అంకగణిత అనుక్రమం జనరేటర్ & కాల్కులేటర్ - ఉచిత సాధనం

అంకగణిత శ్రేణి అంటే ఏమిటి?

అంకగణిత శ్రేణి అనేది సంఖ్యల జాబితా; ఇందులో ప్రతి పదాన్ని దాని ముందు పదానికి స్థిరమైన మొత్తాన్ని కలపడం ద్వారా కనుగొంటారు. ఆ స్థిరమైన మొత్తాన్ని సామాన్య వ్యత్యాసం అంటారు. 2, 5, 8, 11, 14 అనే శ్రేణిలో ప్రతి పదం దాని ముందు పదం కంటే 3 ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి సామాన్య వ్యత్యాసం 3. అంకగణిత శ్రేణులను అంకగణిత ప్రగతులు అని కూడా అంటారు.

అంకగణిత శ్రేణి జనరేటర్ ఈ రకమైన జాబితాను మూడు విలువలతో నిర్మిస్తుంది:

మొదటి పదం (a₁): ప్రారంభ సంఖ్య.
సామాన్య వ్యత్యాసం (d): తదుపరి పదాన్ని పొందడానికి ప్రతి పదానికి కలిపే స్థిరమైన మొత్తం. ధన విలువ శ్రేణిని పెంచుతుంది. ఋణ విలువ శ్రేణిని తగ్గిస్తుంది.
పదాల సంఖ్య (n): శ్రేణిలో కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం.

పూర్తిగా రాస్తే, అంకగణిత శ్రేణి ఇలా ఉంటుంది: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, ఇంకా ఇలా, a₁ + (n − 1)d వరకు.

అంకగణిత శ్రేణి సూత్రం

అంకగణిత శ్రేణిలో nవ పదానికి సూత్రం:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

aₙ అనేది nవ స్థానంలోని పదం విలువ.
a₁ అనేది మొదటి పదం.
n అనేది పదం స్థానం; లెక్కింపు 1 నుంచి ప్రారంభమవుతుంది.
d అనేది సామాన్య వ్యత్యాసం.

(n − 1) కనిపించడానికి కారణం, మొదటి పదానికి ఇంకా సామాన్య వ్యత్యాసం కలపకపోవడమే. రెండవ పదానికి అది ఒకసారి, మూడవ పదానికి రెండుసార్లు కలపబడుతుంది; అలాగే కొనసాగుతుంది. nవ పదానికి వచ్చేసరికి సామాన్య వ్యత్యాసం (n − 1) సార్లు కలపబడి ఉంటుంది.

అంకగణిత శ్రేణి మొత్తానికి సూత్రం

అంకగణిత శ్రేణిలోని మొదటి n పదాల మొత్తం:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ అనేది మొదటి n పదాల మొత్తం, aₙ అనేది ఆ మొత్తంలో చేర్చిన చివరి పదం. మొదటి మరియు చివరి పదాలను, రెండవ మరియు చివరి నుండి రెండవ పదాలను, అలాగే మిగిలిన జతలను జతచేస్తే ప్రతిసారీ ఒకే జత మొత్తం వస్తుంది. ఆ జత మొత్తాన్ని పదాల సంఖ్యలో సగంతో గుణిస్తే మొత్తం లభిస్తుంది.

చివరి పదం ముందుగా తెలియాల్సిన అవసరం లేని సమానమైన రూపం:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

ఈ సూత్రానికి గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్ పేరు అనుసంధానించబడింది. చిన్నవయసులోనే ఆయన జతల పద్ధతిని ఉపయోగించి 1 నుంచి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యలను కొన్ని సెకన్లలో కలిపినట్లు చెబుతారు: ఒక్కొక్కటి 101కి సమానమైన 50 జతలు, మొత్తం 5,050.

ఉదాహరణ పరిష్కారం

మొదటి పదం 5, సామాన్య వ్యత్యాసం 3, పదాల సంఖ్య 6గా తీసుకుందాం.

స్థానం (n)	గణన	పదం
1	5 + (1 − 1) × 3	5
2	5 + (2 − 1) × 3	8
3	5 + (3 − 1) × 3	11
4	5 + (4 − 1) × 3	14
5	5 + (5 − 1) × 3	17
6	5 + (6 − 1) × 3	20

శ్రేణి 5, 8, 11, 14, 17, 20. దీని మొత్తం (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

అంకగణిత శ్రేణి కాలిక్యులేటర్‌ను ఎలా ఉపయోగించాలి

మొదటి పదాన్ని (a₁) నమోదు చేయండి. అది ధన, ఋణ లేదా సున్నా విలువ కావచ్చు; దశాంశాలను కూడా కలిగి ఉండవచ్చు.
సామాన్య వ్యత్యాసాన్ని (d) నమోదు చేయండి. అది కూడా ధన, ఋణ, సున్నా లేదా దశాంశ విలువ కావచ్చు.
పదాల సంఖ్యను (n) నమోదు చేయండి. ఇది 1 నుంచి 10,000 వరకు ఉండే పూర్ణ సంఖ్య కావాలి. దశాంశాన్ని సమీప పూర్ణ సంఖ్యకు సర్దుబాటు చేస్తారు.
మూడు క్షేత్రాలను నింపగానే శ్రేణి, దాని పదాల సంఖ్య, మొత్తం కనిపిస్తాయి. నొక్కాల్సిన ప్రత్యేక బటన్ ఏదీ లేదు.
పదాల పూర్తి జాబితాను కాపీ చేయడానికి శ్రేణిని కాపీ చేయి ఎంచుకోండి.
మూడు క్షేత్రాలను ఖాళీ చేసి మళ్లీ ప్రారంభించడానికి తొలగించు ఎంచుకోండి.

ఇన్‌పుట్ నియమాలు

మొదటి పదం మరియు సామాన్య వ్యత్యాసం దశాంశాలు, ఋణ సంఖ్యలు సహా ఏ వాస్తవ సంఖ్యనైనా స్వీకరిస్తాయి. పదాల సంఖ్య పూర్ణ అంశాలను లెక్కిస్తుంది, కాబట్టి శ్రేణిలో సగం పదం ఉండదు. క్షేత్రం దశాంశ నమోదును సమీప పూర్ణ సంఖ్యకు సర్దుబాటు చేస్తుంది: 10.5 నమోదు చేస్తే 11 పదాలు వస్తాయి. ఆ సంఖ్య 1 నుంచి 10,000 మధ్య ఉండాలి. సున్నా, ఋణ సంఖ్య లేదా 10,000 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య ఇస్తే శ్రేణికి బదులుగా దోష సందేశం కనిపిస్తుంది. 10,000 పరిమితి ఉండటానికి కారణం, ఇంకా పొడవైన జాబితాను నిర్మించి చూపడం వల్ల వెబ్ బ్రౌజర్ నెమ్మదించవచ్చు.

అంకగణిత శ్రేణుల ఉపయోగాలు

క్రమమైన దశల్లో స్థిరమైన మొత్తంతో మారే విషయాలను అంకగణిత శ్రేణులు వివరిస్తాయి. $100తో ప్రారంభమై ప్రతి నెలా $25 జోడించే పొదుపు పథకం అంకగణిత శ్రేణిని అనుసరిస్తుంది: 100, 125, 150, 175, ఇంకా అలాగే. కౌంట్‌డౌన్ టైమర్, సమాన అంతరాలతో ఉన్న సమావేశ సమయాల సమితి, కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లలో ఉపయోగించే వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సూచికలు కూడా ఇదే నమూనాను అనుసరిస్తాయి. ప్రారంభ బీజగణితంలో నమూనాలను అధ్యయనం చేయడానికి విద్యార్థులు సాధారణంగా అంకగణిత శ్రేణులను ఉపయోగిస్తారు, ఎందుకంటే స్థిరమైన వ్యత్యాసం జాబితా వెనుక ఉన్న నియమాన్ని సులభంగా చూడటానికి, తనిఖీ చేయడానికి వీలు కల్పిస్తుంది.

దీనికి సంబంధించిన నమూనా గుణోత్తర శ్రేణి. ఇందులో స్థిరమైన మొత్తాన్ని కలపడానికి బదులుగా, స్థిరమైన నిష్పత్తితో గుణించడం ద్వారా ప్రతి పదాన్ని కనుగొంటారు; ఉదాహరణకు 2, 6, 18, 54. గుణోత్తర శ్రేణులు కాలక్రమేణా వేగం పుంజుకునే వృద్ధిని, ఉదాహరణకు చక్రవడ్డీని, అంకగణిత శ్రేణిలోని స్థిరమైన సరళ మార్పుకు భిన్నంగా నమూనా రూపంలో చూపిస్తాయి.

చరిత్ర

అంకగణిత శ్రేణులు గణితంలో అధ్యయనం చేసిన అత్యంత పురాతన నమూనాలలో ఉన్నాయి. సుమారు 1650 క్రీ.పూ. నాటి ఈజిప్టు పత్రం అయిన రైండ్ గణిత పాపిరస్‌లో వస్తువులను పంచడానికి అంకగణిత ప్రగతులను ఉపయోగించే సమస్యలు ఉన్నాయి. అంతకంటే ముందే ప్రాచీన బాబిలోనియా గ్రంథాల్లో ఇలాంటి నమూనాలు కనిపిస్తాయి. యూక్లిడ్ సహా గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్తలు, సుమారు 300 క్రీ.పూ. కాలంలో, తరువాత ఈ శ్రేణులపై అధికారిక నిరూపణలు అందించారు; అవి నేటికీ బోధించబడుతున్నాయి.

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

సులభంగా చెప్పాలంటే అంకగణిత శ్రేణి అంటే ఏమిటి?

తదుపరి సంఖ్యను పొందడానికి ప్రతిసారీ ఒకే మొత్తాన్ని కలిపే సంఖ్యల జాబితా అది. 2, 5, 8, 11లో ఆ మొత్తం 3.

ప్రతి ముందు పదాన్ని రాయకుండానే nవ పదాన్ని ఎలా కనుగొనవచ్చు?

aₙ = a₁ + (n − 1) × d అనే సూత్రం ఏ పదాన్నైనా నేరుగా ఇస్తుంది. 3తో ప్రారంభమై, సామాన్య వ్యత్యాసం 7గా ఉన్న శ్రేణిలో, 50వ పదం 3 + (49 × 7) = 346.

అంకగణిత శ్రేణికి, గుణోత్తర శ్రేణికి మధ్య తేడా ఏమిటి?

అంకగణిత శ్రేణిలో ప్రతిసారీ ఒకే విలువను కలుపుతారు; ఉదాహరణకు 2, 5, 8, 11. గుణోత్తర శ్రేణిలో ప్రతిసారీ ఒకే విలువతో గుణిస్తారు; ఉదాహరణకు 2, 6, 18, 54.

అంకగణిత శ్రేణిలో ఋణ సంఖ్యలను ఉపయోగించవచ్చా?

అవును. మొదటి పదం, సామాన్య వ్యత్యాసం లేదా రెండూ ఋణ విలువలు కావచ్చు. -10, -6, -2, 2, 6 అనే శ్రేణికి సామాన్య వ్యత్యాసం 4. 100, 90, 80, 70 వంటి కౌంట్‌డౌన్‌కు సామాన్య వ్యత్యాసం -10.

సంఖ్యల జాబితా నుంచి సామాన్య వ్యత్యాసాన్ని ఎలా కనుగొంటారు?

ఏదైనా పదాన్ని దాని తరువాతి పదం నుంచి తీసివేయండి: d = a₂ − a₁. 7, 12, 17, 22లో అది 12 − 7 = 5; అలాగే 17 − 12 కూడా 5కి సమానం, ఇది ఆ శ్రేణి అంకగణిత శ్రేణి అని నిర్ధారిస్తుంది.

ఈ కాలిక్యులేటర్ గరిష్ఠంగా ఎన్ని పదాలను రూపొందించగలదు?

గరిష్ఠంగా 10,000 పదాలు. చాలా పొడవైన జాబితాను చూపించడం వల్ల వెబ్ బ్రౌజర్ నెమ్మదించవచ్చు కాబట్టి ఈ పరిమితి ఉంది.

అంకగణిత అనుక్రమం జనరేటర్ & కాల్కులేటర్ - ఉచిత సాధనం