Kritik Değer Hesaplayıcı | Z-testi, t-testi, Ki-Kare

Kritik değer, bir hipotez testinde "reddetme bölgesi"nin sınırını belirleyen olasılık dağılımındaki kesme noktasıdır. Bir test istatistiği kritik değerin ötesine düşerse sonuç istatistiksel olarak anlamlı kabul edilir ve sıfır hipotezi reddedilir. Bu hesaplayıcı, en yaygın üç test için kritik değerleri bulur: Z-testi, t-testi ve ki-kare testi.

Kritik değer nedir?

İstatistikte araştırmacılar genellikle, olağandışı hiçbir şey olmadığı yönündeki basit varsayım olan bir sıfır hipoteziyle başlar (örneğin, yeni bir ilacın etkisinin olmadığı varsayımı). Bir test istatistiği örneklem verilerinden hesaplanır ve verilerin sıfır hipotezine karşı yeterli kanıt sağlayıp sağlamadığına karar vermek için kritik değerle karşılaştırılır.

Kritik değer üç şeye bağlıdır: test seçimi, anlamlılık düzeyi (α olarak yazılır; Yunanca alfa harfidir) ve testin tek kuyruklu mu yoksa çift kuyruklu mu olduğu. Anlamlılık düzeyi, doğru bir sıfır hipotezini yanlışlıkla reddetme olasılığıdır ve genellikle 0,05 (%5) veya 0,01 (%1) olarak belirlenir.

Tek kuyruklu test, "büyüktür" gibi tek bir yöndeki etkiyi sınar. Bir kritik değeri vardır. Çift kuyruklu test, her iki yöndeki etkiyi sınar ve dağılımın her iki tarafında birer tane olmak üzere iki kritik değere sahiptir.

Kritik değer nasıl hesaplanır?

1. Testi seçin: Z-testi (büyük örneklemler veya bilinen anakütle varyansı), t-testi (bilinmeyen varyansa sahip küçük örneklemler) ya da ki-kare testi (kategorik veriler veya uyum iyiliği).
2. Kuyruk türünü seçin: tek kuyruklu veya çift kuyruklu.
3. 0 ile 1 arasında bir sayı olan α anlamlılık düzeyini seçin. Yaygın seçimler 0,10, 0,05 ve 0,01 değerleridir.
4. t-testi veya ki-kare testi için serbestlik derecelerini (df) girin. t-testi için df, örneklem büyüklüğü eksi 1 değerine eşittir. Ki-kare uyum iyiliği testi için df, kategori sayısı eksi 1 değerine eşittir.
5. Dağılım eğrisinin altında seçilen kuyruk alanını kesen değeri bulun (veya hesaplayın). Bu, kritik değerdir.

Kritik değer formülleri

Her formül, kümülatif dağılım fonksiyonunun tersini kullanır: eğrinin altında x'e kadar olan alanın hedef olasılık p'ye eşit olduğu x değeri.

Z-testi formülü

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(tek kuyruklu)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(çift kuyruklu)}$

Φ⁻¹, standart normal kümülatif dağılım fonksiyonunun tersidir.

t-testi formülü

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(tek kuyruklu)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(çift kuyruklu)}$

t⁻¹(p, df), df serbestlik derecesine sahip t-dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonunun tersidir.

Ki-kare testi formülü

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(tek kuyruklu)}$ $\chi^2_{\text{alt}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{üst}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(çift kuyruklu)}$

Ki-kare dağılımı yalnızca pozitif değerler alır; bu nedenle her iki kritik değer de pozitiftir ve alt değer üst değerden küçüktür.

Örnek: Z-testi kritik değeri

Bir kalite kontrol ekibi, α = 0,05 düzeyinde tek kuyruklu bir Z-testi kritik değeri istiyor.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

1,6449 değerinin üzerindeki herhangi bir test istatistiği reddetme bölgesine düşer.

Örnek: t-testi kritik değeri

Bir araştırmacı 20 katılımcıyla bir deney yürütüyor; dolayısıyla df = 19. Araştırmacı, α = 0,01 düzeyinde çift kuyruklu bir kritik değer istiyor.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Reddetme bölgeleri t < -2,8609 ve t > 2,8609 şeklindedir.

Örnek: Ki-kare kritik değerleri

Bir analist 5 kategori arasındaki gözlenen ve beklenen sayımları karşılaştırıyor; dolayısıyla df = 4. Analist, α = 0,05 düzeyinde çift kuyruklu kritik değerler istiyor.

$\chi^2_{\text{alt}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{üst}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

0,4844 değerinin altındaki veya 11,1433 değerinin üzerindeki bir ki-kare istatistiği reddetme bölgesine düşer.

Yaygın kritik değerler

Serbestlik dereceleri arttıkça t-dağılımının kritik değerleri karşılık gelen Z-testi değerlerine doğru küçülür; bunun nedeni t-dağılımının normal dağılıma yaklaşmasıdır.

Sık sorulan sorular

Kritik değer ne amaçla kullanılır? Bir test istatistiğinin sıfır hipotezini reddedecek kadar uç olup olmadığına karar vermek için sınır belirler. İstatistik kritik değeri aşarsa sonuç, seçilen α düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır.

Tek kuyruklu ve çift kuyruklu kritik değer arasındaki fark nedir? Tek kuyruklu test tek yöndeki bir etkiyi arar ve tek bir kritik değere sahiptir. Çift kuyruklu test her iki yöndeki bir etkiyi arar ve Z-testi ile t-testinde merkezin çevresine simetrik yerleştirilmiş iki kritik değere sahiptir. Aynı α için çift kuyruklu kritik değerin mutlak büyüklüğü tek kuyruklu kritik değerden daha fazladır; çünkü aynı toplam olasılık bir kuyruk yerine iki kuyruk arasında bölünür.

t-testi yerine ne zaman Z-testi kullanılmalıdır? Z-testi, anakütle varyansı bilindiğinde veya örneklem büyük olduğunda, genellikle 30 ya da daha fazla gözlem bulunduğunda kullanılır. t-testi, anakütle varyansı bilinmeyen daha küçük örneklemler için kullanılır. Örneklem büyüklüğü arttıkça t-testi kritik değerleri Z-testi kritik değerlerine yaklaşır.

Bir kritik değer negatif olabilir mi? Evet. Z-testi ve t-testi dağılımları sıfır çevresinde simetrik olduğundan, çift kuyruklu testte bir negatif ve bir pozitif kritik değer bulunur. Ki-kare kritik değerleri her zaman pozitiftir; çünkü ki-kare dağılımı yalnızca sıfır veya daha büyük değerler için tanımlıdır.

Serbestlik dereceleri kritik değeri nasıl etkiler? Serbestlik dereceleri, verilerdeki bağımsız bilgi miktarını ölçer ve genellikle örneklem büyüklüğünden daha önce tahmin edilmiş parametrelerin sayısının çıkarılmasıyla bulunur. Daha düşük serbestlik dereceleri daha geniş, kuyrukları daha ağır dağılımlar ve daha büyük kritik değerler üretir. Daha yüksek serbestlik dereceleri t-dağılımını ve ki-kare dağılımını normal dağılıma yaklaştırır.

%95 güven düzeyine hangi kritik değer karşılık gelir? %95 güven düzeyinde α = 0,05 kullanılır. Çift kuyruklu Z-testi için kritik değerler ±1,9600 değerleridir. Tek kuyruklu Z-testi için kritik değer 1,6449 değeridir.

Tarihçe

Karl Pearson, ki-kare testini 1900 yılında tanıttı. "Student" adıyla yayımlayan William Sealy Gosset, Guinness bira fabrikasında küçük örneklemleri ele almak için t-dağılımını 1908 yılında geliştirdi. Ronald Fisher, Statistical Methods for Research Workers kitabında anlamlılık testlerini ve kritik değerleri 1920'lerde sistemleştirdi. Bilgisayarlardan önce araştırmacılar kritik değerleri basılı tablolardan buluyordu; hesaplayıcılar ve yazılımlar artık bunları doğrudan dağılım formüllerinden hesaplıyor.

Kaynaklar

1. Pearson, K. (1900). "Verilen bir sapmalar sisteminin ... rastgele örneklemeden ortaya çıktığının makul biçimde varsayılabileceği ölçüt üzerine." Philosophical Magazine, Seri 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "Bir ortalamanın olası hatası." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH İstatistiksel Yöntemler Elektronik El Kitabı, "Kritik Değerler."