పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల కాలిక్యులేటర్

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అంటే రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణ సంఖ్యలు, వాటి ఏకైక ఉమ్మడి ధన భాజకం 1 అయి ఉంటుంది. మీరు నమోదు చేసిన సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకాన్ని (GCD) కనుగొని అవి పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్నాయో లేదో ఈ కాలిక్యులేటర్ తనిఖీ చేస్తుంది. GCD 1 అయితే, ఆ సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలను సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా పరస్పర సంబంధ ప్రధాన సంఖ్యలు అని కూడా అంటారు.

పరస్పర ప్రధానం అంటే ఏమిటి?

1 కంటే పెద్దదైన ఏ పూర్ణ సంఖ్య కూడా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలను ఒకేసారి భాగించనప్పుడు అవి పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి. సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, 8 మరియు 15 పరస్పర ప్రధానం: 8 యొక్క కారకాలు 1, 2, 4, 8; 15 యొక్క కారకాలు 1, 3, 5, 15. అవి పంచుకునే ఏకైక కారకం 1, కాబట్టి అవి పరస్పర ప్రధానం.

దీనికి విరుద్ధంగా, 12 మరియు 18 పరస్పర ప్రధానం కావు. రెండూ 2, 3, 6 చేత భాగించబడతాయి, కాబట్టి వాటి గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 6.

సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేసే విధానం

1. అన్ని సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకాన్ని (GCD) కనుగొనండి. GCD అంటే ప్రతి సంఖ్యను శేషం లేకుండా భాగించే అతిపెద్ద పూర్ణ సంఖ్య.
2. GCDను 1తో పోల్చండి. GCD 1కి సమానమైతే సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానం. GCD 1 కంటే ఎక్కువైతే అవి పరస్పర ప్రధానం కావు.

సంఖ్యల సమూహం యొక్క GCDను, యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్‌ను ఒకేసారి రెండు సంఖ్యలకు వరుసగా వర్తింపజేయడం ద్వారా కనుగొంటారు: a, b, c అనే మూడు సంఖ్యల GCD, GCD(GCD(a, b), c) గా ఉంటుంది.

పరస్పర ప్రధాన సూత్రం

a₁, a₂, …, aₙ సంఖ్యలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నప్పుడు పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

ఉదాహరణ

6, 10, 15 పరస్పర ప్రధానంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయండి.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

మూడు సంఖ్యల మొత్తం గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1, కాబట్టి 6, 10, 15 ఒక సమూహంగా పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి.

ఈ మూడు సంఖ్యలు జతలవారీగా పరస్పర ప్రధానం కావని గమనించండి. 6 మరియు 10 కారకం 2ను పంచుకుంటాయి, 6 మరియు 15 కారకం 3ను పంచుకుంటాయి, 10 మరియు 15 కారకం 5ను పంచుకుంటాయి. సమూహ పరస్పర ప్రధానత (అన్ని సంఖ్యలను కలిపిన GCD 1) అనేది జతలవారీ పరస్పర ప్రధానత (ప్రతి జత యొక్క GCD 1) కంటే బలహీనమైన షరతు. ఈ కాలిక్యులేటర్ రెండింటినీ చూపిస్తుంది.

జతలవారీ పరస్పర ప్రధానత వర్సెస్ సమూహ పరస్పర ప్రధానత

ఒక సంఖ్యల సమూహం, మొత్తం సమూహం యొక్క GCD 1 అయినప్పుడు సమూహ పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటుంది. సమూహంలోని ప్రతి సాధ్యమైన జత యొక్క GCD 1 అయినప్పుడు అది జతలవారీగా పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటుంది. జతలవారీగా పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ సమూహ పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి, కానీ పైన ఉదాహరణ చూపినట్లుగా దీని విలోమం ఎల్లప్పుడూ నిజం కాదు.

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

1 ఏ సంఖ్యతోనైనా పరస్పర ప్రధానమా?

అవును. సంఖ్య 1కి ఏ పూర్ణ సంఖ్యతోనూ 1 కంటే పెద్దదైన ఉమ్మడి కారకం ఉండదు, కాబట్టి 1 తనతో సహా ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యతో పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటుంది.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలా?

అవసరం లేదు. పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు కూడా కావచ్చు. 8 మరియు 15 రెండూ సంయుక్త సంఖ్యలే, అయినప్పటికీ 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారకం లేనందున అవి పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి.

రెండు వేర్వేరు ప్రధాన సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ పరస్పర ప్రధానమేనా?

అవును. రెండు వేర్వేరు ప్రధాన సంఖ్యలకు 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారకం ఉండదు, కాబట్టి ఏవైనా రెండు వేర్వేరు ప్రధాన సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానంగా ఉంటాయి.

రుణాత్మక సంఖ్యలు పరస్పర ప్రధానంగా ఉండగలవా?

పరస్పర ప్రధానత సాధారణంగా ధన పూర్ణ సంఖ్యల కోసం నిర్వచించబడుతుంది. ఈ కాలిక్యులేటర్ 1 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ధన పూర్ణ సంఖ్యలను మాత్రమే అంగీకరిస్తుంది.

GCDకు మరియు పరస్పర ప్రధానానికి తేడా ఏమిటి?

GCD అంటే అన్ని ఇన్‌పుట్ సంఖ్యలను భాగించే అతిపెద్ద సంఖ్య. "పరస్పర ప్రధానం" అనేది ఆ GCD సరిగ్గా 1కి సమానమైన ప్రత్యేక సందర్భం.