Z-Score कैलकुलेटर
परिचय
z-score (या मानक स्कोर) एक सांख्यिकीय माप है जो एक मान के समूह के औसत के संबंध का वर्णन करता है। यह बताता है कि एक तत्व औसत से कितने मानक विचलनों की दूरी पर है। z-score सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जो विभिन्न डेटा सेटों के मानकीकरण और बाहरी मानों की पहचान की अनुमति देता है।
सूत्र
z-score निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:
जहां:
- = z-score
- = व्यक्तिगत डेटा बिंदु
- = डेटा सेट का औसत
- = डेटा सेट का मानक विचलन
यह सूत्र गणना करता है कि एक डेटा बिंदु औसत से कितने मानक विचलनों की दूरी पर है।
गणना
एक डेटा बिंदु का z-score निकालने के लिए:
-
औसत () की गणना करें:
सभी डेटा बिंदुओं का योग करें और इसे डेटा बिंदुओं की संख्या से विभाजित करें।
-
मानक विचलन () की गणना करें:
-
वैरिएंस ():
-
मानक विचलन:
-
-
z-score की गणना करें:
z-score सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।
किनारे के मामले
-
शून्य मानक विचलन ():
जब सभी डेटा बिंदु समान होते हैं, तो मानक विचलन शून्य होता है, जिससे z-score अज्ञात हो जाता है क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। इस मामले में, z-score का अवधारणा लागू नहीं होती है।
-
औसत के बराबर डेटा बिंदु ():
यदि डेटा बिंदु औसत के बराबर है, तो z-score शून्य होता है, जो यह दर्शाता है कि यह बिल्कुल औसत है।
-
गैर-सांख्यिकीय इनपुट:
सुनिश्चित करें कि सभी इनपुट सांख्यिकीय हैं। गैर-सांख्यिकीय इनपुट गणना में त्रुटियों का कारण बनेंगे।
संचयी संभावना
z-score से संबंधित संचयी संभावना दर्शाती है कि एक मानक सामान्य वितरण से एक यादृच्छिक चर दिए गए मान से कम या उसके बराबर होने की संभावना है। यह सामान्य वितरण वक्र के उस क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है जो निर्दिष्ट z-score के बाईं ओर है।
गणितीय रूप से, संचयी संभावना को मानक सामान्य वितरण के संचयी वितरण कार्य (CDF) का उपयोग करके गणना की जाती है:
जहां:
- = पर मानक सामान्य वितरण का CDF
संचयी संभावना सांख्यिकी में एक मूल्य के किसी निश्चित सीमा के भीतर होने की संभावना निर्धारित करने के लिए आवश्यक है। इसका व्यापक उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण, वित्त, और सामाजिक विज्ञान जैसे क्षेत्रों में किया जाता है।
SVG चित्र
नीचे एक SVG चित्र है जो मानक सामान्य वितरण वक्र और z-score को दर्शाता है:
चित्र: z-score के साथ मानक सामान्य वितरण वक्र
यह चित्र सामान्य वितरण वक्र को दर्शाता है जिसमें औसत केंद्र में है। छायांकित क्षेत्र डेटा बिंदु तक संचयी संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जो z-score के अनुरूप है।
उपयोग के मामले
अनुप्रयोग
-
विभिन्न पैमानों के बीच मानकीकरण:
Z-scores विभिन्न डेटा सेटों को मानकीकरण करके उनकी तुलना की अनुमति देते हैं।
-
बाहरी मानों की पहचान:
उन डेटा बिंदुओं की पहचान करना जो औसत से काफी दूर हैं (जैसे, z-scores -3 से कम या 3 से अधिक)।
-
सांख्यिकीय परीक्षण:
परिकल्पना परीक्षण में, z-tests सहित, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक नमूना औसत ज्ञात जनसंख्या औसत से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है।
-
गुणवत्ता नियंत्रण:
निर्माण में, z-scores प्रक्रियाओं की निगरानी करने में मदद करते हैं ताकि सुनिश्चित किया जा सके कि आउटपुट स्वीकार्य सीमाओं के भीतर रहें।
-
वित्त और निवेश:
स्टॉक प्रदर्शन का आकलन करना औसत बाजार प्रदर्शन के सापेक्ष रिटर्न की तुलना करके।
विकल्प
-
T-Score:
z-score के समान, लेकिन तब उपयोग किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन ज्ञात न हो।
-
प्रतिशत रैंक:
यह दर्शाता है कि इसकी आवृत्ति वितरण में कितने प्रतिशत स्कोर उसके बराबर या उससे कम हैं।
-
मानक विचलन इकाइयाँ:
z-scores के बिना कच्चे मानक विचलन मानों का उपयोग करना।
इतिहास
z-score का अवधारणा 19वीं सदी के प्रारंभ में कार्ल फ्रेडरिक गॉस के सामान्य वितरण पर काम से उत्पन्न हुआ। मानक सामान्य वितरण, जो z-scores के लिए मौलिक है, को अब्राहम डी मोइव्रे और पियरे-साइमन लैप्लास जैसे सांख्यिकीविदों द्वारा विकसित किया गया। 20वीं सदी में सांख्यिकीय विधियों के विकास के साथ z-scores का उपयोग व्यापक हो गया, विशेष रूप से मनोवैज्ञानिक परीक्षण और गुणवत्ता नियंत्रण में।
उदाहरण
Excel
## Excel में z-score की गणना करें
## मान को सेल A2 में, औसत को सेल B2 में, मानक विचलन को सेल C2 में मानते हुए
=(A2 - B2) / C2
R
## R में z-score की गणना करें
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
if (sd == 0) {
stop("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।")
}
z <- (x - mean) / sd
return(z)
}
## उदाहरण उपयोग:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-score:", z_score))
MATLAB
% MATLAB में z-score की गणना करें
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
if sigma == 0
error('मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।');
end
z = (x - mu) / sigma;
end
% उदाहरण उपयोग:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
JavaScript
// JavaScript में z-score की गणना करें
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
if (sigma === 0) {
throw new Error('मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।');
}
return (x - mu) / sigma;
}
// उदाहरण उपयोग:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
console.error(error.message);
}
Python
## Python में z-score की गणना करें
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
if sigma == 0:
raise ValueError("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।")
return (x - mu) / sigma
## उदाहरण उपयोग:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
print("Z-score:", round(z, 2))
except ValueError as e:
print(e)
Java
// Java में z-score की गणना करें
public class ZScoreCalculator {
public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
if (sigma == 0) {
throw new IllegalArgumentException("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।");
}
return (x - mu) / sigma;
}
public static void main(String[] args) {
double x = 110;
double mu = 100;
double sigma = 5;
try {
double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
} catch (IllegalArgumentException e) {
System.err.println(e.getMessage());
}
}
}
C/C++
// C++ में z-score की गणना करें
#include <iostream>
#include <stdexcept>
double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
if (sigma == 0) {
throw std::invalid_argument("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।");
}
return (x - mu) / sigma;
}
int main() {
double x = 130;
double mu = 120;
double sigma = 10;
try {
double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
} catch (const std::exception &e) {
std::cerr << e.what() << std::endl;
}
return 0;
}
Ruby
## Ruby में z-score की गणना करें
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
raise ArgumentError, "मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।" if sigma == 0
(x - mu) / sigma
end
## उदाहरण उपयोग:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
puts "Z-score: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
puts e.message
end
PHP
<?php
// PHP में z-score की गणना करें
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
if ($sigma == 0) {
throw new Exception("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।");
}
return ($x - $mu) / $sigma;
}
// उदाहरण उपयोग:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;
try {
$z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
echo "Z-score: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
echo $e->getMessage();
}
?>
Rust
// Rust में z-score की गणना करें
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
if sigma == 0.0 {
return Err("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।".to_string());
}
Ok((x - mu) / sigma)
}
fn main() {
let x = 125.0;
let mu = 115.0;
let sigma = 5.0;
match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
Err(e) => println!("{}", e),
}
}
C#
// C# में z-score की गणना करें
using System;
public class ZScoreCalculator
{
public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
{
if (sigma == 0)
throw new ArgumentException("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।");
return (x - mu) / sigma;
}
public static void Main()
{
double x = 135;
double mu = 125;
double sigma = 5;
try
{
double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
}
catch (ArgumentException e)
{
Console.WriteLine(e.Message);
}
}
}
Go
// Go में z-score की गणना करें
package main
import (
"errors"
"fmt"
)
func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
if sigma == 0 {
return 0, errors.New("मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता")
}
return (x - mu) / sigma, nil
}
func main() {
x := 140.0
mu := 130.0
sigma := 5.0
z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
if err != nil {
fmt.Println(err)
} else {
fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
}
}
Swift
// Swift में z-score की गणना करें
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
if sigma == 0 {
throw NSError(domain: "मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता।", code: 1, userInfo: nil)
}
return (x - mu) / sigma
}
// उदाहरण उपयोग:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0
do {
let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
print(error.domain)
}
संदर्भ
-
मानक स्कोर - विकिपीडिया
-
Z-Scores को समझना - सांख्यिकी समाधान
-
मानक वितरण और Z-Scores - खान अकादमी
अतिरिक्त संसाधन
-
इंटरएक्टिव Z-Score कैलकुलेटर
https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
-
मानक वितरण का दृश्य
https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html