตรวจสอบรัศมีของคุณ: โปรดจำไว้ว่ารัศมีทั้งสองต้องเป็นค่าบวกสำหรับพื้นผิวที่นูนและค่าลบสำหรับพื้นผิวที่โค้ง
• สำหรับขอบเขตทรงกลม: ตั้งค่าทั้งสองรัศมีให้เท่ากัน
• สำหรับขอบเขตทรงกระบอก: ตั้งค่ารัศมีหนึ่งให้เป็นรัศมีของทรงกระบอกและอีกอันให้เป็นค่าที่ใหญ่มาก

การใช้งานของสมการ Young-Laplace

สมการ Young-Laplace มีการใช้งานมากมายในหลายสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม:

1. การวิเคราะห์หยดน้ำและฟองอากาศ

สมการนี้มีความสำคัญต่อการเข้าใจพฤติกรรมของหยดน้ำและฟองอากาศ โดยอธิบายว่าทำไมหยดน้ำขนาดเล็กถึงมีความดันภายในสูงกว่า ซึ่งขับเคลื่อนกระบวนการเช่น:

• Ostwald Ripening: หยดน้ำขนาดเล็กในอิมัลชันลดขนาดลงในขณะที่หยดน้ำขนาดใหญ่เติบโตเนื่องจากความแตกต่างของความดัน
• ความเสถียรของฟองอากาศ: การคาดการณ์ความเสถียรของระบบฟองและฟองอากาศ
• การพิมพ์แบบฉีดหมึก: การควบคุมการสร้างหยดน้ำและการฝากในงานพิมพ์ที่แม่นยำ

2. การกระทำของหลอดดูด

สมการ Young-Laplace ช่วยอธิบายและคำนวณการขึ้นหรือลงของของเหลวในหลอดดูด:

• การซึมผ่านในวัสดุที่มีรูพรุน: การคาดการณ์การขนส่งของของเหลวในผ้า กระดาษ และดิน
• อุปกรณ์ไมโครฟลูอิดิกส์: การออกแบบช่องและจุดตัดสำหรับการควบคุมของเหลวที่แม่นยำ
• สรีรวิทยาของพืช: การเข้าใจการขนส่งน้ำในเนื้อเยื่อพืช

3. การใช้งานทางชีวการแพทย์

ในทางการแพทย์และชีววิทยา สมการนี้ถูกใช้สำหรับ:

• การทำงานของสารลดแรงตึงผิวในปอด: การวิเคราะห์แรงตึงผิวในถุงลมและกลไกการหายใจ
• กลศาสตร์ของเยื่อหุ้มเซลล์: การศึกษาเกี่ยวกับรูปร่างและการเปลี่ยนรูปของเซลล์
• ระบบการส่งยา: การออกแบบไมโครแคปซูลและเวสิเคิลสำหรับการปล่อยอย่างควบคุม

4. วิทยาศาสตร์วัสดุ

การใช้งานในการพัฒนาวัสดุรวมถึง:

• การวัดมุมสัมผัส: การกำหนดคุณสมบัติของพื้นผิวและการเปียก
• ความเสถียรของฟิล์มบาง: การคาดการณ์การแตกและการเกิดรูปแบบในฟิล์มของเหลว
• เทคโนโลยีฟองนาโน: การพัฒนาแอปพลิเคชันสำหรับฟองนาโนที่ติดอยู่บนพื้นผิว

5. กระบวนการอุตสาหกรรม

การใช้งานทางอุตสาหกรรมมากมายขึ้นอยู่กับการเข้าใจความแตกต่างของความดันที่ขอบเขต:

• การฟื้นฟูน้ำมันที่เพิ่มขึ้น: การเพิ่มประสิทธิภาพการฟอร์มูล่าของสารลดแรงตึงผิวสำหรับการสกัดน้ำมัน
• การผลิตฟอง: การควบคุมการกระจายขนาดฟองในฟอง
• เทคโนโลยีการเคลือบ: การรับประกันการฝากฟิล์มของเหลวที่สม่ำเสมอ

ตัวอย่างปฏิบัติ: คำนวณความดัน Laplace ในหยดน้ำ

พิจารณาหยดน้ำทรงกลมที่มีรัศมี 1 มม. ที่ 20°C:

• แรงตึงผิวของน้ำ: $\gamma = 0.072$ N/m
• รัศมี: $R = 0.001$ m
• ใช้สมการที่เรียบง่ายสำหรับขอบเขตทรงกลม: $\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$
• $\Delta P = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144$ Pa

ซึ่งหมายความว่าความดันภายในหยดน้ำสูงกว่าความดันอากาศรอบข้าง 144 Pa

ทางเลือกสำหรับสมการ Young-Laplace

ในขณะที่สมการ Young-Laplace เป็นพื้นฐาน แต่ยังมีแนวทางและการขยายเพิ่มเติมสำหรับสถานการณ์เฉพาะ:

1. สมการ Kelvin: เชื่อมโยงความดันไอเหนือพื้นผิวของของเหลวโค้งกับพื้นผิวเรียบ มีประโยชน์ในการศึกษาเกี่ยวกับการควบแน่นและการระเหย

2. ผล Gibbs-Thomson: อธิบายว่าขนาดของอนุภาคมีผลต่อความสามารถในการละลาย จุดหลอมเหลว และคุณสมบัติเทอร์โมไดนามิกอื่น ๆ

3. โมเดล Helfrich: ขยายการวิเคราะห์ไปยังเยื่อหุ้มที่ยืดหยุ่นเช่นเยื่อหุ้มเซลล์ชีวภาพ โดยรวมความแข็งแรงในการโค้งงอ

4. การจำลองเชิงตัวเลข: สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน วิธีการคอมพิวเตอร์เช่น Volume of Fluid (VOF) หรือ Level Set methods อาจเหมาะสมกว่าในการแก้ปัญหาสำหรับสมการเชิงวิเคราะห์

5. พลศาสตร์โมเลกุล: ที่ระดับเล็กมาก (นาโนเมตร) สมมติฐานของการต่อเนื่องจะล้มเหลว และการจำลองพลศาสตร์โมเลกุลให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่า

ประวัติของสมการ Young-Laplace

การพัฒนาสมการ Young-Laplace เป็นเหตุการณ์สำคัญในความเข้าใจปรากฏการณ์พื้นผิวและการซึมผ่าน

การสังเกตและทฤษฎีในยุคแรก

การศึกษาเกี่ยวกับการกระทำของหลอดดูดมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ แต่การวิจัยทางวิทยาศาสตร์อย่างเป็นระบบเริ่มต้นในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา:

• Leonardo da Vinci (ศตวรรษที่ 15): ได้ทำการสังเกตอย่างละเอียดเกี่ยวกับการขึ้นของหลอดดูดในหลอดที่แคบ
• Francis Hauksbee (ต้นศตวรรษที่ 18): ได้ทำการทดลองเชิงปริมาณเกี่ยวกับการขึ้นของหลอดดูด
• James Jurin (1718): ได้ตั้งสูตร "กฎของ Jurin" ที่เกี่ยวข้องกับความสูงของการขึ้นหลอดดูดกับเส้นผ่าศูนย์กลางของหลอด

การพัฒนาสมการ

สมการในรูปแบบที่เรารู้จักในปัจจุบันเกิดจากการทำงานของนักวิทยาศาสตร์สองคนที่ทำงานแยกกัน:

• Thomas Young (1805): ได้ตีพิมพ์ "An Essay on the Cohesion of Fluids" ใน Philosophical Transactions of the Royal Society โดยแนะนำแนวคิดของแรงตึงผิวและความสัมพันธ์กับความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโค้ง

• Pierre-Simon Laplace (1806): ในงานที่สำคัญของเขา "Mécanique Céleste" Laplace ได้พัฒนากรอบทางคณิตศาสตร์สำหรับการกระทำของหลอดดูด โดยการหาสมการที่เชื่อมโยงความแตกต่างของความดันกับความโค้ง

การรวมกันของข้อมูลทางกายภาพของ Young และความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของ Laplace ทำให้เกิดสิ่งที่เราเรียกว่าสมการ Young-Laplace

การปรับปรุงและการขยาย

ในช่วงหลายศตวรรษถัดมา สมการนี้ได้รับการปรับปรุงและขยาย:

• Carl Friedrich Gauss (1830): ได้ให้แนวทางการเปลี่ยนแปลงในด้านการซึมผ่าน โดยแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวของของเหลวจะเลือกใช้รูปร่างที่ลดพลังงานรวม
• Joseph Plateau (กลางศตวรรษที่ 19): ได้ทำการทดลองอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับฟิล์มสบู่ โดยยืนยันการคาดการณ์ของสมการ Young-Laplace
• Lord Rayleigh (ปลายศตวรรษที่ 19): ได้ใช้สมการนี้ในการศึกษาเสถียรภาพของเจ็ทของเหลวและการสร้างหยดน้ำ
• ยุคสมัยใหม่ (ศตวรรษที่ 20-21): การพัฒนาวิธีการคอมพิวเตอร์ในการแก้สมการสำหรับรูปร่างที่ซับซ้อนและการรวมผลกระทบเพิ่มเติมเช่นแรงโน้มถ่วง สนามไฟฟ้า และสารลดแรงตึงผิว

ในปัจจุบัน สมการ Young-Laplace ยังคงเป็นหลักสำคัญของวิทยาศาสตร์ระหว่างผิว ซึ่งยังคงค้นพบการใช้งานใหม่ ๆ เมื่อเทคโนโลยีก้าวเข้าสู่ระดับไมโครและนาโน

ตัวอย่างโค้ด

นี่คือการใช้งานสมการ Young-Laplace ในภาษาการเขียนโปรแกรมต่าง ๆ:

1' สูตร Excel สำหรับสมการ Young-Laplace (ขอบเขตทรงกลม)
2=2*B2/C2
3
4' โดยที่:
5' B2 มีค่าของแรงตึงผิวใน N/m
6' C2 มีค่าของรัศมีใน m
7' ผลลัพธ์อยู่ใน Pa
8
9' สำหรับกรณีทั่วไปที่มีรัศมีหลักสองตัว:
10=B2*(1/C2+1/D2)
11
12' โดยที่:
13' B2 มีค่าของแรงตึงผิวใน N/m
14' C2 มีค่าของรัศมีแรกใน m
15' D2 มีค่าของรัศมีที่สองใน m
16

1def young_laplace_pressure(surface_tension, radius1, radius2):
2    """
3    คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
4    
5    พารามิเตอร์:
6    surface_tension (float): แรงตึงผิวใน N/m
7    radius1 (float): รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
8    radius2 (float): รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
9    
10    คืนค่า:
11    float: ความแตกต่างของความดันใน Pa
12    """
13    if radius1 == 0 or radius2 == 0:
14        raise ValueError("รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์")
15    
16    return surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2)
17
18# ตัวอย่างสำหรับหยดน้ำทรงกลม
19surface_tension_water = 0.072  # N/m ที่ 20°C
20droplet_radius = 0.001  # 1 มม. ในเมตร
21
22# สำหรับทรงกลม รัศมีทั้งสองจะเท่ากัน
23pressure_diff = young_laplace_pressure(surface_tension_water, droplet_radius, droplet_radius)
24print(f"ความแตกต่างของความดัน: {pressure_diff:.2f} Pa")
25

1/**
2 * คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
3 * @param {number} surfaceTension - แรงตึงผิวใน N/m
4 * @param {number} radius1 - รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
5 * @param {number} radius2 - รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
6 * @returns {number} ความแตกต่างของความดันใน Pa
7 */
8function youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2) {
9  if (radius1 === 0 || radius2 === 0) {
10    throw new Error("รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์");
11  }
12  
13  return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
14}
15
16// ตัวอย่างสำหรับขอบเขตของน้ำในหลอดดูด
17const surfaceTensionWater = 0.072; // N/m ที่ 20°C
18const tubeRadius = 0.0005; // 0.5 มม. ในเมตร
19// สำหรับพื้นผิวทรงกระบอก รัศมีหนึ่งคือรัศมีของหลอดดูด รัศมีอื่นเป็นอนันต์
20const infiniteRadius = Number.MAX_VALUE;
21
22const pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionWater, tubeRadius, infiniteRadius);
23console.log(`ความแตกต่างของความดัน: ${pressureDiff.toFixed(2)} Pa`);
24

1public class YoungLaplaceCalculator {
2    /**
3     * คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
4     * 
5     * @param surfaceTension แรงตึงผิวใน N/m
6     * @param radius1 รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
7     * @param radius2 รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
8     * @return ความแตกต่างของความดันใน Pa
9     */
10    public static double calculatePressureDifference(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
11        if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์");
13        }
14        
15        return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
16    }
17    
18    public static void main(String[] args) {
19        // ตัวอย่างสำหรับฟองสบู่
20        double surfaceTensionSoap = 0.025; // N/m
21        double bubbleRadius = 0.01; // 1 ซม. ในเมตร
22        
23        // สำหรับฟองสบู่ทรงกลม รัศมีทั้งสองจะเท่ากัน
24        // หมายเหตุ: สำหรับฟองสบู่จะมีสองขอบเขต (ด้านในและด้านนอก)
25        // ดังนั้นเราจะคูณด้วย 2
26        double pressureDiff = 2 * calculatePressureDifference(surfaceTensionSoap, bubbleRadius, bubbleRadius);
27        
28        System.out.printf("ความแตกต่างของความดันที่ขอบฟองสบู่: %.2f Pa%n", pressureDiff);
29    }
30}
31

1function deltaP = youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2)
2    % คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
3    %
4    % ข้อมูลนำเข้า:
5    %   surfaceTension - แรงตึงผิวใน N/m
6    %   radius1 - รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
7    %   radius2 - รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
8    %
9    % ผลลัพธ์:
10    %   deltaP - ความแตกต่างของความดันใน Pa
11    
12    if radius1 == 0 || radius2 == 0
13        error('รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์');
14    end
15    
16    deltaP = surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
17end
18
19% ตัวอย่างสคริปต์ในการคำนวณและแสดงกราฟความดันเทียบกับรัศมีสำหรับหยดน้ำ
20surfaceTension = 0.072; % N/m สำหรับน้ำที่ 20°C
21radii = logspace(-6, -2, 100); % รัศมีจาก 1 µm ถึง 1 ซม.
22pressures = zeros(size(radii));
23
24for i = 1:length(radii)
25    % สำหรับหยดน้ำทรงกลม รัศมีหลักทั้งสองจะเท่ากัน
26    pressures(i) = youngLaplacePressure(surfaceTension, radii(i), radii(i));
27end
28
29% สร้างกราฟ log-log
30loglog(radii, pressures, 'LineWidth', 2);
31grid on;
32xlabel('รัศมีหยดน้ำ (m)');
33ylabel('ความแตกต่างของความดัน (Pa)');
34title('ความดัน Laplace เทียบกับขนาดหยดน้ำสำหรับน้ำ');
35

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3#include <cmath>
4#include <iomanip>
5
6/**
7 * คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
8 * 
9 * @param surfaceTension แรงตึงผิวใน N/m
10 * @param radius1 รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
11 * @param radius2 รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
12 * @return ความแตกต่างของความดันใน Pa
13 */
14double youngLaplacePressure(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
15    if (radius1 == 0.0 || radius2 == 0.0) {
16        throw std::invalid_argument("รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์");
17    }
18    
19    return surfaceTension * (1.0/radius1 + 1.0/radius2);
20}
21
22int main() {
23    try {
24        // ตัวอย่างสำหรับหยดน้ำปรอท
25        double surfaceTensionMercury = 0.485; // N/m ที่ 20°C
26        double dropletRadius = 0.002; // 2 มม. ในเมตร
27        
28        // สำหรับหยดน้ำทรงกลม รัศมีทั้งสองจะเท่ากัน
29        double pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, dropletRadius, dropletRadius);
30        
31        std::cout << "ความแตกต่างของความดันภายในหยดน้ำปรอท: " 
32                  << std::fixed << std::setprecision(2) << pressureDiff 
33                  << " Pa" << std::endl;
34                  
35        // ตัวอย่างสำหรับขอบเขตทรงกระบอก (เช่น ในหลอดดูด)
36        double tubeRadius = 0.0001; // 0.1 มม.
37        double infiniteRadius = std::numeric_limits<double>::max();
38        
39        double capillaryPressure = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, tubeRadius, infiniteRadius);
40        
41        std::cout << "ความแตกต่างของความดันในหลอดดูดปรอท: " 
42                  << std::fixed << std::setprecision(2) << capillaryPressure 
43                  << " Pa" << std::endl;
44    }
45    catch (const std::exception& e) {
46        std::cerr << "ข้อผิดพลาด: " << e.what() << std::endl;
47        return 1;
48    }
49    
50    return 0;
51}
52

1#' คำนวณความแตกต่างของความดันโดยใช้สมการ Young-Laplace
2#'
3#' @param surface_tension แรงตึงผิวใน N/m
4#' @param radius1 รัศมีหลักแรกของความโค้งใน m
5#' @param radius2 รัศมีหลักที่สองของความโค้งใน m
6#' @return ความแตกต่างของความดันใน Pa
7#' @examples
8#' young_laplace_pressure(0.072, 0.001, 0.001)
9young_laplace_pressure <- function(surface_tension, radius1, radius2) {
10  if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
11    stop("รัศมีต้องไม่เป็นศูนย์")
12  }
13  
14  return(surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2))
15}
16
17# ตัวอย่าง: เปรียบเทียบความแตกต่างของความดันสำหรับของเหลวต่าง ๆ ที่มีรูปทรงเดียวกัน
18liquids <- data.frame(
19  name = c("น้ำ", "เอทานอล", "ปรอท", "เบนซีน", "พลาสมาของเลือด"),
20  surface_tension = c(0.072, 0.022, 0.485, 0.029, 0.058)
21)
22
23# คำนวณความดันสำหรับหยดน้ำทรงกลมที่มีรัศมี 1 มม.
24droplet_radius <- 0.001 # m
25liquids$pressure <- sapply(liquids$surface_tension, function(st) {
26  young_laplace_pressure(st, droplet_radius, droplet_radius)
27})
28
29# สร้างกราฟแท่ง
30barplot(liquids$pressure, names.arg = liquids$name, 
31        ylab = "ความแตกต่างของความดัน (Pa)",
32        main = "ความดัน Laplace สำหรับหยดน้ำขนาด 1 มม. ของของเหลวต่าง ๆ",
33        col = "lightblue")
34
35# พิมพ์ผลลัพธ์
36print(liquids[, c("name", "surface_tension", "pressure")])
37

คำถามที่พบบ่อย

สมการ Young-Laplace ใช้ทำอะไร?

สมการ Young-Laplace ใช้ในการคำนวณความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตของของไหลโค้งเนื่องจากแรงตึงผิว เป็นสิ่งสำคัญในการเข้าใจปรากฏการณ์เช่นการกระทำของหลอดดูด การสร้างหยดน้ำ ความเสถียรของฟองอากาศ และแอปพลิเคชันไมโครฟลูอิดิกส์ต่าง ๆ สมการนี้ช่วยวิศวกรและนักวิจัยในการออกแบบระบบที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตของของไหลและคาดการณ์ว่ามันจะทำงานอย่างไรภายใต้สภาวะต่าง ๆ

ทำไมความดันถึงสูงกว่าภายในหยดน้ำขนาดเล็ก?

หยดน้ำขนาดเล็กมีความดันภายในสูงกว่าด้วยเหตุผลที่ว่ามีความโค้งมากขึ้น ตามสมการ Young-Laplace ความแตกต่างของความดันมีความสัมพันธ์กับรัศมีของความโค้ง (1/R) เมื่อรัศมีลดลง ความโค้ง (1/R) จะเพิ่มขึ้น ส่งผลให้ความแตกต่างของความดันสูงขึ้น นี่คือเหตุผลที่หยดน้ำขนาดเล็กระเหยได้เร็วกว่าและทำไมฟองอากาศขนาดเล็กในโฟมมักจะหดตัวในขณะที่ฟองอากาศขนาดใหญ่เติบโต

อุณหภูมิส่งผลกระทบต่อสมการ Young-Laplace อย่างไร?

อุณหภูมิส่งผลกระทบต่อสมการ Young-Laplace ผ่านการเปลี่ยนแปลงของแรงตึงผิว แรงตึงผิวของของเหลวส่วนใหญ่จะลดลงประมาณเชิงเส้นเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ซึ่งหมายความว่าความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโค้งจะลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น โดยสมมติว่ารูปร่างยังคงเหมือนเดิม ใกล้จุดวิกฤติของของไหล แรงตึงผิวจะเข้าใกล้ศูนย์ และผลกระทบของ Young-Laplace จะไม่มีนัยสำคัญ

สามารถใช้สมการ Young-Laplace กับพื้นผิวที่ไม่เป็นทรงกลมได้หรือไม่?

ใช่ สมการ Young-Laplace รูปแบบทั่วไปใช้ได้กับขอบเขตที่โค้งทุกประเภท ไม่ใช่แค่พื้นผิวทรงกลม สมการนี้ใช้รัศมีหลักสองตัวซึ่งอาจแตกต่างกันสำหรับพื้นผิวที่ไม่เป็นทรงกลม สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน รัศมีเหล่านี้อาจแตกต่างกันจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งตามพื้นผิว ซึ่งต้องการการรักษาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นหรือวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาสำหรับรูปร่างทั้งหมด

ความสัมพันธ์ระหว่างสมการ Young-Laplace และการขึ้นหลอดดูดคืออะไร?

สมการ Young-Laplace อธิบายการขึ้นหลอดดูดโดยตรง ในหลอดที่แคบ ขอบเขตที่โค้งสร้างความแตกต่างของความดันตามสมการนี้ ความแตกต่างของความดันนี้ขับเคลื่อนของเหลวขึ้นไปข้างบนต่อสู้กับแรงโน้มถ่วงจนกว่าจะถึงสมดุล ความสูงของการขึ้นหลอดดูดสามารถอนุมานได้โดยการตั้งค่าความแตกต่างของความดันจากสมการ Young-Laplace เท่ากับความดันไฮดรอลิกของคอลัมน์ของของเหลวที่ยกขึ้น (ρgh) ซึ่งส่งผลให้ได้สูตรที่รู้จักกันดี h = 2γcosθ/(ρgr)

สมการ Young-Laplace มีความแม่นยำเพียงใดที่ระดับเล็กมาก?

สมการ Young-Laplace โดยทั่วไปมีความแม่นยำในระดับจุลภาค (ไมโครเมตร) แต่ที่ระดับนาโนผลกระทบเพิ่มเติมจะมีความสำคัญ เช่น แรงตึงเส้น (ที่จุดสัมผัสสามเฟส) ความดันการแยก (ในฟิล์มบาง) และการโต้ตอบของโมเลกุล ที่ระดับเหล่านี้ สมมติฐานการต่อเนื่องเริ่มล้มเหลว และสมการ Young-Laplace คลาสสิกอาจต้องการการแก้ไขหรือการแทนที่ด้วยวิธีการพลศาสตร์โมเลกุล

ความแตกต่างระหว่างสมการ Young-Laplace และสมการของ Young คืออะไร?

แม้ว่าจะเกี่ยวข้องกัน แต่สมการเหล่านี้อธิบายแง่มุมที่แตกต่างกันของขอบเขตของของไหล สมการ Young-Laplace เชื่อมโยงความแตกต่างของความดันกับความโค้งและแรงตึงผิว ในขณะที่สมการของ Young (บางครั้งเรียกว่าสัมพันธ์ของ Young) อธิบายมุมสัมผัสที่เกิดขึ้นเมื่อขอบเขตของของเหลว-ไอพบกับพื้นผิวแข็ง โดยเชื่อมโยงกับแรงตึงผิวระหว่างสามเฟส (ของแข็ง-ไอ, ของแข็ง-ของเหลว, และของเหลว-ไอ) ทั้งสองสมการได้รับการพัฒนาโดย Thomas Young และเป็นพื้นฐานในการเข้าใจปรากฏการณ์ระหว่างผิว

สารลดแรงตึงผิวมีผลต่อความดัน Young-Laplace อย่างไร?

สารลดแรงตึงผิวจะลดแรงตึงผิวโดยการดูดซับที่ขอบเขตของของไหล ตามสมการ Young-Laplace นี้จะลดความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโดยตรง นอกจากนี้ สารลดแรงตึงผิวสามารถสร้างความแตกต่างของแรงตึงผิว (ผล Marangoni) เมื่อกระจายไม่สม่ำเสมอ ซึ่งทำให้เกิดการไหลที่ซับซ้อนและพฤติกรรมพลศาสตร์ที่ไม่สามารถจับได้ด้วยสมการ Young-Laplace แบบคงที่ นี่คือเหตุผลที่สารลดแรงตึงผิวช่วยรักษาโฟมและอิมัลชัน—พวกมันลดความแตกต่างของความดันที่ขับเคลื่อนการรวมตัว

สมการ Young-Laplace สามารถคาดการณ์รูปร่างของหยดน้ำแขวนได้หรือไม่?

ใช่ สมการ Young-Laplace ร่วมกับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงสามารถคาดการณ์รูปร่างของหยดน้ำแขวนได้ สำหรับกรณีเหล่านี้ สมการมักจะถูกเขียนในแง่ของความโค้งเฉลี่ยและแก้ไขแบบตัวเลขในฐานะปัญหาค่าขอบ ซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธีหยดน้ำแขวนในการวัดแรงตึงผิว โดยที่รูปร่างของหยดน้ำที่สังเกตจะถูกจับคู่กับโปรไฟล์ทางทฤษฎีที่คำนวณจากสมการ Young-Laplace

ควรใช้หน่วยใดกับสมการ Young-Laplace?

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน ควรใช้หน่วย SI กับสมการ Young-Laplace:

• แรงตึงผิว (γ): นิวตันต่อเมตร (N/m)
• รัศมีของความโค้ง (R₁, R₂): เมตร (m)
• ความแตกต่างของความดันที่เกิดขึ้น (ΔP): ปาสกาล (Pa)

หากคุณใช้ระบบหน่วยอื่น ๆ ให้ตรวจสอบความสอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ในหน่วย CGS ให้ใช้ dyne/cm สำหรับแรงตึงผิว cm สำหรับรัศมี และ dyne/cm² สำหรับความดัน

อ้างอิง

1. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.

2. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6th ed.). Wiley-Interscience.

3. Israelachvili, J.N. (2011). Intermolecular and Surface Forces (3rd ed.). Academic Press.

4. Rowlinson, J.S., & Widom, B. (2002). Molecular Theory of Capillarity. Dover Publications.

5. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids". Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65-87.

6. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Supplement to Book 10.

7. Defay, R., & Prigogine, I. (1966). Surface Tension and Adsorption. Longmans.

8. Finn, R. (1986). Equilibrium Capillary Surfaces. Springer-Verlag.

9. Derjaguin, B.V., Churaev, N.V., & Muller, V.M. (1987). Surface Forces. Consultants Bureau.

10. Lautrup, B. (2011). Physics of Continuous Matter: Exotic and Everyday Phenomena in the Macroscopic World (2nd ed.). CRC Press.

พร้อมที่จะคำนวณความแตกต่างของความดันที่ขอบเขตโค้งหรือยัง? ลองใช้ Young-Laplace Equation Solver ของเราในขณะนี้และรับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปรากฏการณ์แรงตึงผิว สำหรับเครื่องมือและเครื่องคำนวณทางกลศาสตร์ของของไหลอื่น ๆ สำรวจแหล่งข้อมูลอื่น ๆ ของเรา