Young-Laplace Denklemi Çözücüsü | Arayüz Basıncı

Young-Laplace denklemi nedir?

Young-Laplace denklemi, su damlasının yüzeyinde veya sabun köpüğünde olduğu gibi, iki akışkan arasındaki eğri bir ara yüzey boyunca oluşan basınç farkını veren, akışkanlar mekaniğine ait bir formüldür. Bu basınç farkının, akışkanın yüzey gerilimine ve ara yüzeyin ne kadar keskin kıvrıldığına bağlı olduğunu gösterir. Denklem, damlaların ve kabarcıkların içinde basıncın neden arttığını ve küçük olanların iç basıncının neden büyük olanlardan daha yüksek olduğunu açıklar.

Adını, bu ilişkiyi ilk 1800'lü yılların başlarında ayrı ayrı açıklayan Thomas Young ve Pierre-Simon Laplace'ten alır.

Young-Laplace denklemi formülü

Denklemin genel biçimi şöyledir:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$, ara yüzey boyunca pascal (Pa) cinsinden basınç farkıdır
• $\gamma$ (gama), akışkanın metre başına newton (N/m) cinsinden yüzey gerilimidir
• $R_1$ ve $R_2$, yüzeyin metre (m) cinsinden iki asal eğrilik yarıçapıdır

Bir yüzey farklı yönlerde farklı biçimde kıvrılır. $R_1$ ve $R_2$, birbirine dik iki yöndeki eğriliği tanımlar. Bir damla veya kabarcık gibi kürede $R_1$, $R_2$'ye eşittir; bu nedenle formül şu basit biçime dönüşür:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

İşaret kuralı

Basınç, eğri bir ara yüzeyin içbükey tarafında, yani yüzeyin uzağa doğru tümsek yaptığı tarafta, her zaman daha yüksektir. Bir damla veya kabarcık için bu, iç basıncın dış basınçtan yüksek olduğu anlamına gelir. Bir yarıçap, eğrilik merkezinin bu yüksek basınçlı tarafta bulunması durumunda pozitif kabul edilir. Yüzey bir yönde ters tarafa kıvrılıyorsa bu yarıçap negatif kabul edilir. Temas hâlindeki iki tane arasındaki sıvı boynu gibi eyer biçimli bir ara yüzeyde bir pozitif ve bir negatif yarıçap bulunur; iki terim kısmen birbirini dengeler.

Bu hesaplayıcı yalnızca pozitif yarıçapları kullanır.

Özel durumlar

• Düz yüzey: bir yarıçap sonsuzluğa doğru büyüdükçe, formüldeki karşılık gelen terim sıfıra yaklaşır. Tamamen düz bir ara yüzeyde hiç basınç farkı yoktur.
• Silindir: bir memeden çıkan sıvı jeti gibi uzun silindirik bir yüzey yalnızca bir yönde kıvrılır. Yarıçaplardan biri silindirin yarıçapıdır, diğeri ise uzunluğu boyunca sonsuzdur; bu nedenle formül $\Delta P = \gamma / R$ biçimine indirgenir. Bu, aynı yarıçapa sahip bir küredeki basınç farkının yarısıdır.
• Çok küçük ölçekler: yaklaşık 10 ila 20 nanometrenin altında çizgi gerilimi gibi ek etkiler önem kazanır ve basit denklem doğruluğunu kaybeder.

Young-Laplace denklemiyle basınç farkı nasıl hesaplanır?

1. İlgilendiğiniz sıcaklıkta akışkanın N/m cinsinden yüzey gerilimini bulun. Sıcaklık yükseldikçe yüzey gerilimi azalır.
2. İlk asal eğrilik yarıçapını, $R_1$, metre cinsinden ölçün veya tahmin edin.
3. İkinci asal eğrilik yarıçapını, $R_2$, metre cinsinden ölçün veya tahmin edin. Bir küre için $R_1$ ile aynı değeri kullanın. Bir silindir için sonsuzluğu temsil edecek çok büyük bir sayı kullanın.
4. Yüzey gerilimini, $1/R_1$ ve $1/R_2$ toplamıyla çarpın. Sonuç, pascal cinsinden basınç farkıdır.

Her değeri SI birimlerinde tutun. Örneğin milimetreleri metrelerle karıştırmak sonucu bin kat farkla hatalı verir.

Çözümlü örnek

Yarıçapı 1 milimetre (0,001 m) ve yüzey gerilimi 0,072 N/m olan küresel bir su damlasını ele alalım; bu, oda sıcaklığına yakın su için tipik bir değerdir.

Damla bir küre olduğundan $R_1 = R_2 = R$ olur ve:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Damlanın içindeki basınç, çevresindeki hava basıncından 144 Pa daha yüksektir. Bu değer, yaklaşık 101.325 Pa olan normal atmosfer basıncına kıyasla küçüktür; ancak damla küçüldükçe etki hızla büyür. Yarıçapı boyutun onda biri olan, 0,1 mm yarıçaplı bir damlada basınç farkı on katına çıkar: 1.440 Pa. Yarıçapı 0,01 mm olan bir damlada bu değer 14.400 Pa'ya, yani atmosfer basıncının %14'ünden fazlasına ulaşır.

Denklemin uygulama alanları

• Damlalar ve kabarcıklar: küçük damlaların içindeki daha yüksek basınç, Ostwald olgunlaşmasını hızlandırır. Bu süreçte, içerikleri yüksek basınçtan düşük basınca yayıldığı için emülsiyondaki küçük damlalar küçülürken büyük damlalar büyür.
• Kılcallık: dar bir tüpün içindeki eğri yüzey sıvıyı yukarı çeker. Suyun kâğıt havlularda ve dar cam tüplerde yükselmesinin nedeni budur.
• Solunum: akciğerlerde alveol adı verilen küçük hava kesecikleri küçük kabarcıklar gibi davranır. Pulmoner sürfaktan adı verilen bir kaplama, yüzey gerilimini düşürerek küçük alveollerin denklemin öngördüğü basınç altında çökmesini önler. Yeterli sürfaktana sahip olmayan prematüre bebeklerde bu nedenle solunum sorunları gelişebilir.
• Mürekkep püskürtmeli baskı: yazıcı memeleri, çapları onlarca mikrometre olan damlalar oluşturur; bu ölçekte eğriliğin oluşturduğu basınç, mürekkebin memeden çıkış biçimini etkileyecek kadar büyüktür.
• Malzeme bilimi: sıvıların bir yüzeyi nasıl ıslattığını ve ince kaplamaların nasıl davrandığını ölçen cihazlar, bir damlanın şeklini yüzey enerjisiyle ilişkilendirmek için bu denklemi kullanır.

Tarihçe

İnsanlar sıvıların dar tüplerde yükseldiğini, bunun nedenini açıklayabilen biri ortaya çıkmadan çok önce gözlemlemişti. 1700'lü yılların başlarında Francis Hauksbee, deneylerle daha dar tüplerin daha büyük kılcal yükselmeye neden olduğunu gösterdi; 1718'de James Jurin ise yükselmenin tüp çapıyla ters orantılı olduğunu açıkladı.

Thomas Young, 1805 tarihli bir makalesinde temel fiziği açıkladı; yüzey gerilimini bir akışkanın özelliği olarak ortaya koydu ve bunu eğri yüzeyler arasındaki basınçla ilişkilendirdi, ancak incelemesi büyük ölçüde betimleyiciydi. 1806'da Pierre-Simon Laplace diferansiyel ve integral hesabını kullanarak matematiksel biçimi çıkardı ve aynı ilişkiye bağımsız olarak ulaştı. Bu iki bilim insanının çalışmaları Young-Laplace denklemini oluşturdu. Daha sonra Carl Friedrich Gauss ve Joseph Plateau'nun da aralarında bulunduğu bilim insanları, 1800'lü yıllar boyunca teoriyi sınadı ve genişletti.

Sık sorulan sorular

Young-Laplace denklemi neyi hesaplar? Bir akışkanın yüzey gerilimine ve ara yüzeyin eğriliğine bağlı olarak iki akışkan arasındaki eğri ara yüzey boyunca basınç farkını hesaplar.

Küçük bir damlanın içindeki basınç neden daha yüksektir? Yüzey gerilimi damlanın çevresi boyunca çekme kuvveti uygular ve bu çekme kuvveti yarıçapla birlikte artar. Basıncın ittiği alan ise yarıçapın karesiyle büyür. Bu iki etki dengelendiğinde $\Delta P = 2\gamma/R$ elde edilir; dolayısıyla basınç farkı yarıçapla ters orantılıdır: yarıçapı yarıya indirmek basınç farkını iki katına çıkarır.

Sıcaklık denklemi nasıl etkiler? Sıcaklık, yüzey gerilimi değerini değiştirir ve sıcaklık yükseldikçe yüzey gerilimi azalır. Suda yüzey gerilimi 20 °C sıcaklıkta yaklaşık 0,073 N/m iken 80 °C sıcaklıkta yaklaşık 0,063 N/m'ye düşer; bu, her santigrat derece için yaklaşık 0,17 mN/m azalma demektir. Oda sıcaklığındaki yüzey gerilimi sıcak sudakinden daha yüksek olduğundan, sıcak bir sistem için oda sıcaklığı değerini kullanmak basınç farkını olduğundan büyük gösterir.

Denklem küre dışındaki şekiller için de geçerli midir? Evet. İki ayrı yarıçapın, $R_1$ ve $R_2$, kullanıldığı genel biçim elipsoitler ve eyer biçimli ara yüzeyler dâhil her türlü eğri yüzeyi kapsar. Yalnızca basitleştirilmiş $2\gamma/R$ biçimi kürelerle sınırlıdır.

Young-Laplace denklemi Young denkleminden nasıl farklıdır? Young-Laplace denklemi, eğri bir ara yüzeyin oluşturduğu basınç farkını verir. Yine Thomas Young'a ait ayrı bir ilişki olan Young denklemi ise bir damlanın katı bir yüzeyle temas ettiği yerde yaptığı temas açısını, üç malzemenin yüzey enerjilerine dayanarak verir. Bu denklemler farklı şeyleri açıklar ve bazen bir yüzey üzerinde duran damlayı incelemek için birlikte kullanılır.

Bir damla, denklem geçerliliğini yitirmeden önce ne kadar küçük olabilir? Denklem yaklaşık 1 mikrometreye kadar doğruluğunu korur. Yaklaşık 10 ile 20 nanometrenin altında, denklemin göz ardı ettiği çizgi gerilimi ve yüzeyler arasındaki moleküler ölçekli kuvvetler dâhil ek kuvvetler önem kazanır; bu nedenle daha ayrıntılı modellere ihtiyaç duyulur.

Kaynaklar

1. Young, T. (1805). "Akışkanların Kohezyonu Üzerine Bir Deneme." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, 10. Kitaba ek.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. ve Quéré, D. (2004). Kılcallık ve Islanma Olayları: Damlalar, Kabarcıklar, İnciler, Dalgalar. Springer.
4. Adamson, A.W. ve Gast, A.P. (1997). Yüzeylerin Fizikokimyası (6. baskı). Wiley-Interscience.