เครื่องคำนวณความปลอดภัยของการรับน้ำหนักคาน

เครื่องคำนวณความปลอดภัยของการรับน้ำหนักคานใช้ตรวจสอบว่าคานสามารถรับน้ำหนักที่กำหนดได้โดยไม่เกินขีดจำกัดความเค้นปลอดภัยของวัสดุหรือไม่ โดยคำนวณความเค้นดัดที่น้ำหนักนั้นทำให้เกิดขึ้นภายในคาน เปรียบเทียบความเค้นดังกล่าวกับความเค้นที่ยอมให้ของวัสดุ และรายงานค่าตัวประกอบความปลอดภัยพร้อมผลตัดสินว่าปลอดภัยหรือไม่ปลอดภัย

ความหมายของ “ความปลอดภัยของคาน”

คานเป็นชิ้นส่วนโครงสร้างที่พาดอยู่ระหว่างจุดรองรับสองจุดและรับน้ำหนักในทิศด้านข้างของจุดรองรับ เช่น ตงพื้น คานทับหลังเหนือช่องประตู หรือขายึดชั้นวาง เมื่อมีน้ำหนักกดลงบนคาน คานจะโค้งงอ การดัดทำให้เส้นใยด้านหนึ่งยืดออกและเส้นใยอีกด้านหนึ่งถูกบีบอัด ปริมาณความเค้นที่เกิดขึ้นขึ้นอยู่กับน้ำหนักว่ามากเพียงใด ระยะห่างระหว่างจุดรองรับ และรูปร่างหน้าตัดของคาน

คานจะวิบัติหรือถูกพิจารณาว่าไม่ปลอดภัยเมื่อความเค้นภายในสูงเกินกว่าที่วัสดุจะรับได้ วิศวกรจะไม่ออกแบบให้ทำงานจนถึงขีดจำกัดนั้นพอดี แต่จะเผื่อค่าที่เรียกว่าตัวประกอบความปลอดภัย เพื่อให้คานยังคงรับน้ำหนักได้แม้น้ำหนักจริง ความแข็งแรงของวัสดุ หรือคุณภาพการก่อสร้างจะแตกต่างจากแผนเล็กน้อย

เครื่องคำนวณนี้รองรับกรณีทั่วไปกรณีหนึ่ง ได้แก่ คานที่วางอยู่บนจุดรองรับสองจุดและมีน้ำหนักเดี่ยวกดลงตรงกึ่งกลาง เรียกว่าคานรองรับอย่างง่ายที่รับแรงจุดตรงกึ่งกลาง ไม่ครอบคลุมคานยื่น (คานที่ยึดอยู่เพียงปลายด้านเดียว) น้ำหนักที่กระจายตลอดช่วงคาน น้ำหนักหลายจุด หรือน้ำหนักของตัวคานเอง

สูตรความปลอดภัยในการรับน้ำหนักคาน

ความเค้นดัด

ความเค้นที่น้ำหนักก่อให้เกิดขึ้นภายในคานคือ:

$\sigma = \frac{M}{S}$

• σ (ซิกมา) คือความเค้นดัด มีหน่วยเป็นเมกะปาสคาล (MPa)
• M คือโมเมนต์ดัดสูงสุด มีหน่วยเป็นนิวตัน-เมตร (N·m)
• S คือโมดูลัสหน้าตัดของหน้าตัดคาน มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร (m³)

สำหรับคานที่วางอยู่บนจุดรองรับสองจุดและมีน้ำหนักเดี่ยวตรงกึ่งกลาง โมเมนต์ดัดสูงสุดคือ:

$M = \frac{P \times L}{4}$

• P คือน้ำหนักที่กระทำ มีหน่วยเป็นนิวตัน (N)
• L คือระยะระหว่างจุดรองรับ มีหน่วยเป็นเมตร (m)

โมดูลัสหน้าตัดตามรูปร่าง

โมดูลัสหน้าตัด S ขึ้นอยู่กับรูปร่างหน้าตัดของคาน โดยมีค่าเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อย (I) ซึ่งเป็นค่าที่บ่งบอกการกระจายตัวของวัสดุออกจากจุดศูนย์กลาง หารด้วยระยะจากจุดศูนย์กลางถึงขอบนอก (c)

สี่เหลี่ยมผืนผ้า (ตัน เช่น ตงไม้):

$I = \frac{b \times h^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

b คือความกว้าง และ h คือความสูง

วงกลม (แท่งกลมหรือท่อ):

$I = \frac{\pi \times d^4}{64}, \qquad S = \frac{I}{d/2}$

d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

คานรูปตัวไอ (หน้าตัดเหล็กที่มีปีกด้านบนและด้านล่าง และมีเอวบางอยู่ระหว่างกลาง):

$I = \frac{b \times h^3}{12} - \frac{(b - t_w) \times h_w^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

ในที่นี้ b คือความกว้างปีก h คือความสูงทั้งหมด $t_w$ คือความหนาเอว และ $h_w$ คือความสูงเอว (ความสูงทั้งหมดลบด้วยสองเท่าของความหนาปีก) การคำนวณนี้ถือว่าคานรูปตัวไอเป็นสี่เหลี่ยมตันที่มีช่องสี่เหลี่ยมถูกตัดออกจากส่วนกลาง

ตัวประกอบความปลอดภัย

$\text{ตัวประกอบความปลอดภัย} = \frac{\text{ความเค้นที่ยอมให้}}{\text{ความเค้นจริง}}$

ตัวประกอบความปลอดภัย 1.0 หมายความว่าคานรับน้ำหนักจนถึงขีดจำกัดพอดี ค่าต่ำกว่า 1.0 หมายความว่าคานไม่ปลอดภัย เพราะน้ำหนักทำให้เกิดความเค้นมากกว่าที่วัสดุจะรับได้ ค่ามากกว่า 1.0 หมายความว่าคานยังมีเผื่อความปลอดภัย เครื่องคำนวณจะรายงานว่าคานปลอดภัยเมื่อตัวประกอบความปลอดภัยมีค่าถึง 1.0

ความเค้นที่ยอมให้ตามวัสดุ

เครื่องคำนวณใช้ค่าความเค้นดัดที่ยอมให้แบบคงที่สำหรับวัสดุแต่ละชนิด ค่านี้ไม่ใช่จุดที่วัสดุเริ่มแตกหัก แต่เป็นค่าที่ใช้ในการออกแบบและมีการเผื่อความปลอดภัยรวมอยู่แล้ว คล้ายกับค่าที่ใช้ในมาตรฐานการออกแบบโครงสร้าง เช่น คู่มือเหล็กของ AISC

ค่าเหล่านี้เป็นค่าทั่วไปแบบง่าย ความเค้นที่ยอมให้จริงจะแตกต่างกันตามเกรดเหล็ก ชนิดและเกรดของไม้ รวมถึงโลหะผสมอะลูมิเนียมและสภาวะการอบปรับคุณสมบัติ สำหรับโครงการก่อสร้างจริง ควรตรวจสอบเกรดวัสดุเฉพาะกับข้อกำหนดอาคารที่ใช้บังคับก่อนสรุปแบบ

วิธีคำนวณความปลอดภัยในการรับน้ำหนักคาน: ตัวอย่างคำนวณ

เจ้าของบ้านต้องการตรวจสอบว่าตงพื้นที่มีอยู่สามารถรองรับอ่างแช่น้ำได้หรือไม่

กำหนดให้:

• รูปร่าง: สี่เหลี่ยมผืนผ้า ความกว้าง 0.05 ม. ความสูง 0.2 ม. (โดยประมาณเป็นไม้กระดานขนาด 2 คูณ 8)
• วัสดุ: ไม้
• ระยะระหว่างจุดรองรับ: 3.5 ม.
• น้ำหนักที่กึ่งกลาง: 2000 N (ประมาณน้ำหนักของอ่าง น้ำ และคนหนึ่งคน)

ขั้นตอนที่ 1: โมเมนต์ความเฉื่อย $I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} = 3.33 \times 10^{-5}\ \text{m}^4$

ขั้นตอนที่ 2: โมดูลัสหน้าตัด $S = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{0.2 / 2} = 3.33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$

ขั้นตอนที่ 3: โมเมนต์ดัด $M = \frac{2000 \times 3.5}{4} = 1750\ \text{N·m}$

ขั้นตอนที่ 4: ความเค้นดัด $\sigma = \frac{1750}{3.33 \times 10^{-4}} \approx 5.25\ \text{MPa}$

ขั้นตอนที่ 5: ตัวประกอบความปลอดภัย ความเค้นที่ยอมให้ของไม้คือ 10 MPa ดังนั้น: $\text{ตัวประกอบความปลอดภัย} = \frac{10}{5.25} \approx 1.90$

ตัวประกอบความปลอดภัย 1.90 สูงกว่า 1.0 ดังนั้นตงจึงปลอดภัยสำหรับน้ำหนักนี้และมีเผื่อความปลอดภัยในระดับเหมาะสม

ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกสองกรณี

คานเหล็กรูปตัวไอ ความสูง 0.2 ม. ความกว้างปีก 0.1 ม. ความหนาปีก 0.01 ม. ความหนาเอว 0.006 ม. ระยะพาด 5 ม. น้ำหนักที่กึ่งกลาง 50,000 N โมเมนต์ความเฉื่อยคำนวณได้ประมาณ 2.10 × 10⁻⁵ m⁴ ทำให้เกิดความเค้นดัดประมาณ 298 MPa เทียบกับความเค้นที่ยอมให้ของเหล็ก 165 MPa ตัวประกอบความปลอดภัยมีค่าประมาณ 0.55 ซึ่งไม่ปลอดภัย เพราะคานมีขนาดเล็กเกินไปสำหรับระยะพาดและน้ำหนักนี้ จำเป็นต้องใช้หน้าตัดที่ลึกขึ้น ระยะพาดสั้นลง หรือน้ำหนักที่เบาลง

แท่งอะลูมิเนียม เส้นผ่านศูนย์กลาง 0.08 ม. ระยะพาด 4 ม. น้ำหนักที่กึ่งกลาง 800 N โมดูลัสหน้าตัดมีค่าประมาณ 5.03 × 10⁻⁵ m³ ทำให้เกิดความเค้นดัดประมาณ 15.9 MPa เทียบกับความเค้นที่ยอมให้ของอะลูมิเนียม 100 MPa ตัวประกอบความปลอดภัยมีค่าประมาณ 6.28 จึงปลอดภัยอย่างมาก

สิ่งที่เครื่องคำนวณไม่ครอบคลุม

• คานยื่น คานที่ยึดอยู่ปลายด้านหนึ่งและรับน้ำหนักที่ปลายอิสระจะมีโมเมนต์ดัดแตกต่างและสูงกว่า ($M = P \times L$ ไม่ใช่ $P \times L / 4$) เมื่อเทียบกับกรณีคานรองรับอย่างง่ายที่เครื่องคำนวณนี้จำลอง
• น้ำหนักกระจาย น้ำหนักที่กระจายสม่ำเสมอตลอดระยะพาด เช่น น้ำหนักของพื้น ไม่เหมือนกับน้ำหนักจุดเดียวที่กึ่งกลาง
• น้ำหนักตัวเอง เครื่องคำนวณพิจารณาเฉพาะน้ำหนักที่กระทำ ไม่ได้รวม น้ำหนักของตัวคานเอง
• การโก่งตัว คานอาจผ่านการตรวจสอบความเค้น แต่ยังแอ่นตัวมากเกินกว่าที่ยอมรับได้สำหรับพื้นหรือเพดาน การตรวจสอบการแอ่นตัวต้องคำนวณแยกต่างหาก
• น้ำหนักแบบพลวัตและน้ำหนักซ้ำ ลมกระโชก การสั่นสะเทือน และแรงกระแทกเกี่ยวข้องกับแรงที่เกินกว่าการตรวจสอบแบบสถิตอย่างง่าย

สำหรับโครงสร้างจริง โดยเฉพาะกรณีที่การวิบัติอาจทำให้ผู้ใดได้รับบาดเจ็บ ควรให้วิศวกรโครงสร้างที่มีใบอนุญาตตรวจสอบแบบ

คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคำนวณความปลอดภัยของการรับน้ำหนักคานคืออะไร เป็นเครื่องมือที่เปรียบเทียบความเค้นที่น้ำหนักก่อให้เกิดในคานกับความเค้นที่ยอมให้ของวัสดุคาน จากนั้นรายงานตัวประกอบความปลอดภัยและผลว่าปลอดภัยหรือไม่ปลอดภัย

ตัวประกอบความปลอดภัยเท่าใดจึงเพียงพอ ไม่มีคำตอบเดียว ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดอาคารที่ใช้บังคับและความแน่นอนในการทราบน้ำหนัก ตัวประกอบ 1.0 เป็นเพียงค่าขั้นต่ำและไม่เหลือเผื่อความปลอดภัย การออกแบบทั่วไปจำนวนมากใช้ค่าที่สูงกว่า โดยมักอยู่ในช่วง 1.5 ถึง 3 แต่ข้อกำหนดที่ใช้ควบคุมโครงการนั้น ๆ เป็นตัวกำหนดค่าที่ต้องการจริง

เครื่องคำนวณนี้ตรวจสอบคานยื่นได้หรือไม่ ไม่ได้ เครื่องคำนวณนี้จำลองเฉพาะคานที่รองรับทั้งสองปลายและมีน้ำหนักเดี่ยวที่กึ่งกลาง คานยื่นซึ่งยึดอยู่ปลายด้านหนึ่งและรับน้ำหนักที่อีกปลายหนึ่ง จะมีโมเมนต์ดัดแตกต่างกันและโดยทั่วไปสูงกว่าสำหรับน้ำหนักและความยาวเดียวกัน

เหตุใดความเค้นที่ยอมให้ของเหล็กจึงต่ำกว่าความเค้นคราก ความเค้นครากคือความเค้นที่เหล็กเริ่มเปลี่ยนรูปอย่างถาวร มาตรฐานโครงสร้างกำหนดความเค้นที่ยอมให้ในการออกแบบให้ต่ำกว่าค่าคราก โดยทั่วไปอยู่ที่ประมาณสองในสามของค่าดังกล่าว เพื่อไม่ให้คานทำงานอยู่ใกล้จุดเริ่มเปลี่ยนรูปถาวรขณะรับน้ำหนักใช้งาน

ผลลัพธ์ที่ปลอดภัยหมายความว่าคานจะไม่แอ่นตัวใช่หรือไม่ ไม่ใช่ เครื่องคำนวณนี้ตรวจสอบเฉพาะความเค้นดัด คานอาจปลอดภัยในด้านความเค้น แต่ยังโก่งตัวหรือแอ่นตัวมากเกินกว่าระดับที่สบายหรือข้อกำหนดของการใช้งานจะยอมรับได้ การแอ่นตัวต้องตรวจสอบด้วยการคำนวณการโก่งตัวแยกต่างหาก

เหตุใดความสูงของคานจึงมีผลมาก ความสูง $h^3$ ปรากฏในสูตรโมเมนต์ความเฉื่อย แต่โมดูลัสหน้าตัดที่กำหนดความสามารถในการรับน้ำหนักของเครื่องคำนวณนี้คือ $S = bh^2/6$ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นความสูงจึงปรากฏเป็น $h^2$ การเพิ่มความสูงของคานสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสองเท่าจะเพิ่มโมดูลัสหน้าตัดเป็นสี่เท่า และเพิ่มน้ำหนักที่ยอมให้ตามรายงานของเครื่องคำนวณนี้เป็นสี่เท่าด้วย มากกว่าการเพิ่มความกว้างเป็นสองเท่าอย่างมาก เพราะการเพิ่มความกว้างจะเพิ่ม S ได้เพียงสองเท่า นี่จึงเป็นเหตุผลที่คานลึกต้านทานการดัดได้มีประสิทธิภาพกว่าคานที่กว้าง การเพิ่มขึ้นแปดเท่าของโมเมนต์ความเฉื่อยมีความสำคัญต่อความแข็งและการโก่งตัว ซึ่งเครื่องคำนวณนี้ไม่ได้คำนวณ

เอกสารอ้างอิง

1. Gere, J. M. และ Goodno, B. J. (2012). Mechanics of Materials (ฉบับที่ 8). Cengage Learning
2. American Institute of Steel Construction. (2017). Steel Construction Manual (ฉบับที่ 15). AISC
3. American Wood Council. (2018). National Design Specification for Wood Construction. AWC