لیپلیس تقسیم کا کیلکولیٹر

تعارف

لیپلیس تقسیم، جسے ڈبل ایکسپوننشل تقسیم بھی کہا جاتا ہے، ایک مسلسل احتمال تقسیم ہے جس کا نام پیئر-سیمون لیپلیس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ یہ اپنے اوسط (مقام پیرامیٹر) کے ارد گرد متوازن ہے اور نارمل تقسیم کے مقابلے میں زیادہ بھاری دموں کی خصوصیت رکھتی ہے۔ یہ کیلکولیٹر آپ کو دیے گئے پیرامیٹرز کے لیے لیپلیس تقسیم کی احتمال کثافت فنکشن (PDF) کا حساب کرنے اور اس کی شکل کو بصری شکل میں پیش کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

اس کیلکولیٹر کا استعمال کیسے کریں

1. مقام پیرامیٹر (μ) درج کریں، جو تقسیم کے اوسط کی نمائندگی کرتا ہے۔
2. اسکیل پیرامیٹر (b) درج کریں، جو تقسیم کی پھیلاؤ کو متعین کرتا ہے (b > 0)۔
3. کیلکولیٹر x = 0 پر احتمال کثافت فنکشن (PDF) کی قیمت دکھائے گا اور تقسیم کا گراف دکھائے گا۔

نوٹ: اسکیل پیرامیٹر کو سختی سے مثبت ہونا چاہیے (b > 0)۔

فارمولا

لیپلیس تقسیم کا احتمال کثافت فنکشن (PDF) درج ذیل سے دیا گیا ہے:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

جہاں:

• x متغیر ہے
• μ (میو) مقام پیرامیٹر ہے
• b اسکیل پیرامیٹر ہے (b > 0)

حساب کتاب

کیلکولیٹر اس فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے صارف کے ان پٹ کی بنیاد پر x = 0 پر PDF کی قیمت کا حساب کرتا ہے۔ یہاں ایک مرحلہ وار وضاحت ہے:

1. ان پٹ کی تصدیق کریں: یہ یقینی بنائیں کہ اسکیل پیرامیٹر b مثبت ہے۔
2. |x - μ| کا حساب لگائیں: اس صورت میں، یہ صرف |0 - μ| = |μ| ہے۔
3. ایکسپوننشل ٹرم کا حساب لگائیں: $\exp(-|μ| / b)$
4. حتمی نتیجہ کا حساب لگائیں: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

ایج کیسز جن پر غور کرنا ہے:

• اگر b ≤ 0 ہو تو ایک غلطی کا پیغام دکھائیں۔
• اگر |μ| بہت بڑا ہو یا b بہت چھوٹا ہو تو نتیجہ صفر کے قریب ہو سکتا ہے۔
• اگر μ = 0 ہو تو PDF x = 0 پر اپنی زیادہ سے زیادہ قیمت 1/(2b) پر پہنچ جائے گا۔

استعمال کے معاملات

لیپلیس تقسیم کے مختلف شعبوں میں مختلف استعمالات ہیں:

1. سگنل پروسیسنگ: آڈیو اور امیج سگنلز کی ماڈلنگ اور تجزیہ میں استعمال ہوتا ہے۔

2. مالیات: مالی واپسی اور خطرے کی تشخیص کی ماڈلنگ میں استعمال ہوتا ہے۔

3. مشین لرننگ: تفریقی رازداری کے لیے لیپلیس میکانزم میں اور کچھ بیسیئن استدلال ماڈلز میں استعمال ہوتا ہے۔

4. قدرتی زبان کی پروسیسنگ: زبان کے ماڈلز اور متن کی درجہ بندی کے کاموں میں استعمال ہوتا ہے۔

5. جیالوجی: زلزلے کی شدت کی تقسیم کی ماڈلنگ میں استعمال ہوتا ہے (گٹنبرگ-رچرڈ قانون)۔

متبادل

جبکہ لیپلیس تقسیم بہت سے منظرناموں میں مفید ہے، کچھ مخصوص حالات میں دیگر احتمال تقسیمیں زیادہ مناسب ہو سکتی ہیں:

1. نارمل (گاؤسی) تقسیم: قدرتی مظاہر اور پیمائش کی غلطیوں کی ماڈلنگ کے لیے زیادہ عام طور پر استعمال ہوتی ہے۔

2. کاچی تقسیم: لیپلیس تقسیم سے بھی زیادہ بھاری دمیں ہیں، جو آؤٹ لائر پر مبنی ڈیٹا کی ماڈلنگ کے لیے مفید ہیں۔

3. ایکسپوننشل تقسیم: پوایسن عمل میں واقعات کے درمیان وقت کی ماڈلنگ کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

4. اسٹوڈنٹس t-تقسیم: فرضی ٹیسٹنگ اور مالی واپسی کی ماڈلنگ میں اکثر استعمال ہوتی ہے۔

5. لاجسٹک تقسیم: نارمل تقسیم کی شکل میں مشابہ لیکن زیادہ بھاری دمیں ہیں۔

تاریخ

لیپلیس تقسیم کو پیئر-سیمون لیپلیس نے 1774 میں اپنی یادداشت "واقعات کے اسباب کی احتمال" میں متعارف کرایا۔ تاہم، یہ تقسیم 20ویں صدی کے اوائل میں ریاضیاتی شماریات کی ترقی کے ساتھ زیادہ اہمیت حاصل کر گئی۔

لیپلیس تقسیم کی تاریخ میں اہم سنگ میل:

1. 1774: پیئر-سیمون لیپلیس اپنی احتمال نظریات کے کام میں تقسیم متعارف کراتے ہیں۔
2. 1930 کی دہائی: تقسیم کو دوبارہ دریافت کیا جاتا ہے اور مختلف شعبوں میں، بشمول معیشت اور انجینئرنگ میں، لاگو کیا جاتا ہے۔
3. 1960 کی دہائی: لیپلیس تقسیم مضبوط شماریات میں نارمل تقسیم کے متبادل کے طور پر اہمیت حاصل کرتی ہے۔
4. 1990 کی دہائی سے موجودہ: مشین لرننگ، سگنل پروسیسنگ، اور مالی ماڈلنگ میں اس کا استعمال بڑھتا ہے۔

مثالیں

لیپلیس تقسیم PDF کا حساب لگانے کے لیے یہاں کچھ کوڈ کی مثالیں ہیں:

1' ایکسل VBA فنکشن برائے لیپلیس تقسیم PDF
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' استعمال:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("اسکیل پیرامیٹر مثبت ہونا چاہیے")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## مثال کا استعمال:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"x={x پر PDF کی قیمت: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("اسکیل پیرامیٹر مثبت ہونا چاہیے");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// مثال کا استعمال:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`x=${x پر PDF کی قیمت: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("اسکیل پیرامیٹر مثبت ہونا چاہیے");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("x=%.1f پر PDF کی قیمت: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

یہ مثالیں یہ ظاہر کرتی ہیں کہ دیے گئے پیرامیٹرز کے لیے لیپلیس تقسیم PDF کا حساب کیسے لگایا جائے۔ آپ ان فنکشنز کو اپنی مخصوص ضروریات کے مطابق ڈھال سکتے ہیں یا انہیں بڑے شماریاتی تجزیاتی نظاموں میں ضم کر سکتے ہیں۔

عددی مثالیں

1. معیاری لیپلیس تقسیم:

   • مقام (μ) = 0
   • اسکیل (b) = 1
   • x = 0 پر PDF: 0.500000

2. منتقل کردہ لیپلیس تقسیم:

   • مقام (μ) = 2
   • اسکیل (b) = 1
   • x = 0 پر PDF: 0.183940

3. اسکیل کردہ لیپلیس تقسیم:

   • مقام (μ) = 0
   • اسکیل (b) = 3
   • x = 0 پر PDF: 0.166667

4. منتقل کردہ اور اسکیل کردہ لیپلیس تقسیم:

   • مقام (μ) = -1
   • اسکیل (b) = 0.5
   • x = 0 پر PDF: 0.367879

حوالہ جات

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "لیپلیس تقسیم." وکیپیڈیا، وکی میڈیا فاؤنڈیشن، https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. 2 اگست 2024 کو رسائی حاصل کی۔