Kihesabu cha Usambazaji wa Laplace

Utangulizi

Usambazaji wa Laplace, pia unajulikana kama usambazaji wa exponential mara mbili, ni usambazaji wa uwezekano wa kuendelea uliopewa jina la Pierre-Simon Laplace. Ni wa usawa kuzunguka maana yake (kiparameter cha eneo) na una ncha nzito zaidi ikilinganishwa na usambazaji wa kawaida. Kihesabu hiki kinakuwezesha kuhesabu thamani ya kazi ya wiani wa uwezekano (PDF) wa usambazaji wa Laplace kwa vigezo vilivyotolewa na kuonyesha umbo lake.

Jinsi ya Kutumia Kihesabu Hiki

1. Ingiza kiparameter cha eneo (μ), ambacho kinawakilisha maana ya usambazaji.
2. Ingiza kiparameter cha kiwango (b), ambacho kinatambulisha usambazaji (b > 0).
3. Kihesabu kitaonyesha thamani ya kazi ya wiani wa uwezekano (PDF) wakati x = 0 na kuonyesha grafu ya usambazaji.

Kumbuka: Kiparameter cha kiwango lazima kiwe chanya kabisa (b > 0).

Fomula

Kazi ya wiani wa uwezekano (PDF) wa usambazaji wa Laplace inatolewa na:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Ambapo:

• x ni variable
• μ (mu) ni kiparameter cha eneo
• b ni kiparameter cha kiwango (b > 0)

Hesabu

Kihesabu kinatumia fomula hii kuhesabu thamani ya PDF wakati x = 0 kulingana na ingizo la mtumiaji. Hapa kuna maelezo ya hatua kwa hatua:

1. Thibitisha ingizo: Hakikisha kwamba kiparameter cha kiwango b ni chanya.
2. Hesabu |x - μ|: Katika kesi hii, ni |0 - μ| = |μ|.
3. Hesabu kipengele cha eksponenshiali: $\exp(-|μ| / b)$
4. Hesabu matokeo ya mwisho: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Mambo ya kuzingatia:

• Ikiwa b ≤ 0, onyesha ujumbe wa kosa.
• Kwa |μ| kubwa sana au b ndogo sana, matokeo yanaweza kuwa karibu na sifuri.
• Kwa μ = 0, PDF itafikia thamani yake ya juu ya 1/(2b) wakati x = 0.

Matumizi

Usambazaji wa Laplace una matumizi mbalimbali katika nyanja tofauti:

1. Usindikaji wa Ishara: Unatumika katika kuunda na kuchambua ishara za sauti na picha.

2. Fedha: Unatumika katika kuunda mifano ya marejeo ya kifedha na tathmini ya hatari.

3. Kujifunza Mashine: Unatumika katika mbinu ya Laplace kwa faragha tofauti na katika baadhi ya mifano ya uhamasishaji wa Bayesian.

4. Usindikaji wa Lugha Asilia: Unatumika katika mifano ya lugha na kazi za uainishaji wa maandiko.

5. Jiolojia: Unatumika katika kuunda usambazaji wa ukubwa wa tetemeko la ardhi (sheria ya Gutenberg-Richter).

Mbadala

Ingawa usambazaji wa Laplace ni muhimu katika hali nyingi, kuna usambazaji wa uwezekano wengine ambao unaweza kuwa bora katika hali fulani:

1. Usambazaji wa Kawaida (Gaussian): Unatumika zaidi katika kuunda mifano ya matukio ya asili na makosa ya kipimo.

2. Usambazaji wa Cauchy: Una ncha nzito zaidi kuliko usambazaji wa Laplace, unafaa kwa kuunda data yenye viwango vya juu vya nje.

3. Usambazaji wa Eksponenshiali: Unatumika katika kuunda muda kati ya matukio katika mchakato wa Poisson.

4. Usambazaji wa t wa mwanafunzi: Mara nyingi hutumiwa katika upimaji wa dhana na kuunda mifano ya marejeo ya kifedha.

5. Usambazaji wa Logistic: Una umbo linalofanana na usambazaji wa kawaida lakini una ncha nzito zaidi.

Historia

Usambazaji wa Laplace ulianzishwa na Pierre-Simon Laplace katika kumbukumbu yake ya 1774 "Kuhusu Uwezekano wa Sababu za Matukio." Hata hivyo, usambazaji huu ulipata umaarufu zaidi katika karne ya 20 na maendeleo ya takwimu za kihesabu.

Maalum muhimu katika historia ya usambazaji wa Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace anaanzisha usambazaji katika kazi yake juu ya nadharia ya uwezekano.
2. Miaka ya 1930: Usambazaji unagunduliwa tena na kutumika katika nyanja mbalimbali, ikiwa ni pamoja na uchumi na uhandisi.
3. Miaka ya 1960: Usambazaji wa Laplace unapata umuhimu katika takwimu thabiti kama mbadala wa usambazaji wa kawaida.
4. Miaka ya 1990-hadi sasa: Kuongezeka kwa matumizi katika kujifunza mashine, usindikaji wa ishara, na uundaji wa kifedha.

Mifano

Hapa kuna mifano ya msimbo kuhesabu PDF ya usambazaji wa Laplace:

1' Excel VBA Function kwa PDF ya Usambazaji wa Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Matumizi:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Kiparameter cha kiwango lazima kiwe chanya")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Matumizi ya mfano:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Thamani ya PDF wakati x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Kiparameter cha kiwango lazima kiwe chanya");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Matumizi ya mfano:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Thamani ya PDF wakati x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Kiparameter cha kiwango lazima kiwe chanya");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Thamani ya PDF wakati x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Mifano hii inaonyesha jinsi ya kuhesabu PDF ya usambazaji wa Laplace kwa vigezo vilivyotolewa. Unaweza kubadilisha kazi hizi kulingana na mahitaji yako maalum au kuziunganisha katika mifumo mikubwa ya uchambuzi wa takwimu.

Mifano ya Nambari

1. Usambazaji wa Laplace wa Kawaida:

   • Eneo (μ) = 0
   • Kiwango (b) = 1
   • PDF wakati x = 0: 0.500000

2. Usambazaji wa Laplace uliohamishwa:

   • Eneo (μ) = 2
   • Kiwango (b) = 1
   • PDF wakati x = 0: 0.183940

3. Usambazaji wa Laplace uliohamishwa:

   • Eneo (μ) = 0
   • Kiwango (b) = 3
   • PDF wakati x = 0: 0.166667

4. Usambazaji wa Laplace uliohamishwa na Kiwango:

   • Eneo (μ) = -1
   • Kiwango (b) = 0.5
   • PDF wakati x = 0: 0.367879

Marejeleo

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). Usambazaji wa Laplace na Ujumuishaji. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). Averages Kuu na Sheria za Kosa ambazo Zinawapelekea. Jarida la Chama cha Takwimu cha Kifalme, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). Mbinu ya Laplace katika Faragha Tofauti. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Misingi ya Kelele na Uchambuzi wa Vibration kwa Wahandisi. Cambridge University Press.
5. "Usambazaji wa Laplace." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Imetazamwa 2 Agosti 2024.