a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plane

Miller Indices (3,2,1) Crystal Plane

Uwakilishi wa 3D wa ndege ya kijidudu yenye Miller indices (3,2,1). Ndege inakata axisi za x, y, na z katika alama 2, 3, na 6 mtawalia, na kusababisha Miller indices (3,2,1) baada ya kuchukua reciprocals na kupata seti ndogo ya nambari zenye uwiano sawa.

Formula ya Miller Indices na Njia ya Hesabu

Ili kuhesabu Miller indices (h,k,l) za ndege ya kijidudu, fuata hatua hizi za kihesabu ukitumia kihesabu cha Miller indices:

1. Tambua mipangilio ya ndege na axisi za crystallographic x, y, na z, ukitoa thamani a, b, na c.
2. Chukua reciprocals za mipangilio hii: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Geuza reciprocals hizi kuwa seti ndogo ya nambari ambazo zinahifadhi uwiano sawa.
4. Nambari tatu zinazotokana ni Miller indices (h,k,l).

Kihesabu, hii inaweza kuonyeshwa kama:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Ambapo:

• (h,k,l) ni Miller indices
• a, b, c ni mipangilio ya ndege na axisi za x, y, na z, mtawalia

Mambo Maalum na Mikataba

Mambo kadhaa maalum na mikataba ni muhimu kuelewa:

1. Mipangilio ya Upeo: Ikiwa ndege ni sambamba na axisi, mipangilio yake inachukuliwa kuwa upeo, na Miller index inayohusiana inakuwa sifuri.

2. Indices Mbaya: Ikiwa ndege inakata axisi upande mbaya wa asili, Miller index inayohusiana ni mbaya, inayoonyeshwa kwa bar juu ya nambari katika noti ya crystallographic, mfano (h̄kl).

3. Mipangilio ya Fractional: Ikiwa mipangilio ni fractional, inabadilishwa kuwa nambari nzima kwa kuzidisha na idadi ndogo ya kawaida.

4. Urahisi: Miller indices daima hupunguzwa kuwa seti ndogo ya nambari ambazo zinahifadhi uwiano sawa.

Jinsi ya Kutumia Kihesabu cha Miller Indices: Mwongozo wa Hatua kwa Hatua

Kihesabu chetu cha Miller indices kinatoa njia rahisi ya kubaini Miller indices kwa ndege yoyote ya kijidudu. Hapa kuna jinsi ya kutumia kihesabu cha Miller indices:

1. Ingiza Mipangilio: Ingiza thamani ambapo ndege inakata axisi za x, y, na z.

   • Tumia nambari chanya kwa mipangilio upande chanya wa asili.
   • Tumia nambari mbaya kwa mipangilio upande mbaya.
   • Ingiza "0" kwa ndege ambazo ni sambamba na axisi (mipangilio ya upeo).

2. Tazama Matokeo: Kihesabu kita hesabu moja kwa moja na kuonyesha Miller indices (h,k,l) kwa ndege iliyotajwa.

3. Onyesha Ndege: Kihesabu kinajumuisha uwakilishi wa 3D ili kukusaidia kuelewa mwelekeo wa ndege ndani ya crystal lattice.

4. Nakili Matokeo: Tumia kitufe cha "Nakili kwa Clipboard" ili kwa urahisi kuhamasisha Miller indices zilizohesabiwa kwa programu nyingine.

Mfano wa Hesabu ya Miller Indices

Hebu tupitie mfano:

Kiwango ndege inakata axisi za x, y, na z katika alama 2, 3, na 6 mtawalia.

1. Mipangilio ni (2, 3, 6).
2. Kuchukua reciprocals: (1/2, 1/3, 1/6).
3. Ili kupata seti ndogo ya nambari zenye uwiano sawa, zidisha kwa idadi ndogo ya kawaida ya denominator (LCM ya 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
4. Kwa hivyo, Miller indices ni (3,2,1).

Maombi ya Miller Indices katika Sayansi na Uhandisi

Miller indices yana matumizi mengi katika nyanja mbalimbali za sayansi na uhandisi, na kufanya kihesabu cha Miller indices kuwa muhimu kwa:

Crystallography na Kutafakari X-ray

Miller indices ni muhimu kwa kutafsiri michoro ya kutafakari X-ray. Nafasi kati ya mipangilio ya kijiometri, inayotambulika kwa Miller indices zao, inaamua pembe ambazo X-rays zinatafakari, ikifuatia sheria ya Bragg:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Ambapo:

• $n$ ni nambari nzima
• $\lambda$ ni urefu wa wimbi la X-rays
• $d_{hkl}$ ni nafasi kati ya mipangilio yenye Miller indices (h,k,l)
• $\theta$ ni pembe ya kuingia

Sayansi ya Vifaa na Uhandisi

1. Uchambuzi wa Nguvu ya Uso: Mipangilio tofauti ya crystallographic ina nguvu tofauti za uso, ikihusisha mali kama ukuaji wa kijiometri, katalisisi, na kushikamana.

2. Mali za Mekani: Mwelekeo wa mipangilio ya kijiometri unaathiri mali za mekaniki kama mifumo ya kuteleza, mipangilio ya kuvunjika, na tabia ya kuvunjika.

3. Utengenezaji wa Semiconductors: Katika utengenezaji wa semiconductor, mipangilio maalum ya kijiometri inachaguliwa kwa ukuaji wa epitaxial na utengenezaji wa kifaa kutokana na mali zao za umeme.

4. Uchambuzi wa Texture: Miller indices husaidia kuainisha mwelekeo uliochaguliwa (texture) katika vifaa vya polycrystalline, ambavyo vinaathiri mali zao za kimwili.

Mineralogy na Jiolojia

Wajiolojia hutumia Miller indices kuelezea uso wa kijiometri na mipangilio ya kuvunjika katika madini, kusaidia katika utambuzi na kuelewa hali za uundaji.

Maombi ya Kitaaluma

Miller indices ni dhana za msingi zinazofundishwa katika masomo ya sayansi ya vifaa, crystallography, na kozi za fizikia ya hali thabiti, na kufanya kihesabu hiki kuwa chombo cha elimu chenye thamani.

Mbadala wa Miller Indices

Ingawa Miller indices ndiyo noti inayotumika zaidi kwa mipangilio ya kijiometri, kuna mifumo kadhaa mbadala:

1. Miller-Bravais Indices: Noti ya nambari nne (h,k,i,l) inayotumika kwa mifumo ya kijiometri ya hexagonal, ambapo i = -(h+k). Noti hii inakidhi vizuri symmetry ya muundo wa hexagonal.

2. Weber Symbols: Inayotumiwa hasa katika fasihi ya zamani, hasa kwa kuelezea mwelekeo katika crystals za cubic.

3. Vektori za Lattice za Moja kwa Moja: Katika baadhi ya matukio, mipangilio inaelezewa kwa kutumia vektori za lattice za moja kwa moja badala ya Miller indices.

4. Mikao ya Wyckoff: Kwa kuelezea nafasi za atomiki ndani ya muundo wa kijiometri badala ya mipangilio.

Licha ya hizi mbadala, Miller indices zinabaki kuwa noti ya kawaida kutokana na urahisi wake na matumizi yake ya ulimwengu mzima katika mifumo yote ya kijiometri.

Historia ya Miller Indices

Mfumo wa Miller indices ulitengenezwa na mchunguzi wa madini na crystallographer wa Uingereza William Hallowes Miller mwaka 1839, uliochapishwa katika kitabu chake "A Treatise on Crystallography." Noti ya Miller ilijengwa juu ya kazi za awali za Auguste Bravais na wengine, lakini ilitoa njia ya kisasa na inayofaa kihesabu.

Kabla ya mfumo wa Miller, mifumo mbalimbali ilitumika kuelezea uso wa kijiometri, ikiwa ni pamoja na vigezo vya Weiss na alama za Naumann. Ubunifu wa Miller ulikuwa kutumia reciprocals za mipangilio, ambayo ilirahisisha hesabu nyingi za crystallographic na kutoa uwakilishi wa moja kwa moja wa mipangilio sambamba.

Kupitishwa kwa Miller indices kuliongezeka na ugunduzi wa kutafakari X-ray na Max von Laue mwaka 1912 na kazi inayofuata ya William Lawrence Bragg na William Henry Bragg. Utafiti wao ulionyesha matumizi halisi ya Miller indices katika kutafsiri michoro ya kutafakari na kubaini muundo wa kijiometri.

Katika karne ya 20, kadri crystallography ilivyokuwa muhimu zaidi katika sayansi ya vifaa, fizikia ya hali thabiti, na biokemia, Miller indices zilijitengeneza kama noti ya kawaida. Leo, zinabaki kuwa muhimu katika mbinu za kisasa za uainishaji wa vifaa, crystallography ya kompyuta, na kubuni ya nanomaterial.

Mifano ya Kihesabu kwa Miller Indices