گاما تقسیم کا کیلکولیٹر

تعارف

گاما تقسیم ایک مسلسل احتمال تقسیم ہے جو سائنس، انجینئرنگ، اور مالیات کے مختلف شعبوں میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتی ہے۔ یہ دو پیرامیٹرز سے متصف ہوتی ہے: شکل کا پیرامیٹر (k یا α) اور پیمانہ کا پیرامیٹر (θ یا β)۔ یہ کیلکولیٹر آپ کو ان ان پٹ پیرامیٹرز کی بنیاد پر گاما تقسیم کی مختلف خصوصیات حساب کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

فارمولا

گاما تقسیم کا احتمال کثافت فنکشن (PDF) درج ذیل ہے:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

جہاں:

• x > 0 ہے جو کہ بے ترتیب متغیر ہے
• k > 0 ہے جو کہ شکل کا پیرامیٹر ہے
• θ > 0 ہے جو کہ پیمانہ کا پیرامیٹر ہے
• Γ(k) گاما فنکشن ہے

جمع تقسیم کا فنکشن (CDF) ہے:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

جہاں γ(k, x/θ) نچلا نامکمل گاما فنکشن ہے۔

گاما تقسیم کی اہم خصوصیات میں شامل ہیں:

1. اوسط: $E[X] = k\theta$
2. تغیر: $Var[X] = k\theta^2$
3. جھکاؤ: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. کُرٹوسس: $3 + \frac{6}{k}$

اس کیلکولیٹر کا استعمال کیسے کریں

1. شکل کے پیرامیٹر (k یا α) کو درج کریں
2. پیمانہ کے پیرامیٹر (θ یا β) کو درج کریں
3. مختلف خصوصیات حساب کرنے کے لیے "حساب کریں" پر کلک کریں
4. نتائج میں اوسط، تغیر، جھکاؤ، کُرٹوسس، اور دیگر متعلقہ معلومات دکھائی جائیں گی
5. احتمال کثافت فنکشن کی بصری نمائندگی دکھائی جائے گی

حساب

کیلکولیٹر اوپر دیے گئے فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے گاما تقسیم کی مختلف خصوصیات حساب کرتا ہے۔ یہاں ایک قدم بہ قدم وضاحت ہے:

1. ان پٹ پیرامیٹرز کی توثیق کریں (دونوں k اور θ مثبت ہونے چاہئیں)
2. اوسط حساب کریں: $k\theta$
3. تغیر حساب کریں: $k\theta^2$
4. جھکاؤ حساب کریں: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. کُرٹوسس حساب کریں: $3 + \frac{6}{k}$
6. موڈ حساب کریں: $(k-1)\theta$ جب k ≥ 1 ہو، ورنہ 0
7. PDF منحنی کے لیے پوائنٹس تیار کریں اوپر دیے گئے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے
8. PDF منحنی کو پلاٹ کریں

عددی ملاحظات

گاما تقسیم کے حسابات کو نافذ کرتے وقت کئی عددی ملاحظات کو مدنظر رکھنا چاہیے:

1. بہت چھوٹے شکل کے پیرامیٹرز (k < 1) کے لیے، PDF x کے 0 کے قریب آنے پر لامتناہی کی طرف بڑھ سکتا ہے، جو عددی عدم استحکام کا باعث بن سکتا ہے۔
2. بڑے شکل کے پیرامیٹرز کے لیے، گاما فنکشن Γ(k) بہت بڑا ہو سکتا ہے، جو ممکنہ طور پر اوورفلو کا باعث بنتا ہے۔ ایسے معاملات میں، گاما فنکشن کے لوگارڈم کے ساتھ کام کرنا بہتر ہے۔
3. CDF کا حساب کرتے وقت، نامکمل گاما فنکشن کے لیے خصوصی الگورڈمز کا استعمال کرنا اکثر عددی طور پر زیادہ مستحکم ہوتا ہے بجائے PDF کی براہ راست انٹیگریشن کے۔
4. انتہائی پیرامیٹر کی قیمتوں کے لیے، درستگی کو برقرار رکھنے کے لیے توسیع شدہ درستگی کی حساب کتاب کا استعمال کرنا ضروری ہو سکتا ہے۔

استعمال کے کیس

گاما تقسیم کے مختلف شعبوں میں بے شمار ایپلی کیشنز ہیں:

1. مالیات: آمدنی کی تقسیم، انشورنس دعووں کی مقدار، اور اثاثوں کی واپسی ماڈلنگ
2. موسمیات: بارش کے نمونوں اور دیگر موسمی مظاہر کا تجزیہ
3. انجینئرنگ: قابل اعتبار تجزیہ اور ناکامی کے وقت کی ماڈلنگ
4. طبیعیات: ریڈیو ایکٹیو زوال کے واقعات کے درمیان انتظار کے اوقات کی وضاحت
5. حیاتیات: انواع کی کثرت اور جین کے اظہار کی سطح کی ماڈلنگ
6. آپریشنز ریسرچ: قطاروں کے نظریات اور انوینٹری کے انتظام

متبادل

اگرچہ گاما تقسیم ورسٹائل ہے، لیکن کچھ حالات میں دوسرے متعلقہ تقسیم زیادہ مناسب ہو سکتے ہیں:

1. ایکسپوننشل تقسیم: گاما تقسیم کا ایک خاص معاملہ جب k = 1 ہو
2. چی-اسکوئر تقسیم: گاما تقسیم کا ایک خاص معاملہ جب k = n/2 اور θ = 2 ہو
3. ویبول تقسیم: قابل اعتبار تجزیے میں متبادل کے طور پر اکثر استعمال ہوتا ہے
4. لاگ-نارمل تقسیم: ایک اور عام انتخاب جو جھکاؤ، مثبت ڈیٹا کی ماڈلنگ کے لیے

پیرامیٹر کا تخمینہ

حقیقی دنیا کے ڈیٹا کے ساتھ کام کرتے وقت، اکثر گاما تقسیم کے پیرامیٹرز کا تخمینہ لگانا ضروری ہوتا ہے۔ عام طریقے شامل ہیں:

1. لمحات کا طریقہ: نمونہ لمحات کو نظریاتی لمحات کے برابر کرنا
2. زیادہ سے زیادہ امکان کا تخمینہ (MLE): ایسے پیرامیٹرز تلاش کرنا جو ڈیٹا کے مشاہدے کی ممکنہ مقدار کو زیادہ سے زیادہ بنائیں
3. بیسیئن تخمینہ: پیرامیٹرز کے بارے میں پہلے سے موجود معلومات کو شامل کرنا

مفروضہ جانچ

گاما تقسیم کو مختلف مفروضہ جانچوں میں استعمال کیا جا سکتا ہے، بشمول:

1. اچھائی کی جانچ کے ٹیسٹ یہ طے کرنے کے لیے کہ آیا ڈیٹا گاما تقسیم کی پیروی کرتا ہے
2. دو گاما تقسیم کے درمیان پیمانہ کے پیرامیٹرز کی برابری کے لیے ٹیسٹ
3. دو گاما تقسیم کے درمیان شکل کے پیرامیٹرز کی برابری کے لیے ٹیسٹ

تاریخ

گاما تقسیم کی ریاضی اور شماریات میں ایک بھرپور تاریخ ہے:

• 18ویں صدی: لیونہارڈ ایولر نے گاما فنکشن متعارف کرایا، جو گاما تقسیم سے قریبی تعلق رکھتا ہے
• 1836: سیمیون ڈینس پوئسون نے احتمال کے نظریے پر اپنے کام میں گاما تقسیم کے ایک خاص معاملے کا استعمال کیا
• 1920 کی دہائی: رونالڈ فشر نے شماریاتی تجزیے میں گاما تقسیم کے استعمال کو مقبول بنایا
• 20ویں صدی کے وسط: گاما تقسیم قابل اعتبار انجینئرنگ اور زندگی کی جانچ میں وسیع پیمانے پر استعمال ہونے لگی
• 20ویں صدی کے آخر سے موجودہ دور: کمپیوٹنگ کی طاقت میں اضافے نے مختلف ایپلی کیشنز میں گاما تقسیم کے ساتھ کام کرنا آسان بنا دیا ہے

مثالیں

گاما تقسیم کی خصوصیات حساب کرنے کے لیے کچھ کوڈ کی مثالیں یہ ہیں:

1' ایکسل VBA فنکشن برائے گاما تقسیم PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' استعمال:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'گاما تقسیم (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('احتمال کثافت')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## مثال کا استعمال:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## خصوصیات حساب کریں
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"اوسط: {mean}")
29print(f"تغیر: {variance}")
30print(f"جھکاؤ: {skewness}")
31print(f"کُرٹوسس: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`اوسط: ${mean}`);
19    console.log(`تغیر: ${variance}`);
20    console.log(`جھکاؤ: ${skewness}`);
21    console.log(`کُرٹوسس: ${kurtosis}`);
22}
23
24// مثال کا استعمال:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF پلاٹ کریں (ایک فرضی پلاٹنگ لائبریری کا استعمال کرتے ہوئے)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

یہ مثالیں گاما تقسیم کی خصوصیات حساب کرنے اور مختلف پروگرامنگ زبانوں کا استعمال کرتے ہوئے اس کی احتمال کثافت فنکشن کی بصری نمائندگی کرنے کا طریقہ دکھاتی ہیں۔ آپ ان فنکشنز کو اپنی مخصوص ضروریات کے مطابق ڈھال سکتے ہیں یا انہیں بڑے شماریاتی تجزیے کے نظام میں شامل کر سکتے ہیں۔

حوالہ جات

1. "گاما تقسیم." ویکیپیڈیا، ویکی میڈیا فاؤنڈیشن، https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. 2 اگست 2024 کو حاصل کردہ۔
2. جانسن، این۔ ایل، کوٹز، ایس۔، اور بالاکرشن، این۔ (1994). مسلسل یک رخی تقسیم، جلد 1 (Vol. 1). جان وائیلی اور بیٹنز۔
3. فوربز، سی۔، ایوانز، ایم۔، ہیڈنگز، این۔، اور پکاک، بی۔ (2011). شماریاتی تقسیمیں۔ جان وائیلی اور بیٹنز۔
4. تھام، ایچ۔ سی۔ ایس۔ (1958). گاما تقسیم پر ایک نوٹ۔ ماہانہ موسم کا جائزہ، 86(4)، 117-122۔
5. اسٹیسی، ای۔ ڈبلیو۔ (1962). گاما تقسیم کی ایک عمومی شکل۔ ریاضیاتی شماریات کے سالانہ، 33(3)، 1187-1192۔